准零刚度驱动式压电低频振动能量采集方法1)

陈婷婷 王 凯,,2) 成 利 周加喜,)

* (湖南大学机械与运载工程学院,长沙 410082)

† (香港理工大学机械工程系,香港 999077)

引言

压电材料因其可实现机械能和电能互换的特性,受到工程应用及科研人员的重视,被广泛应用于健康监测、计量元件的传感结构及损伤探测等领域[1-4].从环境振动、机械振动或者人体运动中采集能量,将其转化为电能可以极大满足传感器自主供电的环保要求和经济需求[5-6].近些年来由于微电子及物联网的高速发展,对μW/mW 级的电能应用场景逐渐增多,因此将压电材料用于能量俘获并应用于传感器自供能设计也得到极大的关注[7-10].压电俘能材料根据外力加载方向的不同,可以分为d33 和d31 两种模式,d33 模式是施加的外力方向平行于压电材料极化方向;而d31 模式是施加的外力方向垂直于压电材料极化方向.其中,d33 模式更适用于高频能量俘获,而d31 模式一般由组合梁的方式呈现,更适合于中低频段能量俘获[11],同时后者俘能结构因可设计性更强,得到更加广泛的研究.

悬臂梁结构是最常见的压电俘能方式,Sun 等[12]综述了超低频振动能量采集的研究情况,其中悬臂梁式的压电能量采集结构在文中占了很重要的篇幅.传统的线性悬臂梁压电俘能器利用结构共振获取高效振动能量俘获,但其工作频带窄,且必须要匹配到其共振频率时才能实现高效俘能.因此,简单的线性悬臂梁压电俘能装置因其低频振动能量转化效率较低、俘能频带较窄而难以胜任复杂环境的能量俘获.为解决线性悬臂梁压电俘能方法的局限性,研究人员设计了频率可调[13-14]的压电能量采集器来增加其实用性.为拓宽压电俘能器的有效工作频带,研究人员在梁上加装多个质量块构造多模态悬臂梁[15-17],实现了振动能量高效俘获频带的成倍拓宽.在提高能量转化效率方面,利用多段悬臂梁协同工作,可以明显提升能量采集系统的俘能效率[18].此外,Zou 等[19]构建了机械调制能量采集方法体系,从激励形式转换、升频与力和运动放大等3 方面提高机械能量采集系统性能.但是,对于传统线性共振型压电能量采集系统而言,面临着承载能力和低固有频率之间的矛盾,难以实现低频,甚至超低频振动能量高效俘获.

为克服线性共振型压电能量采集方法在低频振动能量高效俘获方面的局限性,研究人员发展了非线性多稳态振动能量俘获方法,并迅速获得极大的关注.例如,Liao 等[20]利用流体诱导振动设计了一种双稳态压电能量采集器(BS-PEH),其研究结果表明所提出的振动能量采集方法能够明显提高能量采集功率密度.Feng 等[21]提出了一种仿生双稳态压电能量采集器,并证明了其在宽频振动能量俘获方面的优势.Wang 等[22]也设计了一种基于弹簧的双稳态能量收集器(SBEH),并证明了其从不同低频振动环境中俘能的能力.Zhou 等[23]受鸟类双翅飞行机理的启发,提出一种新型仿生双翅压电能量采集器(BDEH),用于采集低频振动能量.多稳态结构由于其运动形式更加丰富,将其与压电材料结合用于振动能量俘获受到很多学者的关注和研究.Fang 等[24]综述了多稳态效应特点及其在能量采集等多方面的应用.以三稳态结构为例,其结构有3 个对称的势能阱,且势能阱的深度要比双稳态浅,宽度要比双稳态宽,因此能实现较低强度下更宽频的振动能量采集.Zhou 等[25]探究了非对称的三稳态能量采集器的动力学行为以期能提高三稳态压电俘能器的俘能效果.聂欣等[26]研究了窄带随机激励下三稳态压电俘能器,并且通过实验验证了三稳态压电俘能器在随机振动能量俘获方面的优越性.

