突发传染病疫情背景下民生物资应急保障服务网络优化研究

秦进，徐玖龙，吴志君，邹浩，穆巴拉

(中南大学 交通运输工程学院，湖南 长沙 410075)

近年来，在全球范围内各类突发公共卫生事件时有发生，不仅造成了惨痛的人员伤亡，还伴随着巨大的经济财产损失和社会发展滞缓，甚至引起长时间的区域性乃至全球性的群众恐慌状态。例如，2020 年初开始爆发的新冠疫情，目前已成为近百年来在全世界范围内发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件。实践证明，在涉及传染性疾病的重大突发公共卫生事件发生时，实施必要的区域隔离或封闭等应急管理措施，可以为有效控制病毒风险传播奠定坚实基础。但是同时，为隔离区域内的广大人民群众提供高效、及时和充足的民生物资保障，就成为确保受灾区域社会稳定和稳步推动防疫工作的重中之重。物资保障问题，也称为物资调度问题，在国内外已经得到了广泛关注和深入研究。HAGHANI 等[1]建立了多商品、多模式和带时间窗约束下的应急物资调度线性规划模型，为应急物资调度的深入研究奠定了理论基础。FIEDRICH 等[2]针对震后初期搜救阶段可用资源分配问题，构建了应急调度动态优化模型及求解方法。GUTJAHR 等[3]分析了人道主义紧急救援中的公平和剥夺成本的内涵和构成，将经济学中的基尼系数应用于剥夺成本函数。LI等[4]研究了疫情发生前医疗用品的储存和疫情发生后医疗用品的动态应急分配的协同问题。程碧荣等[5]考虑在事故关键救援期内应急资源供应不足的特点，研究合理规划救援车辆配送路径等问题。秦进等[6]研究了灾后交通网络节点修复与物资配送路径的协同优化模型，并基于蚁群算法进行求解和分析。吕伟等[7]同时考虑应急物资运输的软硬时间窗的约束，以最大化时间满意度和需求满意度为目标，建立了公平调配模型。刘长石等[8]考虑到震后灾民存在非理性攀比心理，构建物资分配与运输的双层协同调度优化模型。超网络是由多个网络交织而成的复杂网络，因其与供应链特性相符，常被用于解释和描述供应链问题。NAGURNEY 等[9]将超网络理论应用于物流供应链领域，首次提出了供应链超网络均衡模型。NAGURNEY[10]提出了横向并购供应链网络整合理论框架模型，并定量化验证了整合策略的效益。MASOUMI等[11]考虑到血液的易腐性、采集风险、活动频率和需求不确定性，分别提出了血库超网络整合前后的模型。NAGURNEY[12]关注到新冠大流行带来的劳动力短缺，考虑了多种情景下的劳动力约束，揭示了劳动力短缺对企业利润的影响。朱莉等[13]在构建物资配送超网络框架的基础上，将灾害风险程度视为网络流，在此基础上讨论受灾情形下的应急物资调配问题。彭永涛等[14]以网络供给能力和需求的最大化匹配为目标，研究超网络节点通过能力的重新设计与改造升级优化。苏鑫等[15]针对大规模海上溢油事故，建立了考虑了路段脆弱性的多种应急物资跨区域调度的超网络模型。宋英华等[16]考虑到灾后网络中各类人员会表现出不同心理效应，进行了心理状态对物资调配方案影响的定量化分析。综上所述，目前关于应急物资保障和调度的研究，多集中在各类自然灾害发生后路段受损的情况下如何快速实施应急响应和恢复，而与突发公共卫生事件相关的研究成果并不多见，尤其是未考虑区域内物资运转过程中传染病毒的潜在风险，也较少分析初期供应物资不足的可能。鉴此，本文基于超级网络理论，在区域突发公共卫生事件的背景下，同时考虑物资需求满足风险、疫情传播风险、主体关联程度和工作人员数量限制等，以应急总成本和物资供应风险损失最小化为目标，构建民生物资保障服务超网络设计优化模型，在此基础上将原数学优化模型变换成了相应的变分不等式形式，并选取修正投影算法进行问题求解和计算分析。

1 问题分析

突发新冠疫情等重大公共卫生事件，对于一定区域内的民生需求，需要提供高效、及时的物资保障服务。根据应急民生物资保障服务内涵和特征，构建一个由服务组织O、I个生产企业、J个存储企业、K个需求点及其物流活动构成的民生物资保障服务网络构架，如图1所示。

