“探究对勾函数的图象和性质”教学设计

吴功尧

【关键词】数学探究；对勾函数；核心素养

引 言

二、教法与学法分析

为了让学生有较完整的探究体验，教师可以设计问题链（包括探究方案、研究思路、发现并证明结论、成果交流与评价），并组织学生以自主探究、小组合作、交流展示等方式开展探究活动.在这个过程中，教师应成为学生开展数学探究的组织者、指导者和合作者，学生应成为数学探究的参与者、分享者和评价者.

三、教学目标及重难点分析

知识层面上，能从数和形两个视角研究函数的图象与性质，这是本课的重点.一方面是从形上感知，学生会用描点法画出函数的图象，能从图象中看出函数的变化趋势.另一方面是从数上确认，学生能用严谨的数学语言证明所得结论；能力层面上，学生能联系所学知识，运用类比方法，明确研究思路，拟定合理的探究方案，这也是本课的难点.组内交流、组间交流、师生交流等方式，有助于培养学生清晰有条理表达的能力.在探索建立研究函数的一般模式时，学生能发展抽象概括的能力，这是本课的另一个重点；素养层面上，学生通过类比、观察、证明、归纳，培养直观想象、逻辑推理和数学抽象核心素养.

四、教学过程

（一）创设情境，提出问题

课前，教师引导学生试用数显半径规，并思考其工作原理.工程中，数显半径规可用于测量圆弧形面的半径，如图1，将测头A，B和中间测杆D靠在圆弧面上（其中测杆D可自由伸缩），可直接读出半径的大小.半径读数随着高度差MD的变化而变化，二者存在一定的函数关系.

设计意图 新课标强调教学中要重视情境创设和问题设计.在综合化的情境中，学生与情境开展有效互动，能很好地落实数学学科核心素养.数显半径规的设计原理可追溯到《九章算术》中的“圆材埋壁”问题.该情境兼具针对性、可接受性、科学性、启发性和趣味性，有助于唤起学生的求知欲，引发认知冲突，调动探究的主动性和积极性.

（二）明晰思路，拟定路径

问题1 当遇到一个新函数时，你认为可以从哪些方面进行研究？（参考答案：可以从数和形两个方面进行思考，分别研究函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、渐近线、对称轴等.）

问题2 你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？（参考答案：先从解析式中直接求出函数的定义域，然后利用定义证明函数的奇偶性，有了奇偶性，只要研究x>0的情况即可起到事半功倍的效果.接着运用基本不等式求出函数的最值，得到函数的值域，有了這些性质，再用描点法作图，观察图象后研究函数的单调性、渐近线和对称轴.）

（三）数形联通，探究新知

设计意图 在探究过程中，教师要发挥组织、指导和评价的作用，要组织学生通过自主探究、合作探究、小组展示获得结论.学生是探究的主体，针对问题3，4，5，教师要充分发挥学生的主动性和积极性，鼓励学生敢想、敢钻、敢说、敢辨.问题3设置了3个追问，问题4的追问少了，到了问题5完全由学生自己发现问题，解决问题，鼓励学生主动成为问题的提出者和问题解决者.问题3，4，5的设计，由刚开始的领着走，到后来完全放手让学生自己研究，循序渐进，层次分明.数学探究离不开探究工具的使用，为了利于学生探究，教学中不仅用到了实物，还多次用到GGB软件进行动态演示.

（四）类比迁移，引申拓展

整体上看，这些函数图象的变化趋势较为相似，通常将这类函数形象地称为“对勾函数”.

设计意图 类比是个伟大的“引路人”，遇到新函数时，学生可以循着相同的路径进行探究.采用由特殊到一般的方式进行研究，符合学生的认知规律，有助于学生抽象概括、去粗取精，提炼函数的本质特征.当函数含参时，列表、描点、连线的方法不再适用，学生可以通过分析“数”来研究“形”，发现的性质越多，画图越准确.

（五）归纳整理，总结升华

问题7 通过本堂课的学习，你有哪些收获？

五、教学反思

（一）促进学生学习方式的改变

数学探究有助于发展学生的创新意识和实践能力.学生要有敏锐的观察力，善于联系已学知识，各自开展独立探究，并撰写研究报告.学生要有合作意识，积极参与讨论，和小组成员一起讨论探究方案，完善研究成果，形成小组研究报告.学生不仅要认真听讲，积极思考，还要敢于质疑、善于交流、勤于动手、乐于探究.

通过数学探究，学生不仅收获了探究所得的知识，而且提升了探究的一般技能，强化了探究的成功喜悦，培育了探究真理的精神.数学学科的生命力不在于“三段式”的结论，而是“三会”，数学探究正是提升“三会”的最佳选择.

（二）促进教师教学方式的改变

探究课强调学生的主体性，要求把时间留给学生，让学生想、让学生做、让学生说、让学生展示，教师成了学生的倾听者、观察者.看似教师的任务少了，实则对教师的教提出了更高的要求.

教师需要创设兼具趣味性、综合性的情境，激发学生探究的欲望.教师需要在40分钟内，指导学生完成拟定探究方案、确定研究思路、探求数学结论或规律、解释或证明结论等任务.教师需要充分了解学生的“最近发展区”，铺设探究的生长点.教师需要预判可能出现的情况，适时组织学生自主探究、小组讨论、交流展示.教师需要面向全体学生，让学习能力强的学生有事干，让学习能力弱的学生有收获.教师需要熟练运用信息技术，帮助学生形成良好的感性认知，从而降低探究的难度.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学（必修第一册）[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]杨怡，梁会芳，张定强.“数学探究”研究二十年：回顾经验展望[J].数学教育学报，2020（06）：40-45.