但是,不论是双稳态还是三稳态等多稳态结构,都难以摆脱势能阱和势垒的束缚,即只有当系统跨越势垒时才能产生较大的动力学响应幅值,从而实现振动能量的高效俘获.为克服势垒对低频振动能量高效俘获的限制,Chen 等[27]设计了一种有自减势垒效应的双稳态能量收集器,采用弹簧磁振子对悬臂梁进行双向纠偏,使势垒在返回平衡位置时动态降低;而当远离平衡位置时,势能增强,实现了16.17 Hz的超宽高效率振动能量采集频带.郑友成等[28]设计了一种线性放大与非线性磁力复合增强的三稳态压电俘能装置,可以减小低能轨道到高能轨道所需的激发能量,同时还拓宽了阱间运动的频率范围.

虽然研究人员在线性共振型压电能量采集方法和非线性多稳态压电能量采集方法方面进行了诸多研究,但要想实现低频小振幅振动能量高效采集,尤其是在10 Hz 以下的超低频俘能,还存在一定困难.鉴于此,本文提出了一种准零刚度驱动式压电能量采集装置.其中,压电复合梁结合连杆形成负刚度机构,并在静平衡位置处与正刚度相互抵消,使能量采集系统实现准零刚度特性.本文首先通过能量法求出机电耦合方程,并通过多项式对系统非线性回复力进行拟合,结合谐波平衡法,推导动力学响应与电学输出的解析幅频响应方程.制备实验样机,搭建了实验测试平台,验证了理论分析结果.本研究有望为低频小振幅振动能量采集提供新思路.

1 模型设计及力学分析

1.1 模型及能量采集单元力学分析

图1 展示了准零刚度驱动式压电俘能装置模型图,整个装置由一个底板、4 根导柱、两根压电复合梁和一个线性弹簧组成.压电俘能装置的结构参数如图1 所示,其中基梁长113 mm,压电薄膜长85 mm,基梁和压电膜的宽度均为10 mm,连杆的长度b=25 mm.当压电复合梁处于自由状态时,连杆倾斜,所对应的水平距离a=17 mm.当将附加质量置于准零刚度俘能系统时,系统处于静平衡位置(连杆处于水平位置),压电复合梁具有最大跨中挠度.此时,压电复合梁同连杆共同组成俘能系统的负刚度机构,抵消正刚度弹簧的刚度值.当系统受到外部激励时,附加质量向上或向下移动,当附加质量到达最高或者最低点后再回到平衡位置时,系统完成了半个运动周期,此时压电复合梁完成一个运动周期.因此,准零刚度驱动式能量采集系统的电学输出频率是准零刚度系统动力学响应频率的两倍.

图1 俘能装置结构模型图Fig.1 Structure model diagram of energy harvesting device

对压电复合梁进行力学分析,其模型示意图以及局部坐标系如图2 所示.图2(a)中L表示基梁的长度,Lp表示压电膜的长度,H(t)表示压电复合梁的跨中挠度.其中,黑色虚线表示复合梁在受集中力作用后,发生弯曲变形的形状.图2(b)展示了压电复合梁的横截面图,其中db和hb分别代表梁的宽度和厚度,dp和hp分别代表压电膜的宽度和厚度.

图2 复合梁模型及其截面图Fig.2 Composite beam model and its cross section

研究人员发现,对于受跨中集中力作用的简支梁而言,其挠曲线可以用半正弦波函数进行近似描述[29-30],即复合梁的挠曲线方程可表示为

式中,H(t)是复合梁的跨中挠度,其表达式为

其中X(t)表示准零刚度系统的位移响应.根据复合梁的挠曲线方程,梁的应变与应力方程可由系统动力学响应表示为

其中Yb表示梁的杨氏模量.假设压电薄膜的应变等于其与基体梁结合处基体梁表面的应变,则压电薄膜的应变可以表示为

对于本文所研究的压电片,其简化本构方程可写为[31]

式中,σp是压电膜的应力,Yp是压电膜的杨氏模量,e31为压电片的应力常数,E3为电场强度,D3为电位移,η33为恒定应变下的介电常数.在均匀电场强度下,电场强度E3和电压之间的关系可表达为

