进口/出口计费模式下天然气管网输入/输出能力验证的两阶段鲁棒模型

2023-11-11步亚冉左丽丽吴长春赵思睿

石油科学通报 2023年5期

步亚冉，左丽丽，吴长春，赵思睿

中国石油大学(北京)油气管道输送安全国家工程实验室/石油工程教育部重点实验室/城市油气输配技术北京市重点实验室，北京 102249

0 前言

2020 年，国家石油天然气管网集团有限公司(以下简称“国家管网”)正式接管我国天然气干线管网，其运营模式是向全国具有资质的天然气经营企业或大型天然气用户提供输气服务。目前我国天然气长输管线按输气路径进行收费，即点对点模式[1]。但在多进口和多出口的复杂结构管网中，难以确定实际的输气路径，点对点模式容易引起计费争议，因此欧洲设计了进口/出口计费模式。在进口/出口模式下，输气管网相当于只有进口和出口的“黑箱”，托运商在预定输入/输出能力时无需了解管网的拓扑结构及天然气在管网中的实际流向[2]。由管网公司向社会公布各上载点的输入能力，和下载点的输出能力，并为不同的节点设置不同费率。托运商可以根据其要求的天然气输入/输出地点和流量预定相应节点的输入/输出能力，在各节点处的预定量不大于对应的输入/输出能力。进口/出口模式为签订天然气托运合同提供了便利性，同时也为管网公司核定和分配输气能力提出了更多挑战。由于各节点输入/输出能力给定后，其实际预定情况并不确定；另外，托运商预定输入/输出能力后的指定流量可能小于预定量，因此管网各节点的实际流量存在无穷多种可能性。而管网公司在确定各节点的输入/输出能力时，需保证管网能够在以上所有可能的实际流量下均存在相应的运行方案。否则，在输入/输出能力公布并被预定后，可能会存在输气任务无法实现的管网公司违约情况。目前国内多从管理角度对进口/出口模式进行调研，主要包括该模式下输气能力交易[3-5]、管网平衡管理[6-7]、以及其交易中心作用[8-10]。本文将介绍该模式下节点输入/输出能力的具体计算方法，并通过分析计算结果的变化规律揭示该模式的优、缺点，从而为我国区域性管网实施该模式提供决策依据。

1 管网输气能力和单位费率

1.1 技术输气能力

在进口/出口模式下，某节点的输入或输出能力被定义为该节点可被托运商预定的最大流量，当托运商在各节点的指定流量不大于对应的输入或输出能力时，管网存在可行的运行方案完成输气任务。将管网中气体上载点的输入能力和下载点的输出能力表示为向量CT=(CT,1,CT,2, …,CT,n)，CT又被称为管网的技术输气能力，其中CT,i为上载/下载点i的输入/输出能力，对于i∈Vin，CT,i≥0，i∈Vout，CT,i≤0，Vin和Vout分别为上载点和下载点集合。由于管网各节点的输入/输出能力之间会相互制约，管网的技术输气能力向量CT并不唯一。管网的各上载点和下载点的实际流量表示为qN=(qN,1,qN,2, …,qN,n)，其中qN,i为上载/下载点i的输入/输出流量，对于i∈Vin，qN,i≥0，i∈Vout，qN,i≤0。假设管网处于稳态工况，此时输入和输出流量满足流量守恒，即∑iqN,i=0，则CT满足以下条件：