图1 民生物资保障服务网络拓扑结构Fig.1 People’s livelihood material supply service network topology

顶层组织者从生产点采购物资，送至存储设施进行保存、分拣和包装后，分别配送至各需求点，全过程中涉及到的采购成本、运输成本、存储成本和配送成本等，均使用弧上费用进行表示。其中，存储环节是在同一个存储企业内部进行，为了统一费用描述与建立模型，在图中以虚线形式表示。

图1 所示保障服务网络具有突出的主体多级、网络多层、流量多维等特征，符合超网络的基本内涵[2]，因此可以视为一个典型的超网络优化设计问题。

为了便于描述问题，定义变量符号如表1所示。

表1 符号说明Table 1 Notation

另外定义决策变量如下：

为了便于建立模型，做出如下假设：

1) 各个需求点对每种民生物资的需求是随机的，且相互独立。

2) 每个供应点都能供应所有类型的民生物资，中间物流节点不产生任何需求。

3) 相应的成本函数均为凸函数。

2 模型构建

基于所构建的民生物资保障服务超网络结构，可构建民生物资保障服务的数学优化模型。模型的优化目标是最小化服务组织内的总成本和需求满足风险，同时考虑流量守恒、劳动力限制等约束条件。

1) 运营成本

服务网络中的物流活动会产生相应的运营成本，在网络运营的不同阶段具体表现为采购成本、运输成本、存储成本和配送成本等弧上费用。路段a上的运营成本ca(·)，一般由通过其上的物资量确定。同时，考虑相邻层级间的2个节点在自然地理、社会经济等方面的联系，日常联系越方便，2 个节点间的弧上运营费用越低。根据参考文献[17]，引入参数主体关联度ra，以反映网络中2 个节点之间的联系便利程度。由此确定超网络中的弧上运营成本函数，可以表述为ca(·)=。因此网络中总的运营成本C1为：

其中，θ1表示对应的系数。

2) 疫情防控成本

不同于地震等自然灾害，突发传染病疫情具有传播速度快、感染范围广、防控难度大的特征，因此还考虑了民生物资保障服务过程中疫情传播的风险。从事物资配送与存储等工作的人员因不可避免地经过风险较大的公共区域，存在在物流活动中感染病毒的可能。

疫情防控环境下，人工参与相关工作会增加额外的运营成本，例如消毒设施、防护服和口罩等防疫必需品的使用成本。参考文献[18]，在定义疫情风险度ea的基础上，针对不同的疫情传播风险程度，设定相应需要投入的人均疫情风险控制成本为σa(ea)，由此可计算得到网络中总的疫情风险控制成本为C2：

其中，θ2和θ3表示ea对应的系数。

3) 随机风险成本

突发传染病疫情后，受灾区域内各个需求点(如生活小区、医院等)的实际需求存在一定的不确定性，这就导致在实际保障工作中，可能会同时存在部分需求不能满足、但同时部分需求点却供应过量的风险。对此可在模型的目标函数中，增加使用罚函数对供应不足或过量的情形进行评价。

根据表1 的变量定义，对任意需求点k的物资m的需求，可能存在的供应不足量和供应超出量，可以分别表示为：

根据上述供应不足和过量的期望值(7)和(8)，即可计算网络中总的期望风险损失C3为：

4) 模型构建

末端需求点上的民生物资需求只能由连接该点的所有路径上的该物资流量进行满足，需满足以下流量守恒约束：

任意弧段上的物资流量等于所有包含此路段的路径上的该物资流量之和，需满足以下流量守恒约束：

假设通过网络中任意弧段上的物资流量，与需要在该弧段上投入劳动的工作人员数量之间是线性函数关系。根据定义，αa为工作人员的平均劳动生产率，因此有：

由于疫情的影响，网络中的工作人员存在需要保持一定的社交距离、需要隔离甚至被感染等情况，网络中各弧段上的工作人员数量不能超过该弧段上具有劳动能力的工作人员数量：

由此，可以建立民生物资保障服务网络设计问题的优化模型如下：

式(14)表示以最小化服务组织内的运营成本、疫情风险控制成本和需求满足风险为优化目标；式(15)表示末端需求点处的流量守恒约束；式(16)表示弧段流量和路径流量的关系式；式(17)表示弧段流量和工作人员数量的线性关系式；式(18)表示任意弧段上的可用工作人员数量限制；式(19)表示任意路径上的物资流量非负；式(20)表示任意弧段上的物资流量非负；式(21)表示决策变量的取值约束。