则压电薄膜输出的电流为

式中Ap是压电膜的横截面积.将式(5)、式(7)和式(8)代入式(9),电流方程可表示为

其中(t)和(t)分别表示压电薄膜输出电压以及能量采集系统位移响应对时间的导数,若将压电薄膜的等效电容引入式(10),即

则压电薄膜的输出电压可改写为

若假设压电复合梁在其跨中有虚位移 δH,基体梁与压电薄膜的虚应变分别为 δεb与 δεp,此时压电复合梁的虚应变能可表示为

式中,Ab是基体梁的横截面积,将式(3)、式(6)和式(8)代入到式(13),复合梁的整体虚应变能可表示为

当在压电复合梁跨中处作用一定位移后,假设压电复合梁提供的回复力为Fmid,根据虚功原理,复合梁的虚应变能也可表示为

将式(14)代入到式(15),则集中力Fmid可以表示为

显然,式(16)是一个机电耦合方程,若引入机电耦合系数

以及力学参数

压电复合梁的电学回路方程可以表示为

显然,当给定系统的动力学响应X(t)后,即可由式(19)与式(20)获得压电复合梁的跨中回复力以及能量转化单元的电学回路方程.

1.2 系统的动力学分析

对准零刚度驱动式压电能量采集系统而言,当系统在竖直方向上运动位移为X(t)时,其系统回复力可以表示为

式中,K表示竖直弹簧的刚度,θ表达当系统偏离静平衡位置X后连杆与水平线的夹角.将式(21)对位移X求导,则准零刚度驱动式压电能量采集系统的非线性刚度可以表示为

为获得准零刚度特性,假设在静平衡位置处能量采集器的刚度值等于0,此时系统的响应位移为0,进而压电薄膜的输出电压也为0,即

由式(23)可以得出,系统的准零刚度条件为

将式(24)代入式(21),则具有准零刚度特性的压电能量采集器回复力表达式可以表示为

当给定系统的动力学响应以及电学响应后,由式(25)即可获得系统的回复力值.在基础激励U=U0cos(ωt)(式 中U0表示位移幅值,ω表示频率)作用下,能量采集器的机电耦合动力学方程为

式中,M表示能量采集器质量块的质量,C表示线性黏性阻尼系数.

由于两根压电复合梁始终处于相同的变形状态,所以两片压电薄膜具有相同的电学输出.若考虑外接电阻R,则由欧姆定律可知能量采集器的电学回路方程为

将式(27)代入式(20),则能量采集器的第2 个机电耦合方程可以表示为

以及

对于给定的外激励频率和外激励幅值,通过求解式(29)和式(30)即可获得能量采集器的动力学响应和电学输出.

1.3 机电响应的解析表达

为获得准零刚度驱动式压电能量采集系统动力学响应与电学输出的解析表达式,首先给出其在静平衡位置处的回复力表达式

对回复力在静平衡位置处进行三阶泰勒展开,即

对于准零刚度系统而言,其刚度值在静平衡位置处等于0,即 κ1=0.

同时将机电耦合方程中机电耦合系数

在静平衡位置处用泰勒级数展开,其三阶展开表达式为

准零刚度驱动式压电能量采集系统的回复力和机电耦合系数的原始表达式和多项式拟合对比如图3 所示,其中黑色和红色实线分别代表由精确表达式获得的回复力和机电耦合系数曲线,而蓝色米字和黄色星星分别表示由多项式拟合得到的回复力和机电耦合系数曲线.显然,无论是回复力还是机电耦合系数,其由精确表达式获得的曲线能够与由多项式拟合表达式获得的曲线在设计使用范围内较好吻合,换言之,3 阶泰勒展开表达式能够表征能量采集系统的回复力和机电耦合特性,能够用于推导机电响应的解析表达式.

图3 回复力和机电耦合系数的原函数和拟合函数图(γ=1.562 5,θ=0.21,A=0.17,B=0.25)Fig.3 The original function and polynomial approximation diagram of restoring force and electromechanical coupling coefficient (γ=1.562 5,θ=0.21,A=0.17,B=0.25)

将式(32)与式(35)代入式(29)与式(30),准零刚度驱动式压电能量采集系统的机电耦合动力学方程可以改写为

从能量俘获单元的俘能原理分析可知,准零刚度驱动式压电能量采集系统的位移响应频率等于激励频率,而电学响应频率是外激励频率的二倍.因此,假设系统的位移响应和电学响应的表达式为

