区间值Picture模糊参数集结算子及其应用

李明　刘雅雄　周毅

摘要：针对决策信息为区间值Picture模糊数的多属性群决策问题，在充分考虑属性间相互关联的情况下，将区间值Picture模糊数与广义Heronian均值函数和Heronian平均算子结合，定义了区间值Picture模糊参数广义加权Heronian平均算子，并研究了其性质。该信息集结算子能够反映信息的完整性、属性相关性和决策者的风险偏好。然后，提出了一种基于区间值Picture模糊参数广义加权Heronian平均算子的多属性群决策模型。最后，运用本文提出的群決策模型对信息系统进行了最优选择，并与其它模型进行比较，说明所提模型的有效性和优越性。

关键词：多属性群决策；模糊性；区间值Picture模糊数；集结算子；广义Heronian均值函数

中图分类号：C934文献标志码：A文献标识码

Interval－valued picture fuzzy parameter aggregation operator and its application

LI  Ming1，LIU  Yaxiong1，ZHOU  Yi2

（1 School of Business， North Minzu University，Yinchuan， Ningxia 750021，China;

2 Tongxin Yuhai Middle School English Teaching and

Research Group，Wuzhong， Ningxia 751300， China）

Abstract：  Aiming at the multi－attribute group decision－making problem in which the decision information is interval－valued picture fuzzy numbers， with full consideration of the correlation between the attributes， the interval－valued picture fuzzy numbers are combined with the generalized Heronian mean function and the Heronian average operator， we define the interval－valued picture fuzzy parameter generalized weighted Heronian average operator， and its properties are studied. The information aggregation operator is able to reflect the completeness of the information， attribute relevance， and the risk preference of decision makers. Then， a multi－attribute group decision－making model based on the interval－valued picture fuzzy parameter generalized weighted Heronian average operator is proposed. Finally， the group decision－making model proposed in this paper is used to select the optimal information system， and compares with another model to illustrate the effectiveness and advantages of the proposed model.

Key words： the multi－attribute group decision making;fuzziness;interval－valued picture fuzzy number;aggregation operator;generalized Heronian mean function

在日常生活中，多属性群体决策在医疗［1］、工程［2］、地质（地震保险）［3］、行政和治理［4］、人力资源［5］等方面发挥着非常重要的作用。而多源信息的集成是多属性群决策中的一个核心问题，即根据备选方案的不同属性值，如何通过信息集结的方法选出最佳方案。在上世纪六十年代以前，决策通常是以清晰的数据集为基础进行建模，其产生的结果往往与实际不确定环境所面临的问题相差甚远，缺乏对实际环境的适应性。随着时间的推移和决策系统复杂性的不断变化，决策者越来难管理自身知识系统中存在的漏洞，导致传统的多属性群决策方法无法区分出不确定环境中的最佳方案。为此，Zadeh［6］于1965年提出了模糊集的概念，其被广泛用于描述模糊和不确定环境中的决策信息。

然而，由于模糊集中只定义了隶属度，对于一些复杂的决策问题仍然无法描述。随后，Atanassov［7］将其推广得到了直觉模糊集，并赋予了每个元素1个隶属度和1个非隶属度，可以更详细地描述和表征模糊决策信息的本质。但在实际决策过程中，决策者通常不仅仅只持有“支持”和“反对”两种态度。除了表示“一致性”和“不一致性”之外，传统的直觉模糊集却没有考虑其它可能性，例如拒绝。为了克服这一不足，Cuong［8］于2014年将直觉模糊集推广，提出了Picture模糊集的概念，其优点是使用3个隶属函数来描述决策者的行为，包括正隶属度、中性隶属度和负隶属度。例如，在投票活动中，选民可以分为 “支持”、“弃权”、“反对”、“拒绝投票”，这符合实际生活中的情况。因此，Picture模糊集引起了该领域许多研究学者的关注。Xian等［9］考虑到Muirhead均值算子在捕捉输入参数之间交互关系方面存在的优势，将Muirhead均值算子扩展到Picture模糊语言环境中，提出了Picture模糊语言加权Muirhead平均算子及其对偶形式；文献［10］定义了基于Picture立方模糊信息的加权集结算子；Luo等［11］给出了Picture模糊加权几何集结算子、Picture模糊有序加权几何集结算子和Picture模糊混合几何集结算子，并研究了它们的相关性质；文献［12］将Picture模糊语言信息与广义加权Heronian平均算子结合，提出了多值Picture模糊语言广义加权Heronian平均算子和多值Picture模糊语言广义加权几何Heronian平均算子；Ates等［13］基于Picture模糊数和Bonferroni平均算子，定义了新的Picture模糊集结算子，并将其应用在多准则决策中；文献［14］基于Frank t－范数提出了几种Picture 模糊Frank信息集结算子；Li等［15］基于Hamacher运算法则、归一化Hamming距离和Picture模糊数的相似性测度，定义了2种新的Picture 模糊信息集结算子；文献［16］提出一系列Picture模糊交互Heronian平均集结算子。

事实上，在现实生活中，很难用清晰的数字来描述Picture模糊集的正隶属度、中性隶属度和负隶属度。为此，Cuong［8］通过以单位区间闭子集的形式表示正隶属度、中性隶属度和负隶属度，将Picture模糊集进行扩展，定义了区间值Picture模糊集理论，这为决策者提供了更多的决策空间，同时也受到个别学者的重视，并将其应用于不同领域。Mahmood等［17］提出了几种区间值Picture模糊Frank平均集結算子；文献［18］给出了1种具有熵序诱导变量的广义区间值Picture模糊语言诱导混合集结算子；Kamaci等［19］定义了区间值Picture犹豫模糊信息的动态集结算子和Einstein算子，并将其应用在多阶段决策中；文献［20］提出了区间值Picture模糊不确定语言平均集结算子和区间值Picture模糊不确定语言几何平均集结算子；基于区间值Picture不确定语言的运算法则，Garg［21］定义了几种加权和有序加权广义Hamacher信息集结算子。