(1) 通过适当选择管网的工艺运行方案可以实现以下集合

中任意输入、输出流量组合；

(2) 在不减少其他输入或输出流量的情况下，|CT,i|已经达到最大值

在不包含主动元件(压气站、阀门等)的管网中，L.Schewe证明了管网技术输气能力向量CT的计算是NP-hard问题[11]。因此，管网公司退而求其次，希望得到管网技术输气能力向量的近似解。通常方法是根据经验先假定输气能力向量中各分量的值，验证满足该输气能力约束的工况是否均为可行工况，即保证管网的输气能力向量始终满足关于CT的条件(1)，而不必满足条件(2)。然后根据经验提高或降低部分节点的输入/输出能力，使各节点处的输入/输出能力尽可能达到最大，从而得到技术输气能力的近似解[12]。在以上过程中，验证满足某个管网输气能力约束的所有输入/输出流量组合下，是否均有对应可行运行方案的过程又被称为管网输气能力验证。经过验证的输气能力可以供托运商预定，只要管网各节点处的指定流量小于相应的输入/输出能力，管网始终存在可行的运行方案完成输气任务。但经过验证不能保证各节点输入/输出能力已经达到最大值，因此经验证的管网输气能力不一定是管网的技术输气能力。

1.2 管网输气能力验证

假设提出的待验证管网输气能力向量为C，输气能力验证问题可以描述为不确定性优化问题，即：验证输入/输出流量向量qN在管网中是否有对应的可行运行方案，其中qN为不确定性参数向量，则输气能力验证问题为带有不确定参数的可行性验证问题，数学模型如下：

其中：D表示天然气管网运行的可行域，U为qN的不确定集合。基于不同的模型简化方法，可以将该不确定性优化问题转化为确定性问题进行求解。Martine Labbé等[13]总结了在天然气管网仅包含被动元件的情况下，即不考虑压气站、阀门等，输气能力可行性验证的计算复杂度，如下表所示。

针对考虑主动元件的管网，即压气站运行特性，Benjamin Hiller[14]和Benoît Casoetto[15]等根据历史运行数据和运行人员的经验，提出管网待定输气能力，和一系列满足该输气能力约束的节点输入/输出流量组合，逐个验证各流量组合是否存在对应的运行方案，如果所有或大部分的可能流量组合都能被满足，那么可以认为该输气能力的分配是可行的。该方法下输气能力的验证结果很大程度上取决于可能工况代表性和数量。Armin Fügenschuh等[16]考虑到用气量主要受环境温度影响，在不同温度区间内分别给定多组输入/输出流量，统计不同环境温度区间给定流量组合存在可行运行方案的概率。

以往对输气能力的可行性验证均基于对单个工况可行性的验证，验证结果很大程度上取决于人工选择的有限个工况是否具有代表性。本文针对包含可反输管段的枝状管网进行输气能力验证，没有对单个工况逐一验证，而是采用鲁棒优化思想，将输气能力验证这一不确定性优化问题转化为两阶段的确定性问题进行求解。相比于对单个工况逐个进行验证的方法，排除了人工选择输入/输出流量的影响，计算结果可靠性更高。

表1 进口/出口模式下输气能力验证的计算复杂度Table 1 The computational complexity of the capacity verification under the E/E mode.

1.3 单位费率

欧盟大多数成员国采用进口/出口计费模式，尽管各成员国的费率结构和价格监管政策不尽相同，但费率设计的基本原则相同，即各节点的进口或出口费用尽可能反映在该点输入或输出产生的实际输气成本。成本核算可以基于长期边际运行成本(Long run marginal cost，简写为LRMC)[17]或平均会计成本(Average account cost，简称为AAC)[18]，本文则以LRMC为例进行费率计算。最小二乘法常被用于计算管网公司在各进口和出口的基础费率，基础费率用于表示各节点费率的比例，实际交易时根据价格监管机制乘以某大于1 的系数得到实际费率。具体流程如下[17,19]。

首先对管网各进口和各出口之间的输气成本进行核算。由于不同工况下管网的LRMC不同，文献[19]建议基于设计工况下的流量进行成本核算。对于有n个进口和m个出口的管网，将LRMC表示为n行m列矩阵cM，cM,i,j表示从进口i到出口j增输单位气体产生的LRMC。然后计算各进/出口的基础费率，进口i的基础费率Pi和出口j的基础费率Pj之和需要尽可能覆盖相应路径上的输气成本cM,i,j。因此在费率计算的最小二乘模型中，以最小化Pi、Pj之和与cM,i,j之差的平方为目标，如方程(3a)所示；同时，要求基础费率不小于0，如方程(3b)所示。