3 求解算法

变分不等式作为一种重要方法被广泛应用于超级网络理论的研究，利用变分不等式可使用成熟的求解方法进行模型求解。本文建立的民生物资保障服务网络设计优化模型，是一个典型的凸规划问题。参考文献[19]中的定义1 与引理1，可将上述凸优化问题等价转化为变分不等式问题。

定义1 有限维的变分不等式问题VI(F,D)，是为了确定一个向量X*∊D使得

其中，D是给定的闭合凸集；F是给定的从D到Rn的连续函数；·,· 是n维欧氏空间的内部乘积。

引理1 假设存在一点X*∊D满足minf(X)，则X*同样是变分不等式(23)的解

其中，∇F(X)是F对X的梯度。

定理1 式(14)～(21)的最优化问题可以转化为变分不等式

其中，f表示所有弧段上的物资流量集合；v表示所有需求点的实际到达量集合；D=满足约束(15)～(21),β≥0}；β为引进的Lagrange乘子；(f*,v*,β*)为式(24)的唯一解。

证明式(14)～(21)的最优化问题是典型的凸规划问题，根据定义1 以及引理1，能够把本文所建立的凸规划模型变化成为标准变分不等式(22)的形式。其中，F(X)对f的梯度函数F1(X)，对v的梯度函数F2(X)以及对β的梯度函数F3(X)，分别可以表示为：

其中，F1(X)，F2(X)和F3(X)都是单调函数且二阶偏导数有界。

通过微分中值定理能够推知变分不等式(24)是Lipschitz连续的，又因为单调的且Lipschitz连续的变分不等式的解唯一，因此可得变分不等式(24)存在唯一解。

变分不等式问题的求解算法，一般包括对角化算法、投影算法、交替方向法和分解算法等。其中投影算法具有迭代过程计算量小的优点，而参考文献[12,14-16]中在投影算法的基础上提出的修正投影算法，也称为改进梯度投影算法、外梯度算法，是将原投影算法需要投影算子严格单调的要求放宽至单调，从而能满足更多实际问题的需要，因此也被广泛应用于超网络模型的求解。本文也采用修正投影算法对所提出的变分不等式(24)进行求解，算法的具体步骤如下[12]。

步骤1 初始化

设初始解(f0,v0,β0) ∊D，令迭代次数t=1，选择一个正数ρ满足0<ρ<1/L，其中L是Lipschitz常数。

步骤2 迭代计算

步骤3 修正

通过求解下列变分不等式子问题(30)，计算得到(ft,vt,βt) ∊D：

步骤4 收敛性检验

4 算例分析

4.1 算例仿真

在涉及传染性疾病的重大突发公共卫生事件的情景下设计如下算例实验，运用修正投影算法对所建模型进行数值模拟和计算分析，并通过敏感性分析研究关键参数对民生物资保障和调度决策的影响。设计一个多层级多商品民生物资保障服务网络，使其包含1 个顶层服务组织，2 个生产企业，2 个存储企业和2 个需求点，网络结构如图2 所示，共有12 条服务弧段，8 条服务路径。需要说明的是，本算例中生产企业、存储企业、需求点、物资种类的数量可以拓展至更大规模，即本文构建的模型适用于现实大规模民生物资应急保障服务场景。

图2 民生物资保障服务网络例图Fig.2 Example diagram of people’s livelihood material supply service network

算例中部分参数设置见表2。假设每个需求点各需要2 种不同民生物资，需求点R1对2 种物资需求数量分别服从区间为[40,50]和[30,40]的均匀分布，需求点R2对2种物资需求数量分别服从区间为[25,40]和[15,30]的均匀分布。当需求点物资需求得不到满足时，单位需求未被满足的损失成本λ-=3 000，单位物资供应过量造成的损失λ+=50。疫情风险度ea的取值范围为[0,1]，根据路段上游节点设施所在区域的疫情发展情况确定，其值越大说明病毒在服务网络中传播的可能性越大。主体关联度ra的取值区间为[0,1]，根据相邻两主体间在自然、经济、社会等方面的联系情况综合确定，其值越大说明相邻层级间节点的联系越密切，考虑到存储弧两端是同一个存储企业，将其主体关联度设置为1。

