基于APOS理论的“锐角三角函数”概念教学探索

朱 琛

(杭州第十中学,浙江 杭州 310009)

数学概念是数学的基石,数学概念的学习是数学学习的核心内容,也是形成学生数学思维的基础.一般而言,概念教学有两种基本形式,即概念同化与概念形成,其中概念形成更能体现数学概念的来龙去脉,彰显数学概念形成的过程.但在教学中,还存在以结论的熟知代替数学概念形成过程的感知、以批量练习代替深层思考的现象,这也导致学生对概念的理解浮于表面.

本文以“锐角三角函数”这一初中数学的重要内容为例.由于其兼具几何直观和代数运算的特性,本身就是初中数学教学的难点.在学习中,不少学生仅把记忆特殊角度的三角函数值作为重点,忽视了其函数本质,在认知上将锐角三角函数的几何直观与代数运算这2条特性加以割裂.这样浅表的理解,也会导致学生在高中学习任意三角函数时出现锐角三角函数负迁移的现象[1].因此,如何组织锐角三角函数的教学才能深化学生的理解并减少负迁移?如何设计数学问题才能使课堂更促进学生的思维生成、表达与输出?笔者在对浙教版《义务教育教科书·数学》(九年级下册)“锐角三角函数”单元分析的基础上,立足APOS理论,讨论如何开展锐角三角函数概念的教学.

1 内容分析

1.1 立足几何直观,分析教学起点

锐角三角函数最突出的特点是它的概念产生和应用有着鲜明的几何意义,本节是一个能够有效培养几何直观素养的章节.根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标》)的要求,“锐角三角函数”属于第4学段中“图形的相似”模块,以直角三角形、相似三角形作为探索新概念的重要工具.锐角三角函数是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上,对直角三角形的进一步深入和拓展.锐角三角函数的出现,使得我们对于边角关系的刻画从“大边对大角、小边对小角的定性刻画”走向“定量刻画”.

但受限于初中学生的认知水平和实践经历,除了含30°,45°角的特殊直角三角形外,学生对于如何定量描述边角关系还是模糊不清.在初中阶段,很多学生仍然是按照特定的步骤来解直角三角形.因此,当学生能够解这些直角三角形后,就误认为自己已经掌握锐角三角函数的概念.

1.2 立足函数视角,分析教学重点

锐角三角函数概念的建立是对函数概念理解的一种升华.在直角三角形中,随着锐角角度的变化,边长比值也随之变化,这两个变量呈现出的依赖关系,反映了函数中的对应思想,这也是高中进一步学习三角函数的基础(如图1).本节是一个能够有效培养模型观念的教学章节.

图1

在学习函数时,学生对求解函数表达式十分熟悉,但对概念本身尤其需要从对应关系入手加以理解,这对学生的认知提出了较高的要求.在初中阶段理解锐角三角函数时,若没有跳出直角三角形以及3个特殊角(30°,45°,60°)的限制,则两个学段衔接就会出现困难.因此,一方面,要强调相似三角形中三角函数值的不变性;另一方面,要在概念给出前指明我们讨论的是角度与边长比值之间的关系,以此刻画这两个变量之间的关系,从而帮助学生理解锐角三角函数的函数本质.

1.3 立足概念理解,分析教学难点

首先,区别于三角形这样从现实对象或关系直接抽象而成的概念,锐角三角函数属于纯数学抽象物,是抽象思维的产物,没有客观事实与之对应[3].

其次,锐角三角函数定义的形式以及符号的表示方法都没有可类比的内容.例如,当学生在学习二元一次方程、一元一次不等式时,已经学习了一元一次方程,学生能够带着先行知识来解码信息.但是,本节课中的概念对学生而言没有前概念可以辅助,难以进行自主建构、类比学习.

最后,《课标》要求“探索并认识锐角三角函数”,并认为“探索”是指:在特定的问题情境中,独立或合作参与教学活动,理解或提出数学问题,寻求解决问题的思路,获得确定的结论[4].由此可知,学生在理解锐角三角函数的概念时,应知其然,且知其所以然.“关系性理解”注重的是数学知识获得的过程性及其结构性[5].因此,在此课的概念教学中,教师应注重概念的关系性理解,而非工具性理解.

1.4 立足符号意识,分析教学盲点

三角函数属于组合数学符号,是表示复杂的数学概念的符号,由多个基本符号组合而成,相当于语言系统里的“词”或“短语”[6].以正弦函数sin∠A为例,区别于y=2x+3等表达式,sin∠A是由“sin”与“∠A”这两个数学符号构成.此外,锐角三角函数的符号表达式具有两重性:从结果看是静态的、确定的;但是,其又表示求出这个值的过程.在教学中,一定要将“两重性”揭示出来,只有这样,才能真正让学生理解三角函数的意义.

