机械臂自适应反演超螺旋全局终端滑模控制

李俊麟,王宏博,3,张 伟*,高 升

(1.中国科学院沈阳自动化研究所 机器人学国家重点实验室,辽宁 沈阳 110016; 2.中国科学院机器人与智能制造创新研究院,辽宁 沈阳 110169; 3.沈阳化工大学 信息工程学院,辽宁 沈阳 110142)

工业自动化技术的提高及现代科技的发展,使机器人技术得到了广泛应用。机械臂作为机器人技术中使用最多的自动化机械装置,一直以来都广受关注。然而机械臂是一个典型的强耦合、非线性和多变量系统[1-2],实际中更会受到外部扰动、建模误差和内部摩擦等因素的影响,特殊的驱动方式及建模难度对其高效、精准控制提出了挑战[3],设计性能优越的控制器成为学者们研究的热点。目前已有众多方案用以解决机械臂高性能轨迹跟踪控制难题,如自适应控制[4-5]、神经网络控制[6-7]、反演控制[8-9]和滑模控制[10]等。

由于滑模控制对系统参数摄动及外部扰动变化不敏感,具有强鲁棒性,在线性和非线性物理系统中有着良好的控制效果,所以被广泛研究,但传统线性滑模控制无法保证系统状态的有限时间收敛性。文献[11]设计了一种有限时间轨迹跟踪控制器,通过神经网络逼近机械臂系统模型和扰动,能够保证系统在有限时间内跟踪期望轨迹。文献[12]采用扰动估计器对系统不确定项进行估计,通过自适应律补偿估计误差,结合非奇异快速终端滑模算法,能够实现有限时间收敛的机械臂高精度轨迹跟踪。文献[13]与文献[14]针对机械臂系统集总扰动上界未知的问题,设计了基于自适应估计的终端滑模控制策略,可以使机械臂的位置跟踪误差和速度误差在有限时间收敛到0。

虽然终端滑模控制解决了有限时间收敛问题,但由于高频切换导致的抖振现象并未消除。解决的主要方法有采用饱和函数和特殊幂次函数等连续平滑函数替代符号函数,以及改进趋近律方法等。文献[15]采用特殊幂次函数代替切换控制项中的符号函数以削弱抖振。文献[16]和文献[17]分别设计了自适应趋近律和带有变系数的双幂次趋近律,以使控制器输出连续的控制信号,抑制抖振的同时还可以加快系统响应速度。文献[18]采用饱和函数替换符号函数达到抑制抖振的目的,但边界层问题成为另一个制约控制器性能的因素,较窄的边界层无法有效消除抖振,而较宽的边界层会降低系统控制精度。此类使用连续平滑函数的方法虽然都能在一定程度上改善抖振现象,但也会影响系统的鲁棒性和控制精度。而采用高阶滑模中的超螺旋算法是另一种有效的方法,在保证控制器性能的同时对抖振也有着良好的改善效果,文献[19]采用超螺旋算法设计高阶滑模控制器,结合模糊推理系统逼近系统模型,实现了高效的机械臂轨迹跟踪控制。文献[20]采用时延估计建立机械臂局部模型,基于超螺旋算法设计控制律,使系统具备了强鲁棒性、消除抖振的优点。文献[21]提出一种自适应分数阶超螺旋滑模控制策略,自适应算法用于估计系统集总扰动上界,采用分数阶理论与超螺旋算法结合的方式构造控制器以使系统状态快速收敛,同时达到抑制抖振的目的。此外,反演控制是一种针对被控对象的具有外部干扰及变化特性的一种有效控制方法,近年来受到了学者们的广泛研究与关注[22-23]。反演控制采用递归设计思想,将复杂的非线性系统分解成多个低阶子系统,然后分别设计Lyapunov函数和虚拟控制输入,对参数不确定系统有着非常好的鲁棒性。将反演控制与滑模控制结合设计控制器,可以进一步增强系统对非匹配不确定性的鲁棒性。