其中：i∈Vin，j∈Vout。以上模型会得到无数组进口/出口费率，为了得到唯一解，需要增加约束确定管输成本在进口费率和出口费率之间的分摊情况，如下式所示。

其中：α为管输成本在进口费用中的比例；1-α为管输成本在出口费用中的比例。欧盟能源监管部门没有对这一比例进行具体规定，多数成员国将α设定为0.5[20-21]。在设定α后，优化模型(3)可得到进口/出口基础费率的唯一解。

2 两阶段鲁棒验证模型

基于以上分析，对带有压气站的天然气管网系统的输气能力进行验证。输气能力验证问题原型为不确定性优化问题，如公式(1)-(2)所示。本节采用鲁棒对等转化将不确定性问题转化为确定性对等问题进行求解。

2.1 两阶段验证模型结构

鲁棒优化方法[22]即验证是否所有满足输气能力约束的管网输出/输出流量都有对应的运行方案。在计算时只需要确定qN的不确定集，即公式(2)，而无需具体概率分布。鲁棒优化需要确定无穷多个工况是否都有可行解，这显然不能直接进行验证，需要将其转化为有限维问题进行求解。本文采用鲁棒对等转化的方法，将原不确定性验证问题转化对“最差工况”的验证问题。考虑到以下情况：在给定工况下，当所有压气站的出站压力均达到最大值(压比达到最大或出站压力达到设计压力)，则此时所有站场的进站压力也达到最大，此时如果存在某站场的进站压力仍不能达到进站压力下限要求，那么该输入/输出流量组合下不存在可行的管网运行方案；反之如果此时所有站场的进站压力都在可行范围内，那么可以确定该输入/输出流量组合可行，尽管此时的运行方案可能不是唯一的可行运行方案。因此对于各个站场，其相应的“最差工况”为使得该站场进站压力最低的输入/输出流量分布。

基于以上分析，将不确定优化问题转化为确定性问题的基本思路为：令所有压气站的出站压力达到最大值，以各节点处输入/输出流量组合qN为模型决策变量，qN满足输气能力约束；以最小化中间压气站或分输站i(i∈Vmcs∪Vout)的进站压力为目标，其中Vmcs和Vout分别为中间压气站和分输站对应的节点集合，得到站场i的最低进站压力；最后验证是否所有站场i的最低进站压力均满足运行或合同要求。如果各优化模型得到的各压气、分输站的最低进站压力均不小于给定压力下限，则认为输气能力可行；如果存在某压气、分输站的最低进站压力小于给定压力下限，则认为该输气能力不可行。以上思路对应的两阶段优化模型结构如图1 所示。第一阶段的子模型逐个计算各中间压气站和分输站的最低进站压力，子模型数量N等于中间压气站和分输站的数量和；第二阶段用于验证子模型优化得到的各站场最低进站压力是否大于给定压力下限。

图1 进口/出口模式下输气能力验证的两阶段优化模型Fig.1 The two-stage model for verification of the gas network capacity under E/E regime.

2.2 第一阶段优化模型

在第一阶段的子模型中，将节点的输入/输出流量向量qN作为决策变量，对应的不确定集转化为决策变量的约束条件，如公式(4)所示。

子模型的目标函数为最小化某中间压气站或分输站的进站压力。管网的运行约束基于稳态等温假设，包括管段上的气体控制方程、压气站的运行约束、以及管段和压气站之间的流量压力关系。

