带粗糙核的分数次积分算子的交换子在Morrey－type空间上的加权有界

黄慧娟,王子雄,马江山*

(1.吉首大学数学与统计学院,湖南 吉首 416000;2.上饶师范学院数学与计算机科学学院,江西 上饶 334001)

1 引言及主要结论

对给定的0＜α＜n,分数次积分算子(或Reisz势算子)Iα定义为:

同样地,带粗糙核的分数次积分算子IΩ,α可以定义为:

其中Ω ∈Ls(Sn－1) ,1＜s≤∞是Rn上的零次齐次函数,即对任意的λ＞0,x∈Rn有Ω(λx)＝Ω(x) 。

众所周知,分数次积分算子在调和分析中有着十分重要的地位,有界性的研究也是算子性质研究中的重要板块之一。哈代－利特尔伍德－索博列夫(Hardy－Littlewood－Sobolev)定理[1]是分数次积分算子的一个著名的结果,即Iα是Lp空间上的有界算子。另外,陆(Lu)等人在文献[2]中得到了IΩ,α在Lp空间以及加权Lp空间中的有界性。

有界平均振荡空间BMO最初是1960年左右由约翰(John)和尼伦伯格(Nirenberg)在研究一类非线性偏微分方程问题时提出,具体定义如下:

定义1.1[3]BMO空间定义为:

与此同时,由带粗糙核的分数次积分算子IΩ,α和函数b∈BMO生成的具有粗糙核的分数次积分算子的交换子的定义如下:

定义1.2 设b∈BMO,其中b是Rn上的一个局部可积函数,对0＜α＜n和粗糙核Ω∈Ls(Sn－1) ,1＜s≤∞,则b和IΩ,α所生成的交换子定义为:

其中,当Ω(x) ≡1时,称为分数次积分算子的交换子。

交换子在各类经典的空间上的有界性已有丰富的研究结果,如:交换子在Lp上的加权有界性参见文献[2];在加权Morrey空间上的有界性见文献[4];在Herz型Hardy空间上的加权有界性见文献[5]。随后,王(Wang)[6]证明了交换子是下述新型加权Morrey空间上的有界算子。

2017 年,Wang在文献[6－7]中定义了一类新型加权Morrey空间,并得到了分数次积分算子在这类新型加权Morrey空间上的有界性。为了获得加权估计的结果,定义1.3和定义1.4首先给出一些关于权函数类的定义和结论,具体内容读者可参见文献[8－9]。定义1.5再介绍Wang定义的新型加权Morrey空间。

定义1.3[8]设0＜p＜∞,称权函数ω∈Ap,如果存在一个常数C＞0,使得对Rn上所有的球体B都满足

其中p′是p的共轭。特别地,当p＝1时,若存在一个常C＞0,使得

则称权函数ω∈A1。另外,定义A∞＝∪1≤p＜∞Ap。

定义1.4[9]对于1＜p,q＜∞,称权函数ω∈Ap,q,如果存在一个常数C＞0,使得对Rn上所有的球体B都满足

那么称权函数ω∈Ap,q。对于给定的权函数ω以及勒贝格可测集E,ω(E)表示加权测度。称一个权函数ω满足双倍条件,如果存在一个常数C＞0,使得对Rn上任意的球体B有:

根据文献[10],如果ω∈A∞,那么ω满足双倍条件即不等式(1)。此外,如果ω∈A∞,那么对任意球体B和B的任意可测子集E,存在一个独立于B和E的正数δ＞0,使得

以下将介绍Wang在文献[6]中定义的加权Morrey－type空间Mp,θ(v,u) 。

设0≤k＜1,θ(· ) 是定义在 (0,＋∞) 上的非负增函数并且满足以下一类Dk条件:

其中C1＞0且不依赖于ξ、ξ＇,则Mp,θ(v,u) 的定义如下:

定义1.5[6]设1≤p＜∞,0≤k＜1,且θ满足Dk条件,新型加权Morrey空间定义为:

其中范数定义为:

同时,从文献[6]中可得到了分数次积分算子的交换子在此类Morrey空间上的有界估计,具体结论如下:

定理A[6]令0＜α＜n,1＜和,并且ω∈Ap,q。假设对,θ满足Dk条件,那么是从到的有界算子。

在此基础上,受文献[11]证明了奇异积分算子交换子是相关于θ的加权Morrey－type 空间Mp,θ(v,u) 上的有界算子的启发,本文将考虑带粗糙核的分数次积分算子交换子在空间上的有界性。本文主要结论如下:

定理1.1 对于0 ＜α＜n,设是带粗糙核的分数次积分算子的交换子,且Ω ∈以及,则存在一个与f无关的常数C＞0,使得

2 预备知识

引理2.1[2]令0＜α＜n,1＜s′＜p＜,并且。假设Ω(x),b∈BMO(Rn) 且ω(x)s′∈,那么存在一个与f无关的常数C,使得

引理2.2[2]令0＜α＜n,1≤p＜且,当p＞1时,如果权函数ω∈Ap,q,那么ωq∈Aq,并且ω－p′∈Ap′。

引理2.3[10、12]对于任意b∈BMO,有:

(i)对于在Rn中的任意球体B,以及j∈Z＋,那么,

(ii)对于1＜q＜∞,在Rn中的任意球体B,ω( x)∈A∞,那么,

3 主要结果的证明

设b∈BMO(Rn) ,当0＜p,q＜∞时,取f∈Mp,θ(ωp,ωq) ,ω(x)s′∈。任取Rn上的球体B＝B(x,r) ,令f＝f1＋f2,其中f1＝fχ2B,f2＝fχ(2B)c,则可得以下分解:

对I1而言,由引理2.2和的定义可得:

于是对上述不等式,利用引理2.3中的(5),有:

又因为对1＜q＜∞,有ωq∈AqA∞,再根据θ的Dk条件(3)和不等式(2),以及指标满足δ＞0,0≤k＜直接可得:

类似地,处理J2,只需要将上述J1的估计中应用的引理2.3中的(5)更改为应用引理2.3中的(4),容易得到:

最后对于J3,对于1,利用广义赫德(Hölder)不等式,有:

其中ω (x)s′∈,根据引理2.2有,若令φ(y)＝ω(y) －t,则φ∈At,再根据引理2.3中的(5),可得:

其中最后一个不等式由Ap.q权函数类的定义得,再将上式代入J3可得:

综上I1、I2、J1、J2、J3的估计,再对所有的球体B取上确界,定理得证。