利用Matlab软件对一维薛定谔方程的动力学可视化教学*

刘 通 胡蓉蓉

(南京邮电大学理学院 江苏 南京 210003)

1 引言

薛定谔方程是描述量子力学中粒子行为的基本方程之一,它描述了粒子的波函数随时间的演化[1].尽管薛定谔方程本身并没有直接给出粒子的位置或动量,但它提供了一个重要的数学框架,通过求解薛定谔方程可以获得波函数,从而获得系统在时间和空间上的性质.

通过可视化方法,我们可以更直观地了解薛定谔方程的含义和解法.对于简单的系统,如自由粒子、无限深势阱或简谐振子,薛定谔方程的解可以用数学上的函数表示[2].然而,对于更复杂的系统,薛定谔方程通常需要通过数值方法来求解.薛定谔方程的可视化研究经历了从理论推导到数值计算再到计算机可视化的演进过程.随着科学技术的不断进步,薛定谔方程的可视化方法也变得越来越多样化和精确化,为研究人员提供了更好的工具和视觉化手段来探索和理解量子世界.

本文结合一维方势垒模型的具体示例[3],利用Matlab仿真软件提供的强大模拟功能,旨在通过图像式直观教学拓展课程的深度和广度,并攻克知识难点和课程难点,以获得正确的量子力学图景.通过仿真软件的支持,我们可以更加直观地观察和分析一维方势垒模型的量子化行为[4].其次,通过Matlab仿真软件,我们可以更新方势垒模型的表达方式.学生可以灵活调整势垒高度、宽度和形状等参数,并实时观察波函数的变化.这种交互式的学习方式有助于学生深入理解势垒对波函数的影响,加深对量子力学基本概念的理解.

在教学实践中,基于Matlab仿真软件的图像式直观教学可以激发学生的学习兴趣和积极参与.通过展示具体的数值结果和动态演示,学生可以更好地理解量子力学的概念和原理,并将其应用于实际问题的求解.此外,基于问题驱动的混合式课堂教学实践可以进一步提升学生的学习参与度.通过提出问题、讨论分析和引导学生自主探索,可以培养学生的批判性思维和解决问题的能力.Matlab仿真软件的使用为学生提供了实践的机会,使他们能够应用所学的知识解决实际问题.

2 一维方势垒

在一维方势垒模型中,势能函数为

(1)

这是一个粒子入射的模型,粒子从无限远处入射来,遇到一个势垒会发生透射或者反射,所以粒子的动量在右半空间处为+x方向,在左半空间既有-x方向,又有+x方向.粒子在两边空间的运动方程均为

(2)

所以波函数的解的形式均为

Ψ(x)=Aeik1x+Be-ik1x

(3)

其中

考虑到粒子动量的取向问题,可以直接给出波函数在两侧的解为

(4)

在势垒区域-a

(5)

可以得到波函数的解为

Ψ(x)=Eek2x+Fe-k2x

(6)

其中

带入边界条件得

(7)

带入k1、k2可得

(8)

可以发现:R+T=1符合预期.

当E>V0时量子情况下运动方程为

(9)

则波函数的解为

Ψ(x)=Eeik2x+Fe-ik2x

(10)

其中

接下来带入关系式sh(ik2a)=sin(ik2a),可得

(11)

3 Crank-Nicolson算法解一维薛定谔方程

3.1 Crank-Nicolson算法

Crank-Nicolson差分格式是由John Crank和Phyllis Nicolson于1947年提出的.他们发展了这种差分格式作为数值方法,用于解决抛物型偏微分方程.Crank-Nicolson差分格式结合了前向差分和后向差分两种方法,以提供更好的数值稳定性和精确性.这种差分格式在数值计算和科学工程领域中得到了广泛应用.

该算法基于隐式差分格式,使用了当前时间步和下一个时间步的平均值来估计方程的导数.Crank-Nicolson算法的优点是它是一个无条件稳定的算法,可以处理一些数值上的稳定性问题,并且在精度方面通常比显式差分方法更好.它适用于各种线性和非线性偏微分方程.

3.2 Crank-Nicolson算法解一维薛定谔方程

在量子力学的许多理论或数值计算中,选用原子单位会更方便.因此在原子单位制下,薛定谔方程为

(12)

传播子作用于波函数为

ψ(x,t+Δt)=exp(-iHΔt)ψ

(13)

用Crank-Nicolson得到的结果是

(14)

其中ψn是时刻tn的波函数列矢量(已知),ψn+1为时刻tn+1的波函数列矢量(未知),Hn是tn时刻的哈密顿矩阵.

但事实上,还可以继续减少计算量,若近似认为Hn+1≈Hn,将上式整理后得

(15)

解这个方程,再减去ψn即可.对于等间距坐标网格x1,x2,…,可以用差分法计算二阶导数,表示为矩阵

(16)

现在若要求基态,我们可以用虚数时间,即t′=

-it,使用虚时间后,两公式变为

(17)

4 Matlab仿真结果与分析

我们采用Matlab来进行仿真,结果中可以发现方势垒的含时概率图描述了在一维有限深方势垒中[6],粒子的概率随时间和空间的变化.横轴表示空间位置,纵轴表示波函数,曲线表示粒子的概率或波函数的模值.通过在二维坐标系上绘制概率密度随空间和时间的变化,可以观察到粒子在不同位置和时间的出现概率.

图1～5依次展示出t=2 s,t=6 s,t=10 s,t=14 s,t=18 s时的波函数的绝对值.

图1 当t=2 s时波函数的绝对值

图3 当t=10 s时波函数的绝对值

图4 当t=14 s时波函数的绝对值

图5 当t=18 s时波函数的绝对值

在可视化方势垒的过程中,我们可以观察到入射粒子的一部分以反射的方式返回原来的区域,从而形成反射现象.另一部分粒子则能够穿越方势垒,从势垒的一侧透射到另一侧[7].在可视化方势垒的过程中,我们还可以观察到入射粒子的一部分即使能量低于势垒的高度,仍然以某种概率穿过势垒并出现在势垒的另一侧[8].

方势垒可视化可以通过图形方式将抽象的概念转化为直观的形象,使学生能够更加清晰地理解粒子之间相互作用的过程和特征.这种直观理解有助于学生建立起对概念的准确认知,提高学习效果.学生可以深入了解相互作用的本质和机制.他们可以观察粒子在方势垒中的运动.这种深化的认识可以加深学生对科学原理的理解,并激发他们对科学研究的兴趣.

方势垒可视化呈现科学现象的过程和变化能够激发学生的好奇心和兴趣.通过观察和探索方势垒的变化,学生可以体验到科学的魅力,激发他们对进一步学习和探索的动力.

方势垒可视化在教学中能够提供直观的学习工具,帮助学生更好地理解和应用科学概念,培养问题解决能力,激发学生的兴趣和热情.这种可视化手段在科学教育中具有广泛的应用前景,并有助于提高学生的科学素养.

5 总结

本文利用Matlab仿真软件的强大模拟功能,结合一维方势垒模型的具体示例,通过图像式直观教学拓展课程深度和广度,攻克知识难点和课程难点,从而获得正确的量子力学图景.基于问题驱动的混合式课堂教学实践将进一步提升学生的学习参与度,实现多元化教学目标.