在上述文献的基础上,提出一种应用于机械臂系统的自适应反演超螺旋全局快速终端滑模控制策略。本文所做的主要工作和创新点如下:① 利用反演设计法将机械臂系统分解成低阶子系统,使系统拥有对外部扰动及参数不确定性的强鲁棒性,然后结合全局快速终端滑模函数设计控制器,保证系统状态在有限时间内收敛到平衡点,改善系统的动态响应特性。② 采用自适应技术在线实时估计机械臂系统集总扰动上界,所以不需要扰动上界的先验知识。③ 在控制器中引入超螺旋算法,保证控制性能的同时有效抑制抖振。最后通过对比仿真及数据分析验证了所提算法具有高精度轨迹跟踪、强鲁棒性、快速的动态响应及有限时间收敛性的特点。

1 机械臂动力学模型

考虑外部干扰、非线性摩擦以及系统参数摄动等不确定性因素影响,n自由度机械臂拉格朗日动力学方程可描述如下:

(1)

式(1)描述的机械臂动力学方程可改写为

(2)

(3)

在进行后续控制器设计之前,对上述机械臂动力学模型做出如下假设。

假设[13]集总扰动满足约束条件:

(4)

2 控制器设计及稳定性分析

根据反演法的递推思想结合全局快速终端滑模控制理论构造控制器,不仅可以加快控制系统的动态响应速度,同时还能够增强系统的鲁棒性。通过设计合适的控制量τ,使得系统满足两个条件:一是闭环系统稳定;二是系统状态可以在有限时间内收敛到0。反演设计方法整体上分为两步:① 利用Lyapunov函数构造虚拟控制量;② 在步骤①的基础上,选择合适的滑模函数设计控制律。

① 定义位置跟踪误差及其一阶导数:

e=q-qd=x1-qd

(5)

(6)

反演法与Lyapunov理论结合设计控制器的过程中,要保证系统始终是稳定的,为此将第一个Lyapunov函数定义为

(7)

定义虚拟控制量x2,其表达式为

(8)

式中:s为滑模函数;χ为大于0的常数。

取式(7)的一阶导数,再将式(8)代入可以得到:

(9)

② 选择合适的滑模函数进行控制器的设计,并从理论上证明所设计控制器的稳定性。本文选择全局快速终端滑模函数:

(10)

式中:α、β为正常数,p/q>1。

进行有限时收敛分析,令tr为任意初始状态到达平衡状态s(0)=s(tr)=0的时间,则存在一个大于0的常数κ,使得tr≤s/κ成立。此时,系统状态能够在tr内到达滑模面;系统从e(tr)≠0收敛到e(ts+tr)=0的时间为ts,在此过程中s=0,有:

(11)

通过以上分析可知,设定合适的α、β、p、q的值,就可保证系统状态在有限时间ts内收敛到平衡点。

然后进行全局快速终端滑模控制器设计,取式(10)的一阶导数:

(12)

在保证闭环系统稳定的同时,也使系统状态始终位于滑模面上,定义第二个Lyapunov函数:

(13)

取其一阶导数并代入式(3)、式(9)及式(12):

(14)

根据等效控制设计思想,机械臂控制力矩τ由等效控制τeq和切换控制τsw组成,即:

τ=τeq+τsw

(15)

根据式(14)设计等效控制项τeq:

(16)

切换控制项τsw用于处理系统不确定性,保证系统鲁棒性,设计为

(17)

式中:k>0。

在进行反演设计的过程中,假设系统集总不确定性的上界是已知的,因此切换控制律式(17)的设计是合理且有效的。

将所设计的控制器式(15)代入到式(14)中,经过简化可以得到:

(18)

(19)

(20)

对上式求导,并代入式(14),可以得到:

(21)

将控制律(15)～控制律(17)和自适应律(19)代入式(21)可得:

≤-χe2-Λ|s|

(22)

(23)

由上述分析可知式(23)是有界的,因此根据Barbalat引理有:

(24)

即ce2+Λ|s|最终渐近收敛到0。综合以上分析,所设计的控制器可保证系统渐近稳定以及使轨迹跟踪误差能够在有限时间内收敛到0。

在以上控制器的设计过程中,并未考虑由于高频切换导致的抖振对系统造成的负面影响。引入超螺旋算法不仅能对滑模控制存在的抖振现象进行有效抑制,亦能保证控制器跟踪性能,不损失滑模不变性。超螺旋算法表达式如下:

(25)

根据式(25)对切换控制律(17)进行重新设计,然后可以得到最终的控制器:

(26)

