关于对“线速度”究竟如何定义的思考

段石峰

长沙市周南中学，长沙 410201

“线速度（linear velocity）”是国家科学技术名词审定委员会公布的《物理学名词》［1］中“力学”领域的专业术语，《普通高中物理课程标准（2017 年版）》在内容要求中明确提出“会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动”［2］，我国各版本高中物理教材都引入了“线速度”概念。然而，“线速度”究竟该如何定义？ 这个问题一直以来存在诸多争议，在教学中引起了一些混乱和困扰。本文试图从根源上理顺“线速度”定义的逻辑脉络，澄清对基本概念理解上的模糊点。

1 “线速度”定义的两种方法

如图1 所示，物体沿圆弧由M 向N 运动，在一段时间Δt 内由A 点运动到B 点，通过的弧长为Δs，位移Δl 的大小为的弦长，方向由A点指向B 点。为了描述物体做圆周运动的快慢，对“线速度”如何定义的争议由来已久，一直并行两种方法。优劣之分各有长短，互补之下难以取舍。

图1 物体沿圆弧由A 运动到B

1.1 第一种方法：弧长与时间之比

我国各版本高中物理教材都采用“分步走”的思路，首先用“弧长与时间之比”定义线速度的大小，然后根据“曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向”，确定圆周运动的线速度方向也是沿切线方向［3］。只是不同版本教材对“弧长Δs 与时间Δt 之比”的表述略有差异，有的教材把它称为“线速度”，有的教材把它称为“线速度的大小”。显然前者存在科学性错误，因为弧长（路程）是标量，如此表述与“线速度是矢量”自相矛盾，而后者避免了这个矛盾，更加严谨自洽。

1.2 第二种方法：位移与时间之比

在美国高中主流理科教材《科学发现者·物理原理与问题》中这样描述，物体做圆周运动时相对于圆心的位置矢量沿半径方向，其大小不变而方向在改变，位置矢量的变化即位移为Δl，把物体做圆周运动的速度定义为“位移Δl 与时间Δt 之比”［4］。由于该教材是在后续描述物体的转动时才引入“角速度”概念，因此在描述圆周运动时无须区分名称，并没有把圆周运动的“速度”命名为“线速度”。无独有偶，我国沪科教版高中物理教材在“多学一点”栏目中也用同样的方法介绍了“圆周运动的速度”［5］，目的是拓展学生的知识面，供有兴趣和学有余力的学生阅读。

2 两种定义方法的依据与缺陷

仔细考量“线速度”定义的两种方法，发现它们既有相应的依据，又都存在难以回避的缺陷。

2.1 “线速度”与直线运动的“速度”

第一种定义方法是类比直线运动速度的定义方法，两者在描述物体运动快慢的方式上是相通的。这种定义方法，首先要考虑如何“化曲为直”，把圆周运动等效转化为直线运动。分析如图2 所示的实验装置，转盘边缘的点做圆周运动的快慢，可以通过打点计时器用纸带测量出来，这样就将直线运动定义速度的方式自然过渡到在圆周运动中定义线速度。只是在这种特殊的运动形式中，为了区别于物体绕圆心转动快慢的物理量——“角速度”，将物体圆周运动的速度称为“线速度”。

图2 一种可定义线速度的实验装置示意图

圆周运动是一种机械运动，即物体空间位置随时间变化。空间位置的变化是位移，而不是路程，描述运动快慢（即位置变化快慢）的物理量是位移与时间之比。用“弧长”这个标量与时间之比来定义“线速度矢量”显得格格不入，让人感觉有点别扭、不自然［6］。况且同一段位移可以对应两段不同的弧长，即使对“线速度”只定义大小，另外说明方向，这也不符合矢量定义的一般规则。既然“线速度与直线运动的速度没有本质区别”，为何要重新定义，而不沿用原来的定义？

按照这种定义方法，只有在匀速圆周运动中才能计算线速度的瞬时值。有的教材先提出“匀速圆周运动”（在任意相等时间内通过的弧长都相等），再定义“线速度”是基于匀速圆周运动，而“匀速圆周运动”又以“线速度的大小处处相等”为前提。各版本教材对“线速度”与“匀速圆周运动”两个概念的定义先后次序不同，逻辑上有差别，这样的处理就有循环定义的嫌疑。

2.2 “线速度”与曲线运动的“速度”

第二种定义方法是沿用曲线运动速度的定义方法，两者在速度矢量定义的方式上是一致的，保持了概念定义的统一性。如图3 所示的曲线是某质点的运动轨迹，若质点在一段时间内从A 点运动到B 点，则质点的位移是由A 点指向B点的有向线段，由此定义这段时间内的平均速度。当时间极短趋于0，即B 点无限靠近A 点时，平均速度的极限值就是在A 点的瞬时速度大小，方向沿A 点的切线方向。圆周运动是一种特殊的曲线运动，如图1 所示，物体位移的大小为的弦长，方向由A 点指向B 点，于是先定义平均速度，再将平均速度取极限，同时得到线速度的大小和方向。

