天然平面电磁波在地下良导体界面上的反射与折射

2023-11-08于熙杨天春冯建新付国红杨追

矿业工程研究 2023年3期

于熙,杨天春*,冯建新,付国红,杨追

(1.湖南科技大学地球科学与空间信息工程学院,湖南湘潭 411201;2.湖南工程职业技术学院,湖南长沙 410151;3.湖南普奇地质勘探设备研究院, 湖南长沙 410000)

地球物理方法是矿产资源勘探、工程地质调查中的一种重要手段[1-2],其中天然电磁类方法在深部资源勘探和浅部岩土工程调查等方面的应用也越来越广泛[3-4].例如,大地电磁测深法在地壳和上地幔构造研究中发挥了重要作用,天然电场选频法(简称选频法)在地下水资源勘探中也取得了非常好的效果[5-6].相对人工源电磁法而言,天然电磁法设备简单、施工方便,但其场源错综复杂,自然界一切可产生电磁波的事物均可成为天然电磁场的源,如电离层的扰动、雷电、无线电通信以及其他工业器件引起的发射等;同时,天然电磁法的异常成因也十分复杂,一般利用波动方程对大地电磁法的异常进行解释,但也有文献采用大地电磁法磁反射系数、震电效应等来解释天然电磁法的异常[7-8].这些解释异常的方法都有一定的道理,因为这些物理现象在自然界中确实存在,只是在不同的地球物理条件下它们各自所起的作用大小可能不同.当电磁波的频率较高、波长较短且地下目标体的尺寸远远大于电磁波的波长时,可使用波的射线理论来近似研究电磁波的反射与折射.

选频法是我国学者们20世纪80年初在实践应用基础上提出的一种被动源电磁勘探方法,它是音频大地电场法的进一步应用与发展,该方法已在浅层地下水资源勘探、地下水灾害调查等方面取得了非常好的实践效果[9-10].以往,学者们主要采用大地电磁法的理论对选频法的异常进行解释,这虽然在其剖面异常上获得了较好的正演效果,但在选频测深法的正演上还不能令人十分满意,如正演得出的测深异常值相对于背景场较小,被背景值所掩盖[6],无法分析解释测深结果.选频法异常的成因也是多方面的,因此,我们将在以往电磁理论的基础上进一步研究电磁信号的反射问题.

天然交变电磁场以波的形式在地下介质中传播时,一部分信号在电性界面上被反射回来,一部分信号折射过去,这些信号都蕴含着丰富的地球物理信息,研究这些反射和折射信息的特征对实践应用具有重要的理论意义与实践价值.以往许多经典的地球物理类电磁法书籍中已经讨论过平面电磁波在电性分界面上的反射和折射问题,但在这些书籍中,电磁波的反射与折射示意图都是针对一般情况,有时图中矢量方向表述各不相同,使读者觉得有些困惑[11-12];或者只是针对绝缘物质分界面上、绝缘与导电物质分界面上等极限情况进行讨论,与地质勘探的地下实际情况不完全相同[12].由于大地电磁法探测深度一般较深,在一些文献中,学者们在采用大地电磁法或拟地震解释法对大地电磁资料进行反演解释时,将地下介质当成水平层状介质,考虑的是平面电磁波的垂直入射与反射,这是相对比较简单的情况[7,13].而选频法的勘探深度相对较浅,必须考虑平面电磁波斜入射的情况.本文主要针对斜入射的天然电磁波在地下低阻体上的反射与折射情况及其各个电矢量和磁矢量的方向等问题开展研究,以期从理论上深刻认识天然电磁法的反射与折射规律,为天然电磁法异常正演解释及相关研究提供一定的理论基础.

1 斜入射的平面电磁波

如图1所示,假设分界面S为一无穷大平面,两个半空间分别充满两种均匀各向同性线性媒质,其介电常数、磁导率、电导率分别为ε1,μ1,σ1和ε2,μ2,σ2.n是由媒质(a)指向媒质(b)并垂直于平面S的单位法矢量,n0为平面电磁波中入射波的单位矢量,若谐变电磁场的时间依赖关系为eiωt,则平面单色波的电矢量EI和磁矢量HI可由方程式(1)表示[12]:

图1 平面波的反射与折射

(1)

当平面电磁波入射到分界面后,分界面附近的自由电荷和束缚电荷将会按同一频率振动起来,从而激发出反射波和折射波,假设它们也是平面波,则反射波和折射波的电矢量和磁矢量可分别表示为

(2)

(3)

式中:Er,Et分别为反射波和折射波的电矢量;Hr,Ht分别为反射波和折射波的磁矢量;E2,E1分别为反射波电矢量和折射波电矢量的复振幅;k1为电磁波在媒质(a)中的波数;n2和n1分别为反射波和折射波传播方向的单位矢量.

尽管入射矢量EI的方向是任意的,但总可把它分解为垂直于入射面的分量和平行于入射面内的分量,即电场垂直于入射面(磁场平行于入射面)的TE极化模式(图2)和电场平行于入射面(磁场垂直于入射面)的TM极化模式(图3)[12].

图2 TE极化平面波的反射与折射

图3 TM极化平面波的反射与折射

图中:H0,H1,H2分别为入射波、折射波和反射波的磁矢量的复振幅.