上述关于区间值Picture模糊信息集结算子基本都是假设属性之间是相互独立的，而在实际决策中，属性之间往往是相互关联的。另外，据笔者查阅相关文献发现，有关区间值Picture模糊信息集结算子的研究目前还不是很多。因此，研究基于区间值Picture模糊环境中属性之间相关性的信息集结算子在多属性群决策中具有重要的理论和现实意义。为此，在本文中，将区间值Picture模糊集与广义Heronian均值函数和Heronian平均算子结合，定义了区间Picture模糊参数广义加权Heronian平均算子，它兼有Heronian均值和广义平均的优点，能够反映决策支持系统的信息完整性、属性相关性和决策者的风险偏好。

1 资料与方法

本小节简要地回顾与本文研究相关的一些基本概念、基本运算法则、基本性质等。

由以上结果可知，尽管变量ω的取值发生变化（只考虑0<ω≤14范围内）会影响备选方案的最终排序结果，但最佳方案仍然是Γ3。事实上，当ω的取值越来越小时，信息集结结果能够反映属性之间的交互作用会越来越弱，即，ω的变化会导致信息集结结果产生较小的差异，从而使备选方案的排序结果趋于稳定；当ω的取值越来越大时，信息集结结果能够反映属性之间的交互作用会越来越强，即，ω的变化会导致信息集结结果产生较大的差异，从而使备选方案的排序结果有较大的波动。因此，在实际决策问题中，决策者可以根据实际问题背景的需要选择合适的变量ω，但在决策的过程中不建议选择太大或太小的变量ω。

2.3 对比分析

基于2.1的算例，将本文所提的群决策模型与文献［17］所提模型进行对比分析，以此来说明本文所提模型的优越性。

利用文献［17］所提的群决策模型和本文所提的群决策模型对算例进行计算后所得的备选方案排序结果如表4所示：

由表4可知，文献［17］所提的群决策模型和本文提出的群决策模型（ω=1）获得的备选方案最终排序都是Γ3Γ4Γ2Γ1，这进一步证实了本文所提的群决策模型的有效性。但是，对表4所列的排序结果，作进一步的分析可得，虽然2种模型得到的最佳方案都是Γ3，但是本文所提出群决策模型可以随着变量ω的变化而使得备选方案的最终排序发生微小的变化，其主要原因是，本文所提出的群决策模型考虑了属性之间的相互关系，且包含了Heronian平均的特性，保证了决策信息的基本完整性。为了说明这一特性，以方案Γ1的属性Α1为例，分别利用本文所提决策模型和文献［17］所提决策模型中的信息集结算子对决策者给出的信息进行集结，以此来验证集结结果与原始信息之间的差异性，具体计算结果如表5所示：

区间值Picture模糊数之间的差异越小，说明利用信息集结算子所得集结结果与原始信息之间的偏差就越小，信息的完整性就越能得到保证。表5显示，本文提出信息集结算子得到的集结结果与原始信息之间的差异相比于文献［17］明显要小，这说明本文所提的信息集结算子在集结原始偏好信息的过程中，造成信息丢失或缺失较少，尽可能地保证了决策信息的完整性。

另一方面，当属性之间存在互补、冗余、偏好等关系时，本文提出的区间值Picture模糊两参数广义加权Heronian平均算子具有更多优势，它可以通过调整相关关系变量ω来满足实际决策问题背景的需要，使群决策模型更灵活。同时，当变量ω的值发生变化时，备选方案的得分函数值和精度函数值也相差较大，这可以有效地克服决策者带来的主观性，保证了决策结果的稳定性。最后，就区间值Picture模糊两参数广义加权Heronian平均算子的运算而言，它相对简单且易于操作。

总之，上述分析结果表明了所提出的群决策模型具有灵活性、稳定性和合理性，足以处理实际中存在的模糊多属性群决策问题。然而，这只是1个算例研究，上述结论只能说明本文提出的群决策模型在这种特定情况下是相对灵活的、稳定的、合理的，但这并不意味着该模型在其它情况下就优于其它模型。事实上，每种模型都有其适用的特定应用环境。

3 结论

在实际的多属性群决策问题中，决策信息往往以不确定的区间数形式给出，传统的区间直觉模糊数是无法考虑除“一致”和“不一致”之外的其它信息。为此，本文基于区间值Picture模糊数的性质和计算规则，结合广义Heronian均值函数和Heronian平均算子，在充分考虑决策属性相互关联的基础上，提出了模糊决策环境中的区间值Picture模糊参数广义加权Heronian平均算子，研究了其具备的基本性质，设计了群决策模型的详细过程和仿真实例。算例的结果表明了该算子的有效性和正确性。与传统模型相比，一方面，该方法中的区间值Picture模糊参数广义加权Heronian平均算子含有1个灵活变量，决策者可以根据输入数据和主观偏好调整该变量，以获得实际问题背景需要的备选方案的排序顺序，这使得该模型更具有灵活性；另一方面，该模型充分考虑了决策属性之间的相互关系，使决策分析更接近决策问题的实际情况，决策结果更为合理，这为解决模糊多属性群决策问题提供了新的思路。

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（責任编辑：编辑郭芸婕）

收稿日期：2022-10-23

基金项目：宁夏自然科学基金项目（2020AAC03242），宁夏高等学校科学研究项目（NGY2020056）

作者简介：李明（1981—），男，讲师，从事模糊决策理论与方法的研究，e－mail： liming200451@163.com。