研究关联方法，“圆”来如此美妙

第二章 对称图形——圆

领衔人：浦叙德（正高级教师、江苏省特级教师）

组稿团队：江苏省无锡市初中数学浦叙德名师工作室

本章是初中平面几何中非常特殊的一章，在此之前和之后学习的平面图形都是直线型，唯独这章研究的是曲线型。因为圆是现实世界中常见的基本图形，应用非常广泛，所以我们非常有必要详细深入地研究它。如果我们梳理本章知识，研究这些知识之间的关联，你就会觉得，“圆”来如此美妙。

一、知识之间的关联结构

从数学研究的基本套路出发，我们要研究一个对象的定义、性质、判定，或两个对象之间的关系，包括位置关系和数量关系，然后利用研究结果解决数学问题或实际问题。

1.知识要点

本章内容一共有8个小节，可以分成两大板块。一块是研究一个对象，即圆的定义，利用圆的轴对称性证明了垂径定理，利用圆的旋转不变性说明了圆心角、弧、弦之间的关系，利用同弧作为中介，对圆周角、圆心角进行分类讨论，通过一般到特殊的转化，证明了圆周角定理，最后利用小学里所学的圆的周长、圆的面积知识分别推导出弧长公式、扇形的面积公式；另一块是研究两个对象之间的关系，即点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，三角形、四边形、正多边形与圆的位置关系，特别研究了直线与圆相切的特殊情形，得出了切线长定理。点与圆、直线与圆的位置关系，反映了形与数之间的内在联系，即由图形的位置关系决定数量关系，由数量关系判定图形的位置关系。

2.关联结构

数学知识之间存在着一定的逻辑关系，这种关系体现知识从哪里来、怎样形成、到哪里去，只有明确了知识的来龙去脉，方能从整体上真正理解数学知识。通过对本章知识之间的逻辑关系进行归纳，我们可以得到如下的知识结构图（如图1）。

二、研究知识的主要方法

本章内容的研究主要用到三种重要的思想方法：特殊与一般，形数转换，分类讨论。其中，分类讨论主要是由形的位置不确定而引起，如教材中证明圆周角定理等。因此，同学们在学习知识的同时，一定要深刻领会这些数学思想方法在其中的重要作用。下面，就本章中涉及的“特殊与一般”与“形数转换”进行具体说明。

1.特殊与一般

如果把曲线型圆与前面的直线型图形联系起来看，本章的研究内容始终围绕着“直线型与圆之间的关系”展开，处处存在特殊与一般的研究方法。研究位置关系的具体知识有：（1）点与圆的位置关系，分为“点在圆内、点在圆上、点在圆外”三种，其中重点研究“点在圆上”；（2）直线与圆的位置关系，分为“直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离”三种，其中重点研究“直线与圆相切”；（3）角与圆的位置关系，按角的顶点位置分为“圆内角、圆上角、圆外角”三种，其中重点研究“圆心角、圆周角”两种；（4）三角形与圆的位置关系，重点研究“圆的内接三角形、三角形的内切圆”；（5）四边形与圆的位置关系，重点研究“圆的内接四边形、四边形的内切圆”；（6）正多边形与圆的位置关系，重点研究“圆的内接正多边形、正多边形的内切圆”。研究数量关系的具体知识有：（1）圆周长与弧长；（2）圆面积与扇形面积。当然，在研究具体某个知识时，也多次用到特殊与一般的关系，如“弦与直徑”“弧与半圆”“垂径定理”等。可见，特殊与一般，既是我们认识事物的一般规律，也是研究数学非常重要的思想方法。

2.形数转换

平面几何主要研究一个图形的定义、性质、判定和两个图形的位置关系、数量关系，圆的研究也不例外。因此，本章的研究始终围绕着“数与形”的转换展开。

例如，要研究点与圆的关系，我们可以直接从形的角度“点在圆内、点在圆上、点在圆外”入手直观判断。而“形缺数时难入微”，我们可以通过点心距d与半径r之间的数量关系加以判断，即“当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外”。同样，我们要研究直线与圆的关系，可以直接从形的角度“2个交点、1个交点、0个交点”直观判断，也可以通过圆心距d与半径r之间的数量关系加以判断，即“当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离”。如果要对教材知识进一步推广，如研究圆与圆的关系，同样可以通过“形数转换”的思路，从位置关系的形与数量关系的数两个视角来展开。

通过上面的介绍，我们不但明确了圆这一章知识的逻辑关系及其关联结构，而且知道了研究本章内容时用到的重要思想方法，这样就形成了对圆的整体性的本质认识。对数学知识的学习，我们不仅要明白研究内容，更要明白研究这些内容的主要方法，这将有助于我们对数学学科的进一步学习和迁移创新。

（作者单位：江苏省无锡市新吴区教师发展中心）