依据E的切向分量和H的切向分量在分界面S上是连续的这一边界条件,图2和图3中的各矢量关系满足方程式:

n×(H0+H2)=n×H1,n×(E0+E2)=n×E1.

(4)

再根据折射定律:sinθ2=sinθ0(即入射角θ0等于反射角θ2)及折射角θ1与入射角θ0之间存在关系式k2sinθ0=k1sinθ1,由此就可得到反射信号、折射信号与入射信号之间的关系式.

对于图2的TE模式而言,电场强度的反射信号和折射信号的复振幅E2和E1分别为

(5)

(6)

所以,TE模式下,把反射波电场与入射波电场之比称作振幅反射系数[11]r⊥,由式(5)有

(7)

同理,TM模式(图3)磁场强度的反射信号和折射信号的复振幅H2和H1分别为

(8)

(9)

根据式(8)和电、磁场矢量之间的关系,可得TM模式下电矢量的振幅反射系数r‖为

(10)

根据图2和图3中的表述,图中电场矢量或磁场矢量是垂直于入射面(即纸面)的.在WARD撰写的《地球物理用电磁理论》[11]中,对于TE模式入射情况下的反射与折射的示意图如图4所示,这与图2中反射信号的表示明显不同,给人造成困惑.实际上,上下两种介质的电性关系不同,这些矢量的方向也是不同的,如果在未给出具体电性关系的情况下,就用上述示意图表示各分量的具体方向,容易给人造成误解.

图4 TE模式平面波的反射与折射[11]

2 分析推导

下面主要针对天然电场选频法在地下水勘探时的地质地球物理模型进行分析.此时,前面图中的媒质(a)和媒质(b)分别为地下水(相对低阻体)和围岩介质(相对高阻体).

2.1 折射波

(11)

由式(11)可知,当电磁波从地下入射到地下水(低阻体)与围岩的分界面时,对于任意的入射角θ0都有一个折射角θ1与之对应.

对于TE模式而言,根据关系式θ2=θ0及k2sinθ0=k1sinθ1,式(4)和式(5)可化为

(12)

(13)

同理,对于TM模式而言,由式(2)、式(3)和式(7)、式(8)可得

(14)

(15)

由于式(12)～式(15)中的系数都是实数,所以反射波、折射波与入射波同相或反相(相差180°).又由于θ1,θ0∈[0, π/2],式(13)和式(15)中的系数为正,所以TE和TM模式下折射波始终与入射波同相.

2.2 反射波

选频法的观测参数是天然电磁场在地表所形成的电场的水平分量,因此本文主要研究反射波.对于反射波来说,关系比较复杂.首先,对于TE模式来说,根据式(11)和电性关系σ2/σ1<1,可得θ1<θ0,所以式(12)的系数为负,故TE模式时反射波与入射波反相.因此,图2应修改为图5所示的形式,即E1与E0同相,方向垂直于纸面向外;E2与E0反相,方向垂直于纸面向内.

图5 TE模式时地下水与围岩分界面上的反射与折射

对于TM模式的反射波而言,同样由于θ1和θ0∈[0, π/2],由式(11)有θ1<θ0,可知tan(θ0-θ1)>0,所以,此时反射波与入射波是同相还是反相,主要取决于式(14)中tan(θ0+θ1)的正负,即取决于θ0+θ1的值是否大于π/2.

因为tan(θ0+θ1)=sin(θ0+θ1)/cos(θ0+θ1),所以TM反射波的正负决定于cos(θ0+θ1),由于在[0, π/2]内sinθ1cosθ0,所以有

cos(θ0+θ1)=cosθ0cosθ1-sinθ0sinθ1>cosθ0cosθ0-sinθ0sinθ0=1-2sin2θ0.

(16)

如果1-2sin2θ0>0,则有θ0<π/4.

我们暂且先来讨论地下低阻球体上天然电磁信号的TM模式的反射问题.如图6所示,假设均匀半空间中存在一个良导球体,其介电常数、磁导率、电导率分别为ε1,μ1,σ1,地下围岩的相应参数为ε2,μ2,σ2(<σ1).众所周知,天然电磁场的传播方向是垂直地表向下的,即入射波沿图6中单位矢量n0的方向入射到球体表面,相应的电场分量为Ey,磁场分量为Hx.假如在地表的观测点G接收到反射信号,则反射波的方向是图6中单位矢量nr的方向.由图6的几何关系可知,只有当观测点G位于地表无穷远处时,入射线与反射线的夹角才趋近于π/2,也就是说,图6中的入射角θ0总是小于π/4.图中观测点G是位于球体的左侧,当G点位于球体的右侧时,也会有同样的结果.此处是用规则的地下良导球体来进行说明的,对于不规则的任意低阻体也会有同样的结论.

图6 大地电磁波在地下良导球体上的反射

根据上述分析可知,对于生产实践中地表天然电磁法而言,地下良导体上的TM模式大地电磁波的反射问题中,入射角θ0<π/4是成立的,所以有θ0+θ1<π/2,即tan(θ0+θ1)>0,式(13)右边的系数为正.因此,图3应修改为图7所示的形式,即H1与H0同相,方向垂直于纸面向外;H2也与H0同相,方向垂直于纸面向外.同样,对于图6中地表所观测到的反射信号而言,反射信号的磁场H2也始终是垂直于纸面向外.