其中 ϕ1和 ϕ2分别表示力学响应和电学响应的相位.将式(38)代入式(36),并令左右两边相同谐波的系数相等,可以得到

将式(38)代入到式(37)中,使两边谐波相等的各项系数和相等,可以得到

结合式(41)可以得出 cos(2ϕ1-ϕ2)和 sin(2ϕ1-ϕ2)异号,结合式(4 2)可以得到 cos(2ϕ1-ϕ2)>0,sin(2ϕ1-ϕ2)<0.同时将式cos2(2ϕ1-ϕ2)=1-sin2(2ϕ1-ϕ2)代入到式(41),可以解得

将式(43)、式(44)代入到式(42)中,可以得到

将式(43)～式(45)代入到式(39)和式(40)中,可得到准零刚度驱动式能量采集系统的幅频响应方程

此外,由式(45)可得出A12和B1的关系

将式(47)代入式(46),即可获得准零刚度驱动式能量采集系统电学输出的幅频响应方程.对于给定的外激励频率与幅值,由力学与电学幅频响应方程即可获得系统的动力学响应与电学输出,并评估系统在低频振动能量采集方面的优势.

2 结果比对与参数分析

2.1 数值结果与解析解结果比对

准零刚度驱动式能量采集系统的位移幅频响应曲线与电学输出幅频响应曲线如图4 所示,其中黑色实线表示由解析表达式获得的结果,红色正六边形表示数值解正向扫频结果,蓝色十字表示数值解逆向扫频结果.如图4(a)所示,准零刚度驱动式能量采集系统的解析位移幅频响应曲线与通过直接求解系统机电耦合动力学方程获得的数值位移幅频响应曲线具有较高的一致性: 在下跳频率之前的低频范围以及在下跳频率之后的高频范围内,由解析表达式获得的系统动力学幅频响应曲线与由数值求解系统机电耦合方程获得的数值解完全一致,曲线相互重叠;数值幅频响应曲线的下跳频率高于解析幅频响应曲线的下跳频率,且数值幅频响应曲线在下跳频率处所对应的位移响应幅值略高于解析幅频响应曲线下跳频率所对应的幅值,主要原因为当使用谐波平衡法推导系统机电响应时对系统的回复力与机电耦合力进行多项式拟合,产生拟合误差.此外,在推导系统机电响应的解析表达式时,舍去了机电响应的高阶谐波项,导致由解析表达式获得的系统响应幅值略小于由求解原始机电耦合方程所获得的数值结果.

图4 数值结果与解析解结果对比(γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)Fig.4 Comparison of numerical results and analytical results(γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)

图4(b)为准零刚度驱动式能量采集系统输出电压的幅频响应曲线.显然,输出电压的幅频响应曲线与如图4(a)所示的位移幅频响应曲线具有一致性,即在低于下跳频率与高于下跳频率的频率范围内,输出电压的数值结果与由解析表达式获得的理论结果相互吻合,但是数值下跳频率略高于解析下跳频率,且数值下跳频率对应的电压幅值略高于解析下跳频率对应的电压幅值.实际上,电学响应与位移响应的一致性主要是因为准零刚度驱动式能量采集系统的能量转化单元(压电复合梁)由准零刚度系统进行驱动,其形变与系统的位移响应严格相关.换句话说,当准零刚度系统的动力学响应幅值较大时,压电复合梁产生较大的跨中挠度,进而使压电薄膜产生较大应变并输出较大电压.综上所述,由谐波平衡法获得的解析表达式能够用于计算准零刚度驱动式能量采集系统的动力学响应与电学输出,以快速评估系统的机电性能.

2.2 参数分析

2.2.1 阻尼比的影响

本文所提出的准零刚度驱动式能量采集系统不可避免地存在着机械摩擦与结构阻尼.本节通过改变系统阻尼比,并结合动力学响应与电学输出的解析表达式,定性分析机械摩擦与结构阻尼对系统动力学响应与电学输出特性的影响,如图5 所示.显然,当阻尼比从0.045 增大至0.065 时,准零刚度驱动式能量采集系统在外激励频率小于下跳频率的频率范围内动力学响应幅值逐渐减小,下跳频率向低频移动,具有大位移响应幅值的频带变窄,如图5(a)所示.此外,当阻尼比增大至0.06 时,准零刚度驱动式能量采集系统位移幅频响应曲线的下跳现象消失;当阻尼比增大至0.065 时,准零刚度驱动式能量采集系统位移幅频响应曲线无明显共振现象.需要注意的是,当外激励频率大于下跳频率时,无论阻尼系数如何变化,准零刚度驱动式能量采集系统的相对位移响应幅值基本等于外激励幅值,即基础激励被准零刚度系统隔离,能量采集系统的振动幅值明显减小.