表2 主要算例参数设置Table 2 Main example parameter setting

运用修正投影算法在Python 中进行编程计算，ρ取为0.01，ε取为10-5。计算得出最优目标函数值为132 442，其中运营成本为54 438，疫情风险控制成本为63 633，需求风险损失为14 371，最优目标函数值下每条服务路段上的物资流量如表3所示。

表3 民生物资调度方案Table 3 People’s livelihood material scheduling scheme

4.2 参数敏感性分析

1) 疫情风险度ea变化影响

选取e1，e3，e7和e9作为疫情风险度的研究对象，分析改变疫情风险度ea对应急民生物资调配方案的影响。图3是目标函数值随疫情风险度ea变化的情况，由图3可得，疫情风险度ea越大，目标函数值越大，通过疫情风险度增大弧段的物资流量减小，流量向同一层级间的其他弧段转移，说明当疫情风险度升高时，服务组织需要付出更大的代价才能完成民生物资保障服务。随着e3和e9的提高，目标函数值最终趋于稳定，这是因为弧段上疫情风险过大，无法继续完成物资调配任务，物资完全转移到其他低风险弧段。此外，在同一疫情风险度下，采购弧和存储弧的应急成本较大，说明其受疫情风险的影响较大。因此，服务组织者在民生物资保障服务过程中要注意选择受疫情影响程度小、安全性较高的生产以及存储企业。

图3 目标函数值受ea影响的变化趋势Fig.3 Variation trend of objective function value affected by ea

2) 主体关联度ra变化影响

选取r1，r3和r9作为主体关联度的研究对象，分析改变主体关联度ra对物资调配方案的影响。图4 是目标函数值随主体关联度ra变化的情况，由图4 可得，主体关联度ra越大，目标函数值越小，通过主体关联度增大弧段的物资流量增大，说明当主体关联度提高时，民生物资保障服务应急效果增加明显。此外，采购弧随主体关联度变化的幅度最大，说明提升服务组织和生产企业的关联程度效果最明显、性价比最高。因此，服务组织者在物资发放过程中要尽可能选择与需求点关系密切的存储企业，特别是要注意通过签订合同、补贴代储等手段，加强服务组织自身与生产企业之间的联系，提升备灾救灾能力。

图4 目标函数值受ra影响的变化趋势Fig.4 Variation trend of objective function value affected by ra

3) 可用工作人员数lˉa变化影响

选取lˉ1，lˉ3，lˉ7和lˉ9作为最大可用工作人员数的研究对象，分析改变可用工作人员数lˉa对应急民生物资调配方案的影响。图5是目标函数值随可用工作人员数lˉa变化的情况，由图5 可得，可用工作人员数lˉa越大，目标函数值越小，这是因为弧段上可用的工作人员数越多，其能够运输和存储的物资总量越高，即路网的通行能力越强，随机需求满足风险减小。目标函数值最终会逐渐趋于一个固定值，说明网络中各弧段都有其最优的工作人员数量配置，超过这个最优人数配置，效益就不会跟随人员数量上限的增大而有所提升。另外，采购弧和存储弧上工作人员数量的下降会导致应急成本倍增，这说明核心弧段对于需求点物资保供具有重要支撑作用，应优先调配人员提升核心弧段通行能力。因此，在突发传染病疫情导致物流人员总量受限的现实情况下，服务组织者应合理配置各弧段上工作人员数量，避免因运力不足而无法有效满足疫区需求。

图5 目标函数值受lˉa影响的变化趋势Fig.5 Variation trend of objective function value affected by lˉa

5 结论

1) 研究了突发传染病疫情后为受灾封闭区域内的群众提供生活物资保障问题。充分考虑了疫情下民生物资保障组织特征、疫情传播风险、需求不确定性等主要特征，构建了以应急成本与风险损失最小为目标的疫情环境下民生物资保障服务网络设计优化模型，并将其等价转化为变分不等式后，选择高效的修正投影算法进行求解和计算分析。

2) 算例计算分析结果表明：疫情传播风险程度、应急主体间关联程度以及可用工作人员数量上限等关键参数影响应急物资调配方案的优化结果。为更好地完成民生物资保障服务，服务组织者应采取选择疫情风险较小的生产和存储企业，加强自身与生产企业间的联系，合理配置有限的工作人员数等措施。

3) 该方法可以为服务组织者在突发传染病疫情后开展民生物资应急保障服务提供决策依据，为建立可持续的人道主义物资保障系统提供理论基础。