积分变换在数理方程中的应用

杜玲珑, 王 珂

(东华大学 理学院,上海 201620)

0 引 言

积分变换是求解数理方程解的常用工具之一.例如,在求解全空间热传导方程或波动方程的初值问题时,通常利用Fourier变换先将该类问题转化为一阶常微分方程的初值问题并求解,再利用逆Fourier变换,从而获得原定解问题的解.对于一维半无界的热传导方程或者波动方程,一般可以利用对称延拓法,将半无界问题转化成全空间上的初值问题.也可以利用Laplace变换先将其转化为常微分方程求解,再利用逆Laplace变换得到原方程的解,见文献[1-4].本文综合利用Fourier-Laplace两种积分变换求解n维半无界的热传导方程.该方法可以应用到其它n维半无界的数理方程,如波动方程[5].

1 半无界热传导方程

本文研究半无界空间的热传导方程.记n维空间为x=(x1,x′)∈+×n-1,其中x1∈(0,∞)为半直线.则n维半无界空间的热传导方程定义如下:

(1)

对于初边值问题(1),利用齐次化原理(Duhamel原理)可以将解表示为

(2)

G(x1,x′,t;y1)称为半无界问题(1)的Green函数,满足如下方程

(3)

其中δ(x′)=δ(x2)…δ(xn).

2 半无界热传导方程Green函数的表示

为求解半无界问题(1)的Green函数,首先对全空间热传导方程的热核在变换空间中进行刻画,给出热核在Fourier空间上的表达式.接着对时间做Laplace变换、对部分空间做Fourier变换,在变换空间中用热核和边界算子分析Green函数的结构,从而在原空间中得到半无界问题的Green函数表达式.

2.1 全空间热核K在(x1,ξ′,s)空间中的表示

全空间热传导方程定义如下:

(4)

其解可以表示为

其中K(x,t)被称为初值问题(4)的基本解或热核,满足如下方程

对空间n维变量x做Fourier变换并求解常微分方程,得到热核K在(ξ,t)变量下的表示

K(ξ,t)=e-a2ξ2t,K(ξ,t)∶=F[K(x,t)].

对其做逆Fourier变换,得到热核K在(x,t)变量下解的表达式

2.2 半无界问题Green函数的表示

令H(x1,x′,t;y1)=G(x1,x′,t;y1)-K(x1-y1,x′,t),将(3)转变为如下初值为0的方程

(5)

对系统(5)中的空间变量x′∈n-1和时间变量t∈(0,∞)分别做Fourier变换和Laplace变换,得到如下常微分方程

(s+a2|ξ′|2)H-a2Hx1x1=0.

解上述常微分方程,得到解的一般形式:H(x1,ξ′,s)=Ae-λx1+Beλx1.根据解在无穷远处的衰减性质及定解条件,得

因此,

当边界条件为Dirichlet边界条件即k1=0,半无界热传导方程解的Green函数可化简为

G(x1,ξ′,s;y1)=K(x1-y1,ξ′,s)-K(x1+y1,ξ′,s).

(6)

对(6)式两边的变量ξ′和s分别做逆Fourier变换和逆Laplace变换,即得到Green函数和热核之间的关系

G(x1,x′,t;y1)=K(x1-y1,x′,t)-K(x1+y1,x′,t).

G(x1,x′-y′,t;y1)=K1(x1-y1,t)Kn-1(x′-y′,t)-K1(x1+y1,t)Kn-1(x′-y′,t)

当边界条件为Neumann边界条件即k2=0,半无界热传导方程的Green函数可以化简为

G(x1,ξ′,s;y1)=K(x1-y1,ξ′,s)+K(x1+y1,ξ′,s).

同理,可以用热核表示Neumann边界条件下半无界问题解的Green函数,即

G(x1,x′-y′,t;y1)=K1(x1-y1,t)Kn-1(x′-y′,t)+K1(x1+y1,t)Kn-1(x′-y′,t)

当边界条件为Robin边界条件即k1k2≠0,有

对上式两边做逆Fourier变换和逆Laplace变换,并注意到

和

F-1L-1[(k1λ+k2)2K(x1+y1,ξ′,s)]=(k2-k1∂x1)2K(x1+y1,x′,t).

因此

上式用到了热核Kn-1(x′,t)的半群性质

于是有

因此

结合该式并利用方程进一步化简,有

综上,当边界条件为Robin条件即k1k2<0时,

G(x1,x′-y′,t;y1)=Kn(x-y,t)+Kn-1(x′,t)K1(x1+y1,t)

3 结 论

文中综合利用Fourier和Laplace两种积分变换,在变换空间中用全空间热传导方程的热核和边界算子表示n维半无界热传导方程解的Green函数,并在半无界空间中给出了热传导方程在三类边界条件下Green函数的具体表达式.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.