(27)

其中,ω是一个数值较小的正常数,如果取值过大,那么就会产生较大的余量,在一定程度上会影响系统的控制精度;而过小的ω值将难以维持死区条件|s|<ω甚至无法得到|s|<ω,这将再度导致参数自适应估计值缓慢增长,因此取值时应该综合考虑实际情况。

3 仿真分析

为了验证本文设计控制器的有效性,使用二自由度机械臂模型,利用设计的控制器实现机械臂轨迹跟踪,机械臂模型如图1所示。

图1 机械臂模型示意图

机械臂动力学方程中各矩阵具体形式如下:

M(q)=[m11,m12;m21,m22]

G(q)=[g1;g2]

c22=0

g1=(m1r1+m2l1)gcos(q1)+m2gr2cos(q1+q2)

g2=m2gr2cos(q1+q2)

τd=[τd1,τd2]T

机械臂物理参数及控制器参数分别如表1和表2所示。

表1 机械臂模型参数

表2 控制器参数

为体现本文设计控制算法的有效性,与文献[13]和文献[18]中设计的控制器进行比较。

文献[13]设计的控制器如下:

(28)

式中:αc=βc=3;η1=1.9;η2=5/3;δ=0.5;其余参数与表2相同。

文献[18]设计的控制器如下:

(29)

式中:α0=α3=3;α1=α2=1;γ1=0.4;γ2=2γ1/(1+γ1);=4;ε=0.1,其余参数与表2相同。

机械臂两关节位置轨迹跟踪对比如图2所示。

图2 关节1、2位置跟踪

机械臂两关节速度轨迹跟踪对比如图3所示。机械臂轨迹跟踪误差对比如图4所示。

图3 关节1、2速度跟踪对比

图4 关节1、2跟踪误差

从图2和图3的仿真结果可以看出,本文方法能够使系统状态在有限时间内跟踪期望轨迹,且拥有最快的动态响应时间。由图4可以看出,本文方法的位置轨迹误差响应时间在约0.86 s后能够达到预期跟踪效果,而对比算法分别在约1.3 s和1.8 s后方能实现期望跟踪效果,对比结果表明本文算法动态响应特性要优于对比算法。

机械臂关节控制力矩对比结果如图5所示。

图5 关节1、2控制力矩

由图5可以看出,文献[13]中的方法产生了剧烈抖振,文献[18]中的方法使用饱和函数虽然在一定程度上削弱了抖振现象,但这种方法会降低系统的鲁棒性,而本文提出的方法通过引入超螺旋算法,对抖振的抑制效果明显,更具有优势。

图6是自适应参数估计值收敛过程,通过死区技术调整的自适应律最终使系统参数估计值收敛到了稳定值。图7为滑模变量s的响应曲线,s收敛到平衡状态的时间为0.315 s,此时e≠0,根据所选参数,误差e在0.863 s后收敛到平衡点。

图6 参数自适应估计变化曲线

图7 状态响应曲线

为了更加直观地体现控制器性能,引入以下两种性能指标比较控制系统动态响应特性[24]。

指标①:误差绝对值积分指标。

(30)

指标②:误差绝对值与时间乘积积分指标。

(31)

表3给出了各控制方法下的性能指标。

表3 性能指标对比

从表3中的数据可以看出,本文方法具有更小的IIAE和IITAE的值,即具有更高的控制精度。综合以上所有对比仿真分析可知,本文所提出的算法具有更好的控制性能,能够实现快速收敛、高精度轨迹跟踪,且具备全局收敛性,对抖振有着良好的抑制效果。

4 结束语

提出了一种自适应反演超螺旋全局快速终端滑模控制策略,实现了机械臂系统在集总扰动上界未知情况下的轨迹跟踪控制问题。控制器是结合反演法和Lyapunov函数推导的,保证了系统的稳定性;自适应技术对系统集总扰动的上界进行实时估计,驱使系统状态在有限时间内收敛到平衡点;切换控制中引入的超螺旋算法使控制器产生了连续平滑的驱动力矩,避免了抖振问题。对比仿真表明,所提控制策略具有更快的收敛速度,更高的控制精度以及全局收敛性。此外,该控制算法仅需位置及速度的测量信息,无需扰动上界的先验知识,因此更具实用性。