2.2.1 拓扑结构

首先，为了描述管网中各元件(管段和压气站)之间的连接关系，将管网表示为有向网络。在以往的研究中通常将管段和压气站简化为有向弧，进气点、分输点以及元件的连接点简化为节点，能够方便地体现气体在压气站的进口和出口状态(压力、温度)的不同[23]。但是该方法的弊端是需要在已知流向的前提下进行拓扑结构简化。本文为了解决流向可逆问题，在拓扑结构简化中将管段表示为有向弧，其中不可反输管段流向与实际流向相同，可反输管段的流量为正表示实际流向与假设流向相同，流量为负表示实际流向与假设流向相反。将压气站、气体上载点、气体下载点、管段交汇点简化为节点。将压气站简化为节点可以优化流向不确定的管网，对应单个压气站节点设置进站状态和出站状态下两组变量，在不考虑热力计算的情况下为进站压力、流量和出站压力、流量，然后根据管网的拓扑结构，借助关联矩阵，描述压气站进出口的压力、流量与管段起终点压力、流量之间的关系。

基于以上简化方法得到某管网对应的流网络结构G={V,A}，其节点数为NV，弧数为NA。用NV行NA列的关联矩阵I表示管网的网络流结构，纵坐标i∈V表示节点编号，横坐标j∈A表示弧编号，其各元素的值表示节点i和弧j的连接关系：

关联矩阵直接描述了各元件之间的连接关系，各元件边界处的状态变量(流量、压力)关系可以基于关联矩阵表示为方程组的形式。对于稳态运行的管网，弧上和节点处的流量关系(流量守恒定律)可以表示为以下方程。

其中：Q为流过弧上的质量流量，kg/s，流向为正表示实际流向与弧的方向一致，流量为负表示实际流向与弧的方向相反；q为节点处的输入或输出流量，kg/s，正值表示输入，负值表示输出。

另外各节点处的输入或输出流量满足以下方程。

假设压气站进口存在节流，进站压力等于所有流入管段终点压力中的最小值，其中流入管段包括假设流向为流入压气站k，且流量为正的弧i，以及假设流向为流出压气站k，且流量为负的弧j。则考虑进口节流的压气站进口压力表示为以下方程。

通过引入0-1 变量yk,i将公式(8)转化为一系列线性约束。当管段i中气体实际流向流入压气站k，且在所有流入压气站k的管段中终点压力最低，则yk,i=1；其余情况下yk,i=0。则yk,i满足公式(9)。

其中：Akin为终点为k的弧集合；Akout为起点为k的弧集合。方程(9b)表示在假设流向下弧i终点与压气站k相连，xi=1 时假设流向与实际流向一致，则yk,i的可能取值为0 或1；xi=0 时yk,i=0。方程(9c)表示当弧i的起点与压气站k相连，xi=0 时yk,i的可能取值为0,1；否则yk,i=0。

引入0-1 变量yk,i后，非线性公式(8)可以等价为线性约束(9)-(13)，其中：k∈V，i∈Akin，j∈Akout。以图2 中的连接结构为例分析其等价性。

图2 压气站进站压力案例示意图Fig.2 The illustration of the inlet pressure of a compressor station

图2a表示弧的流向，弧i=i1,= 2流入节点k，弧j=3流出节点k；若气体的实际流向如图2b所示，则此时各弧上流向变量的值为：x1=1，x2=0，x3=0。由方程(9)可得：

此时，弧i=1对应的方程(10)-(11)简化为以下形式。

弧i=2对应的方程(10)-(11)简化为以下形式，以下方程恒成立，因为弧i=2上气体的实际流向为流出节点k，节点k的进站压力与弧i=2无关。

弧j=3对应的方程(15)-(16)简化为以下形式。

当PZ,1≥PZ,3时，必然存在yk,1=0，yk,3=1，使得PZ,3≤Pin,k≤PZ,3≤PZ,1，即Pin,k=PZ,3；否则方程(14a)和(14f)简化为PZ,1≤Pin,k≤PZ,3，与前置条件PZ,1≥PZ,3矛盾。同理PZ,1≤PZ,3时，必然存在yk,1=1，yk,3=0，使得Pin,k=PZ,1。由以上分析可得，约束(12)-(13)等价于最小值函数(8)。

