溯本追“圆”见真章 拨云见日得正解

谢洁红

俗话说：吃一堑，长一智。学习的过程也是一个修炼的过程，与难题过招，见招拆招；溯本追源，定能拨云见日。现对同学们在本章学习过程中常出现的几种典型错误进行分析，希望大家引以为戒。

一、忽视圆的相关概念

例1 下列结论：（1）过圆心的线段是直径；（2）弦是直径；（3）弧是半圆；（4）长度相等的两条弧是等弧。其中正确的有（）。

A.0个B.1个

C.2个D.3个

【错解】B。

【错因分析】没有准确理解“直径”“半圆”“等弧”等相关概念。

【正解】弦与直径的联系和区别：弦和直径都是端点在圆上的线段，但直径一定经过圆心，故（1）（2）错误。弧可分为半圆、优弧和劣弧，故（3）错误。等弧是指能够完全重合的两条弧，故（4）错误。故选A。

【点评】本题考查了圆的相关概念，要注意“直径是圆中最长的弦，但弦不都是直径”“半圆是一条特殊的弧”。等弧的长度是相等的，但长度相等的弧不一定是等弧，还要看能否重合，所以在等圆或同圆中才有等弧。

例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心、R为半径所作的⊙C与斜边只有一个公共点，则R的取值范围是（）。

A.R=2.4

B.3＜R＜4

C.R=2.4或3＜R≤4

D.R=2.4或3＜R＜4

【错解】A。

【错因分析】没有审清题意，从“只有一个公共点”仅得出直线与圆相切。

【正解】当⊙C与斜边AB相切时，如图1，此时，⊙C与斜边AB只有一个公共点。设⊙C与斜边AB相切于点D，则CD⊥AB。根据勾股定理和三角形的面积公式，可求出CD=[AC×BC/AB]=[3×4/5]=2.4，即R=2.4。当R=AC时，如图2，⊙C与斜边AB恰有两个公共点；当AC＜R≤BC时，如图3，⊙C与斜边AB只有一个公共点；当R＞BC时，如图4，⊙C与斜边AB无公共点。综上所述，R的取值范围是R=2.4或3＜R≤4。另外，当R＜2.4时，⊙C与斜边AB无公共点；当2.4＜R≤AC时，⊙C与斜边AB有两个公共点。故应选C。

【点评】本题不能把“只有一个公共点”等同于“相切”。同时，我们还要注意条件给的是线段、射线还是直线。

二、忘记分类讨论，导致漏解

例3 已知△ABC内接于⊙O，∠OCB=33°，则∠A的度数为________。

【错解】57°。

【错因分析】只考虑点A和圆心O在BC的同侧，漏了在异侧的情况。

【正解】∵∠OCB=33°，OB=OC，

∴∠COB=114°。

（1）当点A1和圆心O在BC同侧时，如图5。

∴∠A1=[1/2]∠COB=57°。

（2）当点A2和圆心O在BC异侧时，如图5。

∴∠A2=180°-∠A1=123°。

所以∠A的度數是57°或123°。

【点评】一弦所对的圆周角有两个，且它们有互补关系。

（作者单位：江苏省无锡市硕放中学）