图5 阻尼对位移及电压响应的影响(γ=1.562 5,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)Fig.5 Influence of damping on displacement and voltage response(γ=1.562 5,ρ=2,θ=0.21,u0=0.03)

系统阻尼对准零刚度驱动式能量采集系统无量纲输出电压幅频响应曲线的影响如图5(b)所示.同位移幅频响应曲线一致,当阻尼系数由0.045 增大至0.065 时,输出电压幅值在下跳频率之前的频率范围内明显减小,电压幅频响应曲线的下跳频率向低频范围内移动,准零刚度驱动式能量采集系统在低频范围内的能量采集效率降低,高效能量采集频带变窄.当阻尼比增大至0.06 时,无量纲输出电压幅频响应曲线无明显共振现象,且随外激励频率增加,输出电压保持不变.综上所述,对于准零刚度驱动式能量采集系统而言,减小阻尼比有利于拓宽高效能量采集频带并提高振动能量转化效率.

2.2.2 激励幅值的影响

图6 表示当阻尼比等于0.055 时激励幅值对动力学响应和电学输出幅频响应曲线的影响,其中红色空心球,蓝色星星,玫红色四边形和绿色实心球形分别代表无量纲激励幅值为0.02,0.025,0.03 和0.035 时对应的动力学和电学响应.从图6(a)中可以看出,随着激励幅值的减小,准零刚度驱动式能量采集系统位移幅频响应曲线的下跳频率向低频移动,且下跳频率对应的位移幅值明显增大.当无量纲外激励幅值减小至0.03 时,位移幅频响应曲线的下跳现象消失;当外激励幅值进一步降低时,系统再无明显共振现象,且在高频区域内位移响应幅值随外激励频率的增加而保持不变.

图6 激励幅值对位移和输出电压响应的影响(γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21)Fig.6 Influence of excitation amplitude on displacement and output voltage (γ=1.562 5,ζ=0.055,ρ=2,θ=0.21)

外激励幅值对准零刚度驱动式能量采集系统无量纲输出电压幅频响应曲线的影响如图6(b)所示.因能量转化单元的运动幅值与准零刚度系统的动力学响应严格相关,即压电薄膜的应变随系统的运动位移增大而增大,所以外激励幅值对输出电压幅频响应曲线的影响与对位移幅频响应曲线的影响完全一致.即,当外激励幅值增大后,输出电压的下跳频率向高频区域移动,能量采集系统具有更宽的高效能量转化频带,且在低频区域内具有更高的输出电压.

3 实验与讨论

为验证机电耦合动力学方程以及动力学与电学响应解析表达式的正确性,结合增材制造技术与数控加工技术,加工制备了准零刚度驱动式能量采集系统样机,并搭建了实验测试平台,实验样机中压电薄膜的材料与几何参数如表1 所示,准零刚度驱动式能量采集器的几何参数见图1.

表1 模型的相关物理参数Table 1 Relevant parameters of the prototype

图7 展示了实验设备和实验测试过程.其中,实验测试平台主要包括静电计(吉时利6514)、激光位移传感器(LTS-200-100)、激振器(JZK-10)、笔记本电脑、信号发生器(VT-9008)和功率放大器(YE5874 A)等.实验中,准零刚度驱动式能量采集器(即QZSE-PEH)固定在激振器上,激光位移传感器置于黑色横梁上且可左右移动,以测试输入激励幅值及能量采集系统的位移响应.压电薄膜通过两根导线与静电计相连,以测试能量采集系统在受到外激励时压电薄膜的输出电压.需要注意的是,因准零刚度驱动式能量采集系统左右两侧压电复合梁的几何属性、材料属性以及动力学响应均完全一致,仅需测量一片压电薄膜的输出电压即可获得另外一片压电薄膜的电学输出.本次实验所使用静电计的内阻为200 TΩ,其数值远大于一般电阻元件的电阻值,所以由静电计测试得到的输出电压可近似认为是系统开路电压.实验测试条件为在激励频率0～8 Hz 范围内进行定幅值正弦激励,单个频率点驻留时间为2 min.为消除测试误差,每组实验都重复3 次.