综上，考虑了压气站进口节流，压气站进站压力等于最低的气体流入管段终点压力时，压气站进出站压力与管段起终点压力之间满足公式(15)。

2.2.2 管段模型

对于某水平等温管道，稳态运行时管段沿线压力随距离变化可用运动方程表示，如下式所示[24]。

其中：Ad为管道的横截面积，m2；ρ为气体密度，kg·m-3；t为时间维度，s；Q为气体质量流量，kg·s-1；x为轴向维度，m；P为气体压力，Pa；d0为管道内径，m；λ为摩擦阻力系数，用以下公式计算。

其中：Ke为管道内壁粗糙度，m。

对于某管段i(i∈A)，用中心差分法得到管段上的稳态差分如下式所示。

其中：j∈{0, 1, …,Nx,i-1}，Nx,i为管段i上的空间节点数。

上式中绝对值项|Qi|需要引入整数变量处理。引入0-1 变量xi表示可反输管段的实际流向，xi=1 表示气体实际流向与假设流向相同，xi=0 表示气体流向与假设流向相反。M是一个较大的正数，则流向和流量之间需满足公式(19)，当xi=0 时，Qi≤0；当xi=1 时，Qi≥0。

其中：i∈AR，AR为双向流动的管线集合。

然后引入新变量Qa,i表示|Qi|，则Qa,i与实际流向Qi和流向xi之间满足以下方程。

其中：当流向非负，Qi≥0，xi=1，由方程(20a)所表示的约束可以简化为Qa,i－Qi=0；当流向为负，Qi＞0，xi=0，约束简化为Qa,i+Qi=0。因此总有Qa,i=|Qi|。

管网中气体压力和密度之间的关系用以下气体状态方程计算。

其中：ρ0为天然气的摩尔密度，kmol·m-3；R为气体常数，8.314 kJ·kmol-1·K-1；T为气体平均温度，K；Mg为气体摩尔质量，kg·kmol-1；A0,B0,C0,D0,E0,a,b,c,d0,α,γ是由气体组成决定的一系列参数。

管段对应的弧起点压力与终点压力满足方程(23)。

2.2.3 压气站模型

令压气站出站压力达到最大，即压气站达到最大压比或者出站压力达到系统设计压力，可表示为以下方程。

其中：i∈Vcs，Vcs为压气站对应的节点集合；Pd是设计压力，Pa；θmax,i是压气站i的最大压比。引入0-1变量zi将方程(24)转化为线性约束方程组(25)。当zi=1时压气站i达到最大压比约束，方程(25a)和(25c)恒成立，方程(25b)和(25d)等价于Pout,i=Pin,iθmax,i；zi=0 表示压气站i出口达到最大运行压力，方程(25b)和(25d)恒成立，方程(25a)和(25c)等价于Pout,i=Pd。

2.2.4 优化模型

基于以上约束，建立第一阶段优化问题模型，决策变量为qN。目标函数为最小化中间压气或分输站i(i∈Vmcs∪Vout)的进站压力，如下式所示，Vmcs为中间压气站对应的节点集合，得到的最优解记为Obji。

第一阶段子模型的约束条件包括：

(1) 稳态工况下管段流量和节点输入/输出流量关系，如方程(5)所示；

(2) 节点输入/输出流量约束如方程(4)，方程(6)-(7)所示；

(3) 压气站进站压力等于所有流入管段终点压力中的最小值，则压气站进出站压力和管段起终点的压力满足方程(19)，(15)；

(4) 管段气体流动摩阻计算公式，如方程(17)所示；

(5) 管段气体流动控制方程，如方程(18)-(20)所示；

(6) 系统内气体状态方程，如方程(21)-(22)所示；

(7) 管道与对应弧的起终点压力关系，如方程组(23)所示；

(8) 压气站出站达到压气站的最大压比或者系统设计压力，如方程(25)所示；

(9) 首站进站压力为给定常数。

2.3 第二阶段验证模型

第二阶段模型验证第一阶段模型中求出的最低进气压力、最低分输压力Obji是否高于运行要求的压力下限，数学模型如(27)所示。如果该模型可行，则所有进站压力均满足要求，对应待定输气能力可行；如果某个压气或分输站i的最低进站压力小于给定压力下限Pin,min,i，则对应的输气能力不可行。

