一道解析几何竞赛试题的拓展探究

甘肃省兰州市第六中学(730060)焦永垚

一、试题呈现

例1(2023 年全国高中数学联赛吉林省预赛第14 题)已知椭圆经过点P(-2,0),且其焦距为.

(1)求椭圆M的方程;

(2)过点Q(-2,-1)的直线l与椭圆M的下半部分相交于两个不同点A,B,连接PA,PB分别交直线y= -1 于C,D两点.求证: |QC|+|QD|-|QC|·|QD|为定值.

二、拓展探究

若记椭圆的下顶点为R′,则试题第(2)问的结论可化为为定值,经探究发现,可以将此结论推广到一般的椭圆中:

结论1已知椭圆, 点P(a,0),R(0,b),过点Q(a,b)的直线l与M交于A,B两点,直线PA,PB分别交直线y=b于点C,D.设,则为定值.

证明设直线l的方程为y-b=k(x-a) (k0),与M的方程联立可得

由∆>0 得k>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则

又直线PA的方程为,与y=b联立可得,,同理得.由可得xC-a= -λa,则,同理,,于是

类比结论1,可得双曲线中的类似结论:

结论2已知双曲线P(a,0),R(0,b),过点Q(a,b)的直线l与M交于A,B两点,直线PA,PB分别交直线y=b于点C,D.设,则为定值.

证明过程与结论1 类似,略.

结论3已知双曲线,P(a,0),R(0,b),R′(0,-b),过点Q(a,b)的直线l与M交于A,B两点,直线PA,PB分别交直线QR′于点C,D.设,则为定值.

证明设直线l的方程为y-b=k(x-a),与M的方程联立可得

直线PA和直线QR′的方程分别为和, 将这两个方程联立可得, 同理得.又因为, 所以xC-a= -λa, 则, 同理,, 于是

同样,在抛物线中也有类似结论:

结论4已知抛物线M:y2= 2px(p>0), 过点Q(0,m) (m0)的直线l与M交于A,B两点,直线QR与抛物线M相切于点R(R异于坐标原点),直线OA,OB(O为坐标原点)分别交直线QR于点C,D.设,则为定值.

证明设直线l的方程为y=kx+m,与M的方程联立得k2x2+2(km-p)x+m2=0,由∆>0 可得2km-p<0且k0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则

设切线QR的方程为y=k′x+m,与M的方程联立得k′2x2+2(k′m-p)x+m2= 0,由∆= 0 得,直线QR的方程为,且.又直线OA的方程为, 与方程联立可得, 同理可得.又因为,所以xC=λxR,即,同理,于是

三、探究延伸

至此,笔者还感觉意犹未尽,上述结论对一般的极点与极线还成立吗? 能否得到一个圆锥曲线的统一性质? 为了更进一步探明以上问题,我们先介绍几个关于调和点列和调和线束的定义和性质.

定义1[1]若A,B,C,D四点共线,则这四点A,B,C,D的交比(AB,CD)定义为四条有向线段的比:(其中表示有向线段的数量).若(AB,CD) = -1,则称点C,D调和分割点A,B,或称点A,B与点C,D调和共轭,A,B,C,D为调和点列.

性质1[1]若点C,D调和分割点A,B,则(其中表示有向线段的数量).

定义2[2]设两点C,D的连线与圆锥曲线Γ 相交于A,B,若线段AB被C,D调和分割,则称C,D是关于圆锥曲线Γ 的一对调和共轭点.

定义3[2]一点P关于圆锥曲线Γ 的所有调和共轭点的轨迹为一条直线p,称p为点P(关于Γ)的极线,点P称为直线p(关于Γ)的极点.

特别地,当P在Γ 外时,其极线p是从点P所引曲线Γ的两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)[2].

定义4[2]若A,B,C,D是调和点列,过此点列所在直线外任一点P作射线PA,PB,PC,PD,则称这四条射线为调和线束.反过来,任一直线与调和线束相交所截的四个点构成调和点列.

有了以上这四个定义和一个性质,我们就可以把上述竞赛试题的结论推广到更一般的情形,得到圆锥曲线的一个统一性质:

结论5已知点Q为圆锥曲线Γ 外一点,过点Q引Γ 的两条切线QP,QR,切点分别为P,R,过点Q的一条割线l与Γ 交于A,B两点,直线PA,PB分别交直线QR于点C,D.设,则为定值

证明如图1, 设直线l与PR交于点E, 因为PR为点Q所对应的极线, 所以Q,A,E,B是调和点列,则PQ,PA,PE,PB是调和线束, 所以由定义4 可得Q,C,R,D也是调和点列, 则由性质1 可得(其中表示有向线段的数量), 所以为定值.

图1

四、试题溯源

由调和点列与调与线束的理论不难发现,例1 与下面这道高考题同根同源:

例2(2018 年高考北京卷理科第19 题) 已知抛物线C:y2= 2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.

(1)求直线l的斜率的取值范围;

(2)设O为原点,,求证:为定值.

分析易得抛物线C的方程为y2= 4x.对于第(2)问, 如图2, 直线QP的方程为y=x+1, 易得此直线恰好与抛物线C相切于点P, 则直线OP是点Q关于抛物线C的极线.设直线l交直线OP于点D, 则Q,A,D,B是调和点列, 所以PQ,PA,PD,PB是调和线束, 所以由定义4 可得Q,N,O,M也是调和点列, 则由性质1 可得(其中表示有向线段的数量),再由条件可得为定值.

图2

在高考中以调和点列与调与线束理论为背景的试题还有很多,如2023 年高考全国乙卷理科第20 题、2022 年高考全国乙卷理科第20 题、2020 年高考北京卷第20 题、2017 年高考北京卷理科卷第18 题等等.虽然调和点列与调与线束的相关知识不属于高考考查的内容,但是学生如果了解这些知识,则在面对此类试题时能够居高临下,直入主题,快速明确解题方向,从而提高解题的成功率.