图8 展示了在激励幅值分别为2 mm,3 mm和3.5 mm 时,准零刚度驱动式能量采集系统的绝对位移幅频响应曲线和峰值电压幅频响应曲线.其中蓝色实线,绿色实线和红色实线分别代表激励幅值为3.5 mm,3 mm 和2 mm 时系统的输出.从图中可以看出,随着激励幅值的增大,系统的绝对位移响应逐渐增大.如图8(b)所示的输出电压幅频响应曲线展示出与系统位移幅频响应曲线完全一致的趋势,即随着外激励幅值的增加,能量采集系统的输出电压逐渐增大,这与通过数值求解系统机电耦合方程获得的数值幅频响应曲线以及由解析表达式获得的解析幅频响应曲线具有一致性.本文所推导的机电耦合方程以及解析表达式可用于评估能量采集系统的能量采集性能.

图8 不同激励幅值下绝对位移响应与峰值电压的输出结果Fig.8 Output results of absolute displacement response and peak voltage under different excitation amplitudes

为进一步观察位移响应和输出电压响应的细节情况,图9 展示了在2.5 Hz 时绝对位移响应和输出电压响应的时域图.图9(a)、图9(b)和图9(c)分别展示了激励幅值为2 mm,3 mm 和3.5 mm 时输入幅值(input)与响应幅值(output)的情况,其中黑色实线表示输入激励幅值,红色、绿色及蓝色短点画线分别表示激励幅值为2/3/3.5 mm 时位移响应的幅值.显然,准零刚度驱动式能量采集系统的绝对位移响应具有与输入激励完全一致的频率.激励幅值越大,对应的输出响应也越大.图9(d)展示了激励幅值为2 mm,3 mm 和3.5 mm 时能量采集系统的开路电压时域响应曲线,分别用红色实线、绿色双画线、蓝色点画线表示.可以看出随着激励幅值的增大,对应的开路电压响应的值也越大.在激励幅值等于3.5 mm 时,系统开路电压峰值达到最大值25 V.需要注意的是,准零刚度驱动式能量采集系统输出电压的频率为基础激励频率以及系统绝对位移响应频率的两倍,这与准零刚度驱动式能量采集系统工作原理分析结果一致.此外,当压电薄膜只受到单边弯矩且无电荷泄露时,其输出电压表现为单方向.文献[32-33]中给出了解释,即只有当电压表的内阻大于临界有效值时,测得的电压才能与理论分析中的一致.

图9 在2.5 Hz 时,不同激励幅值的位移时域响应曲线Fig.9 The displacement time-domain response curve with different excitation amplitude at 2.5 Hz

4 结论

本文针对传统线性共振型振动能量采集方法以及非线性多稳态振动能量俘获方法难以实现低频小幅值工况下振动能量的高效俘获难题,创新设计了一种由准零刚度系统驱动能量转化单元实现大幅值运动响应的准零刚度驱动式压电能量采集系统.因能量转化单元为构成准零刚度系统的一部分,所以其高效能量采集频率与频带不依赖于能量转化单元的固频,而是与准零刚度系统的动力学响应严格相关,克服了传统线性共振型能量采集难以实现低频俘能的难题.另外,准零刚度驱动式能量采集系统在静平衡位置处刚度等于零,在静平衡位置附近趋近于零,能够在低频小幅值工况下实现较大动力学响应,进而驱动能量转化单元实现振动能量高效采集.本文首先用能量法获得机电耦合动力学方程,再结合谐波平衡法推导出动力学响应与电学输出的解析解.对比数值幅频响应曲线与解析幅频响应曲线发现,数值解与解析解结果相互吻合.进一步分析了系统阻尼系数与外激励幅值对准零刚度驱动式能量采集系统动力学与电学输出的影响,并加工制备了能量采集系统样机,搭建了实验测试平台进行验证.研究结果显示,当外激励频率等于2.5 Hz、激励幅值等于3.5 mm 时,所提出的准零刚度驱动式能量采集系统能够产生25 V 的输出电压.本文研究成果有望进一步夯实低频振动能量采集理论,为低频小幅值振动能量采集提供新思路.