最后，证明该两阶段优化模型等价于原始不确定性优化问题：

(1) 首先，当两阶段模型有解时，则对于任意工况满足

总有Pin,min,k≤Pin,k≤Pout,k≤Pd(k∈Vmcs∪Vout)，同时各压气站压比也在可行范围内，因此该问题有解能够推出管网输气能力可行；

(2) 反之模型无解时，存在某个工况qN，使得Pin,min,k≥Pin,k，且由于此时压气站出站压力已经达到最大，不能通过提高出站压力使得压气或分输站k的进站压力提高，则该输气能力不可行。综上可知，输气能力验证的鲁棒优化问题和该两阶段优化问题等价。

3 案例分析

以图3 所示的管网系统为案例阐述输气能力验证方法。管网的拓扑结构简化为图4，其中N1，N3，N5为注入压气站节点，进气压力为定值6.5 MPa，最大压比为1.75；N7，N8 为中间压气站节点，运行要求进站压力下限为6 MPa，最大压比为1.5；分输点为N2，N4，N6，合同要求气体输出压力下限为5 MPa。弧A1-A4，A6-A7 为不可反输管段，A5 上气体可反输，用流量正负表示实际流向。管段参数如下：设计压力为10 MPa，采用外径1016 mm、壁厚14 mm的管材，内壁粗糙度为0.017 mm。A1，A2，A3，A4，A5 对应的管段长度为160 km；A4，A6，A7 对应的管段长度为300 km。另外为了加快模型收敛，设置系统的最低运行压力为3 MPa，该值低于给定的压气站和分输站进站压力下限，所以不影响计算结果。

图3 进口/出口模式下输气能力验证案例的管网物理结构Fig.3 The physical structure of the gas network for capacity verification under E/E mode

图4 进口/出口模式下输气能力验证案例的管网拓扑结构Fig.4 The topology of the gas network for capacity verification under E/E mode

假设管网公司通过对历史数据的统计和对市场的调研，提出管网各进口和出口提供的待定输气能力，表示为C=(CN1,CN2,CN3,CN4,CN5,CN6)，其中输入为正，输出为负。

首先验证输气能力(Mm3/d)C1=(-45, 45, -45, 45,-45, 45)的可行性。当qN=C1时，管网存在可行运行方案，且此时管网已基本达到最大总输量。用两阶段输气能力验证模型对C1进行验证，在第一阶段需要用5 个子模型，分别计算节点N1，N3，N5，N7，N8进站压力的最小值。模型用Julia语言建模，调用求解器Juniper[25]用分支定界法处理整数变量，得到的NLP子问题用非线性求解器Ipopt[26]进行求解。计算结果分别为Obj1=Pin,1*=5077 kPa，Obj3=Pin,3*=3000 kPa，Obj5=Pin,5*=3000 kPa，Obj7=Pin,7*=7773 kPa，Obj8=Pin,8*=4533 kPa。其中，分输站N3、N5 的分输压力达不到分输压力下限5 MPa，压气站N8 的进站压力达不到6 MPa。因此认为在给定输气能力为C1时，存在不能被管网满足的工况，C1在鲁棒验证模型下不可行。表2 展示了某个不可行工况qN下各节点的输入/输出流量、进站压力、出站压力，以及各条弧上的流量。其中节点N7、N8 无注气或分输，不存在指定流量，N1、N3、N5 为气体下载点，用Pin表示气体分输压力。在所有压气站出站压力均已达到最大的情况下，节点N3、N8 的进站(分输)压力仍低于进站(分输)压力下限，因此不存在可行的运行方案能实现工况qN，即对应的输气能力C1不可行。

表2 进口/出口模式某不可行工况下管网运行参数Table 2 The operating parameters of an infeasible condition under the entry-exit mode.

