时间分数阶对流扩散方程的有限点法分析

陈有玲

(重庆师范大学 数学科学学院,重庆 401331)

0 引言

对流扩散方程是偏微分方程中一个重要的方程,而分数阶对流扩散方程能够对各种复杂的异常扩散现象[1-2]精准刻画.目前可用于求解分数阶对流扩散方程的方法有有限差分法[3]305,[4]、有限元法[5]、有限体积法[6]、隐式无网格方法[7]、径向基函数无网格插值法[8]等.

传统的基于网格的数值方法无法很好地得到科学和工程领域的一些复杂问题的解,无网格方法[9]克服了对于网格的依赖,并且具有较高的计算精度.有限点法[10]1,[11]是在散乱的离散点集上,基于移动最小二乘近似构造数值解和配点技术形成离散代数方程组,是一种最流行和最简单的无网格方法,已广泛用于科学工程领域.

针对时间分数阶对流扩散方程提出了一种有限点方法.首先,用L2-1σ[12]424逼近离散Caputo分数阶导数,用二阶中心差商离散扩散项和对流项,得到时间离散格式,并对该格式进行稳定性和收敛性分析;其次,用有限点法离散代数系统;再次,借鉴文献[10]3-6的思路求解时间分数对流扩散方程的快速有限点法的理论误差估计;最后,给出数值验证该方法的有效性和合理性.

1 给出问题

考虑以下时间分数阶对流扩散方程的初边值问题:

(1)

u(x,0)=φ(x),x∈Ω,

(2)

(3)

2 时间离散及其稳定性与收敛性分析

2.1 时间离散

(4)

(5)

用二阶中心差商逼近扩散项和对流项,得

Δun-1+σ(x)=(1-σ)Δun-1(x)+σΔun(x)+o(τ2),

(6)

(7)

将式(4)和式(6)～(7)代入式(1),式(1)～(3)可离散化为以下与时间无关的整数阶系统:

(8)

(9)

其中

略去Rn,设Un是un(x)的近似值,则U0=u0(x)=φ(x),式(8)和(9)可写成

(10)

(11)

其中

(12)

2.2 时间离散格式的稳定性分析

(13)

证明用σUn+(1-σ)Un-1在式(10)两边同时做内积,可得

(14)

根据Green公式和Friedichs不等式可得

(15)

其中C是一个正常数.

根据分部积分法,有

所以,

(16)

由Cauchy-Schwarz不等式和 Young不等式,得

(17)

应用引理2,将式(15)～(17)代入式(14),得

(18)

即

(19)

用数学归纳法可得

即证明了时间离散方案是无条件稳定的.

2.3 时间离散格式的收敛性分析

定理2 设{Un,n=0,1,2,…,T/τ}为式(8)的数值解,{un,n=0,1,2,…,T/τ}为其解析解,令en=Un-un,n=0,1,…,T/τ,则

由定理1类似证明过程即得定理2.

3 空间离散

(20)

通过式(20)可以得到

(21)

(22)

当xj∈Ω时,将式(20)～(22)代入式(8)并略去一切误差得

(23)

当xj∈∂Ω时,将式(20)代入式(3),得

(24)

最终根据式(23)～(24), 用矩阵形式表示式(1)～(3)问题的有限点法离散代数系统如下:

(25)

(26)

(27)

4 误差分析

定理3 如果un∈Hs+1(Ω)是式(1)～(3)的解析解,则

(28)

证明设vn(x)满足

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

对于任意i∈∧j={idist(xi,Rj)

(34)

(35)

另外,根据式(33)可得

(36)

根据移动最小二乘近似的重构性质和式(29),可得

(37)

其中

(38)

根据式(24)得

(39)

将式(36)代入式(39),得

(40)

其中

(41)

式(37)和式(40)可以写成矩阵形式:

(42)

(43)

因此,通过式(32)和式(35)有

(44)

最后,根据式(30)、式(34)和式(44)得出式(28).

5 数值算例

考虑如下时间分数对流扩散方程:

该问题的解析解为u(x,t)=sin(πx)t3+α,初边值条件和f(x,t)可根据解析解得到.在数值计算时选取二次基函数p(x)=[1,x,x2]T.

图1 给出了当t=1,空间间距h=1/20与时间间距τ=1/20时的数值解和误差,可以看出数值解和解析解吻合得很好,数据也显示绝对误差小于3×10-3,说明笔者使用的有限点法具有较高的计算精度.

图1 算例在α=0.5,t=1,h=1/20和τ=1/20时的数值解和绝对误差

图2和图3分别给出了当τ=0.01或者h=0.01时,L∞误差和L2误差与空间步长h或者时间步长τ之间的关系.可以看出,误差随着τ和h的变小而变小,且数值解大约以τ2和h2速度收敛于解析解,这与理论一致.表1是有限差分法[3]308和有限点法不同h、τ和α时的最大误差,有限点法具有更高精度,明显优于有限差分法.

表1 有限差分法与有限点法在不同的空间步长h、时间步长τ和α时的最大误差

图2 当τ=0.01时误差与空间步长h的关系

图3 当h=0.01时误差与时间步长τ的关系

6 结论

针对时间分数阶对流扩散方程,用有限差分法离散时间变量,用有限点法进行空间离散,推导了详细的数值计算公式,对时间离散方案进行了稳定性和收敛性分析,分析了该方法的误差估计.理论误差分析表明,时间和空间收敛率分别约为τ2和h2.数值算例证实了求解时间分数阶对流扩散方程的有限点法的有效性和收敛性,并验证了理论分析结果.