完全四点形三组对边斜率之间的关系

重庆市长寿龙溪中学校(401249)吴波

1 问题的提出

完全四点形是指平面上四个点(其中无三点共线)及其两两连结的六条直线所组成的图形,这四个点称为它的顶点,六条直线称为它的边.在文献[1]中我们将《数学通报》数学问题2583[2]推广为全对称形式,即给出了圆锥曲线内接完全四点形三组对边之间存在如下关系:

定理1[1]在平面直角坐标系中, 主对称轴平行(重合)于x轴且离心率为e的圆锥曲线上四点A1,A2,A3,A4可生成一个完全四点形, 其诸边AiAj的斜率存在且为kij(1 ≤i

注1圆锥曲线主对称轴指其焦点所在的对称轴;而圆的任意对称轴都视作主对称轴.

注2当其中某(些)边的斜率不存在时,从极限角度看,定理1 的结论仍成立.

定理1 题设中要求完全四点形外接于一条圆锥曲线.如果脱离圆锥曲线,对于一般的完全四点形,其三组对边的斜率之间是否也隐含着某种关系呢?

本文即探讨这个问题.

2 完全四点形三组对边斜率之间的关系

对于一般的完全四点形,经过探讨,我们发现其三组对边的斜率之间满足如下的对称关系:

定理2平面直角坐标系中的完全四点形A1A2A3A4的边AiAj的斜率为kij(1 ≤i

证明因为平移平面直角坐标系并不会改变直线的斜率, 因此不妨设A4是原点, 再设Ai(xi,yi)(i= 1,2,3), 则有.则

注意到上述行列式所对应的矩阵的第一行向量与第三行向量之和正好等于第二行向量,因此其行列式的值必为0.证毕.

一般来说,与斜率有关的结论会依赖于平面直角坐标系的选择.比如定理1 题设中就要求“主对称轴平行(重合)于x轴”.但是定理2 的题设中并未对完全四点形所在的平面直角坐标系作出限制.也就是说,定理2 的结论对任选的平面直角坐标系都成立.只是需要注意: 当所选的平面直角坐标系使得某(些)边的斜率不存在时,对式①应当如命题1(见下一小节)的证明中那样从极限的角度来理解.

3 定理2 的若干特例或极限情形

定理2 有众多特例或极限情形,本节略举几例.

命题1对平面直角坐标系中的完全四点形A1A2A3A4,其边AiAj的斜率为kij(1 ≤i

(i)若对边A1A4,A2A3都与x轴平行,则.

(ii)若对边A1A4,A2A3都与y轴平行,则k12+k34=k13+k24.

(iii)若边A1A4与x轴平行,而对边A2A3与y轴平行,则k12k34=k13k24.

证明(i)此时有k14=k23=0.代入定理2 的式①并按最后一行展开得:k12k34(k13+k24) =k13k24(k12+k34)).然后两边都除以k12k34k13k24即得结论.

(ii)将定理2 式①的最后一行除以k14k23得

(iii)此时有k14= 0,.将定理2 式①的最后一行除以k23后代入可得:

按最后一行展开即得.证毕.

注1如命题1(ii)(iii)所示,当定理2 中某(些)kij(1 ≤i

注2不借助于定理2,也可通过计算直接验证命题1 的结论成立.

命题2如图1, 对平面直角坐标系中的平行四边形A1A2A3A4,边AiAj的斜率为kij(1 ≤i

图1

证明将k34=k12,k23=k14代入式①得:

前两行分别减去第三行得:

将左边分解,然后两边约去公因式k12-k14可得:

将待证式展开易知: 上式与待证式等价.证毕.

利用命题2 容易推得(证略):

推论1如图2, 在平面直角坐标系中,AM是∆ABC的一条中线,AM,BC均不平行于y轴,则

图2

推论2在平面直角坐标系中,AM是∆ABC的一条中线,则

(i)AM//y轴⇔kAB+kAC= 2kBC;BC//y轴⇔kAB+kAC=2kAM.

(ii)AM//x轴;BC//x轴.

4 本质

这不是调和点列(线束)交比等于-1 的形式么(参见文献[4])? 虽然图1 中只有A1A2,A1A3,A1A4过A1,而A2A4却不过A1.但这仍然提示我们: 定理2 其实是完全四点形的一个射影性质.本节中我们就将指出定理2 在射影几何中的本质.

定义1[3]设f为一维基本形[π]上的一个非恒等的射影变换,若对于任意的x∈[π],都有f(x) =f-1(x),则称f为[π]上的一个对合.

定义1 也可以等价地表述为: 非恒等的射影变换f如果满足f2(f复合f)为恒等变换,那么f就是一个对合.

比如:O是直线l上的点,在以直线l为底的点列上定义关于O的对称变换φ,即对于任何X∈l,φ(X)为X关于O的对称点.显然有φ2(X)=X,即φ2为恒等变换.因此关于O的对称变换φ就是对合的一个实例.

定理3[3](Desargues 对合定理) 如图3, 不过完全四点形A1A2A3A4顶点的直线l与其边AiAj的交点为Pij(1 ≤i

图3

由于透视保持交比不变,因此有:

推论3如图3,不过完全四点形A1A2A3A4顶点的直线l与其边AiAj的交点为Pij(1 ≤i

现限定在仿射平面上,且图3 中的直线l取该平面的无穷远直线,则Pij为AiAj的无穷远点(1 ≤i

图4

推论4如图4,过一点作与完全四点形三组对边分别平行的直线,则所作的三对直线是属于同一对合的三对对应直线.

在平面直角坐标系中,共点的四直线间的交比可以用斜率来表示(参见文献[4]).当然,两个线束成对合的条件也可以用斜率来表示.可以证明(证略): 推论2 即是定理2 用“对合”概念表述之后的等价形式.

这表明: 定理2 是Desargues 对合定理的一个特例,本质上是完全四点形的一个射影性质.

至于第3 小节中的命题2,它可以简洁地表述为:

推论5过一点作与平行四边形的两条邻边和两条对角线分别平行的直线,则所作的两对直线调和共轭.

作为完全四点形的对偶图形,完全四线形的三对顶点之间是否也存在某种对称关系呢? 确实如此! 文献[5]的定理4的推论中就利用复数给出了复平面上的完全四线形三对顶点之间的与定理2 非常相似的结论.有兴趣的读者可以参看.