在C1不可行时可以适当调整部分节点的输入/输出能力重新进行验证。考虑到N3、N5 和N8 的最低进站(分输)压力达不到给定压力下限，通过分析管网结构可推测是弧A5 的正向流量过大导致。而弧A5 处的流量由N2、N6 注入后流向N3、N5，因此可以通过降低N2、N6 的输入能力，或降低N3、N5 的输出能力使管网输气能力可行。面对多种输气能力调整方案，管网公司可以分析各个气源和用户流量的概率分布。如果管网公司通过经验或者历史数据，推测N3、N5流量达到45 Mm3/d的概率较低，可以优先减少N3、N5 的输出能力，反之优先降低N2、N6 的输入能力。

假设调整后输气能力为C2= (-45.00, 45.00, -28.51,45.00, -28.51, 45.00)，用优化模型得到各站场最低进气压力为：Pin,1*=5034 kPa，Pin,3*=7185 kPa，Pin,5*=7185 kPa，Pin,7*=7772 kPa，Pin,8*=6019 kPa，均大于要求的最低进站(分输)压力。此时任意符合输气能力C2约束的工况均能被管网满足，C2可以作为输气能力交易。两次输气能力验证的计算结果如图5 所示。管网各节点的输入或输出能力用柱状图表示，红色虚线框表示不可行预定方案C1，橙色柱形图表示可行的预定方案C2；工况用折线表示，其中实线表示可行工况，虚线表示不可行工况。由于符合输气能力C1的工况中存在如qN,3所示的不可行工况，C1不能作为输气能力方案。为了将不可行工况排除在外，C1被减少至C2，此时如qN,1所示的部分可行工况也被排除在外，使得所有满足C2的工况均为可行工况，如qN,2所示。

图5 可行和不可行输气能力方案及工况Fig.5 Feasible and infeasible capacity allocations and scenarios under E/E regime

在此案例中，只考虑水力特性管网的最大总输量可达到135.00 Mm3/d，而基于进口/出口交易模式，当输气能力为C2时管道能达到的最大总输量为102.02 Mm3/d，管网的最大利用率仅为75.6%。可见进口/出口交易模式可能导致管网利用率较低，某些工况在实际物理管网中是可行的，但是受限于交易模式无法实现。例如在本案例中，qN,1=C1是可行的工况，但是C1是不可行的输气能力方案，因此qN,1=C1无法实现。

最后计算进口费率和出口费率。基于设计工况得到从上载点i注入单位气体，从下载点j提出单位气体时的LRMC。假设设计工况下输入/输出流量为qN0=(-28, 28, -28, 28, -28, 28)，此时各管段上流量为Q=(28, 28, 28, 28, 28, 28, 28)。假设管网公司基于以上工况核算得到管网的LRMCs(CNY/m3)为cM，横坐标对应节点N2，N4，N6，纵坐标对应节点N1，N3，N5。

需要说明的是，尽管注入点N4 到分输点N1 的距离较远，但是对应的LRMC较低(1.09 CNY/m3)。因为基于工况qN0，N4 到N1 增输单位气体流量时，各管段上实际流量为Q’= (29, 28, 28, 27, 28, 28, 29)，管网实际增加的单位周转量为300 km·m3。用最小二乘模型(3)计算各进口和出口费率(CNY/m3)，取α=0.5。当收益率为8%时，进口费率的计算结果为：P2=1.26，P4=0.59，P6=1.26；出口费率为：P1=0.59，P3=1.26，P5=1.26。假设单位气体从N4 输送到N1，则需支付费用为P4+P1=1.85 CNY/m3。托运商将气体从N4 输送到N1 支付的实际费用对应于单位周转量增加300 km·m3产生的输气成本，若基于点对点模式需按照从N4 到N1 之间路径的里程计算输气费用，管网公司将收取周转量为640 km·m3对应的输气费用。因此相比于基于路径的计费模式，进口/出口模式下的费率更能反映管网的实际输气成本。