图3 沿曲线运动的质点

纵观大学物理教材在描述圆周运动的快慢时都没有提出“线速度”概念，而是直接沿用一般曲线运动的“速度”概念，甚至用矢量定义的“速度”概念不再区分机械运动的具体形式，实现了概念上的连贯性，显示出科学概念的伟大之处在于解释和统一各种自然现象的能力。尽管如此，由于圆周运动具有空间和时间的周期性，运动轨迹会重复，位置的变化被局限在圆周上，位移的大小不超过圆的直径，所以用这种定义方法来描述圆周运动的快慢是没有意义的，不能形象地反映圆周运动的特点，不能直观地描述圆周运动的快慢。而且其中用到了极限的概念，求解瞬时速度时需要用到导数的相关知识，这对数学基础的要求较高。为降低学习难度，各版本高中物理教材都采用第一种定义方法，更加符合学生的认知水平，实际教学中可以视学情而定。

3 “平均线速度”的意义

人教版2010 版教材在引入线速度概念之后指出“线速度也有平均值与瞬时值之分”，但后文只解释了“瞬时线速度”就是直线运动中的瞬时速度，这不禁让人产生追问：“平均线速度”是什么？是平均速度吗？平均线速度的意义是什么？按照该教材的定义，用一段时间内的“弧长与时间之比”，定义的不是“平均速度”，而是通常所说的“平均速率”。后来该教材在2019 版中作了修订，删去了线速度有平均值和瞬时值的区分，避免学生陷入认知误区和产生学习障碍［7］。

事实上，“平均速率”这个概念的使用也存在一定的混乱，教学中为了区别初中的“速度”概念，强行将其改为“平均速率”并灌输给学生。人教版教材在描述质点的运动时并没有引入“平均速率”，后续出现的这个概念是用来描述微观粒子的运动，例如“大量自由电荷定向运动的平均速率”“分子无规则热运动的平均速率”。查阅大学物理教材，程守洙和江之永主编的《普通物理学（第六版）》在“质点运动的描述”中提及“平均速率”［8］，但从第七版开始却取消了这个概念，其他常见的大学教材也都没有用“平均速率”描述质点的运动。在《物理学名词》［1］中查到了“平均速率（mean speed）”这个专业术语，的确分类在“统计物理学”领域中，说明“平均速率”并不是描述质点运动的专属概念。教学中最好不要将同一概念多次定义，出现多重含义。

机械运动是指抽象的“位置变化”，位移与具体的运动路径无关，平均速度只能粗略地描述运动的快慢，这是平均速度的局限性。然而，瞬时速度的建立必须以平均速度为前提，引入平均速度的价值和意义在于过渡到瞬时速度。对一个过程取极限，就能实现从平均值过渡到瞬时值。

人教版2019 版教材在直线运动中定义速度概念时，没有对时间的长短提出要求，但在圆周运动中定义线速度概念时，重点强调了“Δt 非常非常小”，显然从出发点就没有定义“平均线速度”的意图，即线速度概念本身具有瞬时性，线速度属于瞬时速度的下位概念。随后教材又明确指出：当时间Δt 足够小时，圆弧AB 与线段AB 几乎没有差别，此时弧长Δs 就等于弦长（位移Δl的大小），平均线速度的极限就是瞬时线速度。用数学语言表述，当Δt→0 时，有Δs=|Δl|，那么由两种不同方法定义的“线速度”，在极限情况下的瞬时值归于统一。

4 从逻辑上定义“线速度”

圆周运动虽然是质点运动模型，不是刚体转动模型，但运动范围限制在圆周轨道上，它的更本质特征是绕圆心转动，因此圆周运动是一种既“动”又“转”的运动，不仅具备曲线运动的性质，还具有刚体转动的特点。刚体绕固定轴转动时，其中每个质点都做圆周运动，并且只有一个自由度（独立变量），欧拉提出用“角度”来确定刚体的位置，因此可以用“角量”来描述圆周运动，与“线量”具有完全相同的地位，而且从“角量”过渡到“线量”更加符合逻辑结构［9］。

另一方面，如果在直角坐标系中用分解的方法研究圆周运动，得到的分运动是用三角函数表达的简谐运动，不像研究抛体运动那样起到“化曲为直”的作用，因此研究圆周运动时一般不采用直角坐标系中的分解方法。匀速圆周运动是在有心力作用下，并且运动轨迹是已知的，通常选择极坐标系或自然坐标系更为方便，这两类坐标系在圆周运动时恰巧存在基矢关联：径向与法向相反，横向与切向重合。由于匀速圆周运动的速度方向总是沿轨迹切线，所以径向和法向均无速度。

在极坐标系中，径向坐标r 为常量，只剩下角量θ 为变量，横向速度产生角位移Δθ，从而定义角速度大小在自然坐标系中，弧长s 作为质点位置坐标的唯一变量，切向速度大小由弧长与角位移的关系Δs=rΔθ，两边同时除以时间Δt 并取极限得，即v=rω。由此可见，角速度ω 和线速度v 来源于不同的坐标系，从本源上不是一对共轭物理量。由于圆周运动的特殊性，若以圆心为极坐标系原点，则极坐标表示与自然坐标表示具有天然等价性［10］。从逻辑上讲，应该先在极坐标系中定义角速度，然后通过换算关系得出线速度。