具分数阶Laplace算子的非线性椭圆方程解的存在性

林巧儿, 原子霞

(电子科技大学 数学科学学院, 四川 成都 611731)

0 引言

本文研究具分数阶Laplace算子的非线性椭圆方程

(1)

当函数V(x)和f(x)均为0并且s=2时,方程(1)就变成了著名的Lane-Emden方程

-Δu=u|u|p-1,

(2)

后来,学者们开始研究在方程(2)右端加上一个线性项V(x)u的方程

-Δu=u|u|p-1+V(x)u.

(3)

除此之外,学者们也研究了在方程(2)右端加上一个非线性项f(x)的Lane-Emden方程,即

-Δu=u|u|p-1+f(x).

(4)

分析上述文献,不难看出线性项V(x)u和非线性项f(x)对方程(2)的解的存在性具有一定的影响,并且这些方程被广泛应用于物理领域中,可见研究在方程(2)右端添加了线性项V(x)u和非线性项f(x)解的存在性问题具有一定的理论和实际意义. 此外,由于具分数阶Laplace算子的偏微分方程比具整数阶Laplace算子的偏微分方程解释实际问题更为准确.因此,本文将在N空间上研究方程(1)的解的存在性.

实际上,当函数V(x)和f(x)均为0时,方程(1)就变为了

(-Δ)su=u|u|p-1,x∈N.

(5)

下面我们讨论当函数V(x)≥0,f(x)>0时,方程(1)解的存在性.为了方便后续证明,我们考虑方程(1)的积分等价方程

(6)

首先,我们将上式右端分解为以下三项

现在假设u(x)是方程(1)的一个解,我们定义伸缩变换

(7)

本文的主要结构安排如下:第1节解释文中出现的一些符号;第2节介绍一些定义以及本文的主要定理;第3节给出后续证明所需的几个重要引理;第4节证明方程(1)解的存在唯一性,并且证明了它是分布意义下的弱解. 进一步地,我们还证明了解与函数V(x)和f(x)相关的性质.

下文,我们用C表示与R,x无关的常数,它可以逐行变化.

1 符号与注释

(5)C(N,s):与N和s有关的常数.

(6)Δ:Laplace算子.

(7)∇:梯度.

(8)Hk:Banach空间

(9)‖·‖Hk:Hk空间中的范数.

2 主要定理

则称u是方程(1)在N上的弱解.

因此,通过计算可知方程(1)的积分等价方程为

(3)特别地,当

时,方程(1)在(0,0,0)点处数值解的近似值为1.2870e+194.

定理2(1)若函数V(x)≥0,f(x)>0(或V(x)≥0,f(x)<0)对x∈N一致成立,则解u(x)是正的(或u(x)是负的).

(2)若函数f(x)是径向的(或f(x)不是径向的),V(x)是径向的,则解u(x)是径向的(或u(x)不是径向的).

(3)在(1)成立的前提条件下,若函数f(x)是径向的但V(x)不是径向的,则解u(x)不是径向的.

3 主要引理

本节介绍并证明一些引理,这些引理对于后面证明主要定理至关重要.

引理1[17]设0<α

引理3设X是一个范数为‖·‖X的Banach空间,T:X→X是一个连续线性映射,‖T‖≤τ<1,ρ>0,B:X→X是一个映射且满足B(0)=0和

(8)

证明定义映射Φ:X→X,且Φ(x)=y+T(x)+B(x).若

则有

这就证明了Φ(Aε)⊂Aε.此外,∀x,z∈Aε,有

引理4设0

‖F(g)‖Hd≤C‖g‖Hd+s

(9)

成立. 此外,若g∈Hd+s,则∇F(g)∈Hd+s-1且F(g)∈C1(N-{0}).

证明利用算子F的定义,在引理1中取α=N-(d+s),β=s,则有

(10)

其中

再利用引理1就可以得到

(11)

其中对于每一个固定的x都有

我们利用引理1可得

4 主要结果

定理1的证明:(1)利用Mazur不等式可得

(12)

(13)

(14)

并且有

因此,u是分布意义下的弱解. 定理1得证.

(3)由于方程(1)存在唯一解,该解可以看作是下列Picard序列的极限:

u1=F(f),

um+1=F(f)+B(um)+TV(um),m∈N.

不妨考虑N=3的情况. 在方程(1)中取s=1,q=2,V(x)=0,

定理2的证明:(1)我们可以将解u看作是下列Picard序列的极限:

u1=F(f),

um+1=F(f)+B(um)+TV(um),m∈N.

由算子F的定义可知,当函数f(x)>0对x∈N一致成立时,有F(f)>0,于是u1=F(f)>0.设um>0,由数学归纳法可知,只要函数V(x)≥0对于x∈N一致成立,就有um+1=F(f)+B(um)+TV(um)>0.由于解u是序列{um}的极限,即又因为F(f)>0,于是u=F(f)+B(u)+TV(u)>0.同理可证解u为负的情况.

(3)不妨假设函数V(x)≥0,f(x)>0对x∈N一致成立,即u>0.假设u是径向的,由于f(x)是径向的,所以TV(u)=u-F(f)-B(u)是径向的,根据算子TV的定义可知Vu是径向函数. 由于u>0且是径向的,于是函数V(x)是径向的,这与假设V(x)不是径向的矛盾,所以解u不是径向的. 定理2得证.