九年级学生的符号意识应达到结构普适阶段,表现为数学符号之间不同形式的转换.数学符号意识的更高水平必然是模型对现实世界的表达——高中阶段三角函数学习后应达到的水平[7].因此,两个学段要想能够顺利衔接,在本节课的学习中,学生的符号意识就需要达到结构普适阶段.

2 用APOS理论对“锐角三角函数”的再分析

美国学者杜宾斯基等人对学生学习概念有深入的研究,提出了基于建构主义学说的APOS理论.该理论指出,学生习得数学概念有4个阶段:操作(Action)、过程(Process)、对象(Object)、图式(Scheme).

第三阶段:对象阶段,即学生通过前面的抽象认识到了概念本质,并将所学概念上升为一个独立的对象,以便在后续学习中以此为对象去进行新的活动.具体地,在sin 30°+2cos 30°中,sin 30°与cos 30°均作为独立对象出现进行加法运算.在此阶段,仅仅记住数学符号如何书写是不够的,不能忽视对数学符号的解读,以此突破教学盲点,并深化概念.

第四阶段:图式阶段,即经过长期学习活动的完善,使得概念成为一个与其他概念、规则、图形等相互联系的有机整体,并以一个综合的心理图式存在于头脑中.这一心理图式含有具体的函数实例、抽象的过程、完整的定义,乃至与其他概念的区别和联系[8],即在此课中需要围绕核心问题,进行变式练习,落实概念的关系性理解,旨在解决教学难点,并整合概念.

3 教学过程设计

3.1 操作阶段

在操作阶段,学生要能明确研究的数学对象,充分感知数学概念建立的必要性.在此阶段,学生往往只能形成非结构化、模糊化的概念,对概念的认识仅是浅表性的,难以将概念抽象出来.在教学中,教师需要设计一系列外显的数学探究活动去凸显概念的内隐本质,并以此培养学生用“数学的眼光观察现实世界”的意识与能力.

问题1 在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°.

追问2 若∠A=60°或∠A=45°,它们各自的对边与斜边的比值是否也是定值?

画板演示 作任意锐角∠A,点B在边上滑动,当∠A的值确定后,其对边与斜边的边长比值也随之确定.

设计意图 明确本节课研究的问题——直角三角形中锐角度数与边长比值之间的关系.当锐角∠A为定值时,在几何画板软件的动态演示中,学生可以直观感知锐角与边长比值的对应关系.具体而言:当∠A取值确定后,点B在边上滑动不会改变边长比值.实际上,当点B滑动时,虽然三角形的大小改变了,但三角形的形状没有改变.

3.2 过程阶段

“过程阶段”是对“操作阶段”感性认知的升华.在过程阶段,让学生明白仅以“形”来判断对应关系是模糊的、不准确的,只有通过证明才能让判断更具严谨性和科学性.在本阶段,学生通过教师的指导进行自主探索,并经历数学概念的形成过程,而后抽象出概念的本质,以此培养学生用“数学的思维思考现实世界”的能力.

问题2 请证明:在Rt△ABC中,∠B=90°,当锐角∠A的值确定后,其对边与斜边的边长比值也确定.

设计意图 作为一个数学命题,仅凭几何画板软件演示无法证明它的合理性,我们需尝试进行几何论证.教师可引导学生探究发现:证明线段比值应放到相似三角形中去,利用相似三角形的性质进行推理论证“当∠A确定时,边长之比为定值”.培养学生用观察猜想、推理论证的思路来处理这类问题,同时提高学生演绎推理的能力.

问题3 在Rt△ABC中,∠B=90°,当锐角∠A的值变化时,其对边与斜边的边长比值是否也随之变化?

画板演示 继续操作几何画板软件,取斜边长度为单位1,讨论当∠A取值变化时,边长比值的情况.

设计意图 引导学生识别这个变化过程中的两个变量,即∠A度数和边长比值的变化规律.对于∠A的每一个确定的值,边长比值都有唯一确定的值与之对应.而后,回顾函数的定义,剖析函数定义中的要点,并与几何画板软件中的发现做对比,这也使学生更容易发现:角度与线段比值的对应关系其实是建立在函数的一般定义的基础上.教师进而引导学生明确锐角度数为自变量,线段之比为函数值;同时认识到这类对应关系不能用类似一次函数或二次函数这样的解析式加以表示,需要引进一种新的函数.

3.3 对象阶段

从计算特殊值到几何画板软件演示,再到证明,形成了完整的概念构造过程.在得到正弦概念后,及时追问更深入的问题,即当∠A确定后,其邻边比斜边、对边比邻边是否也是一个定值,从而类比得出余弦和正切的概念,进而给出锐角三角函数概念,以此培养学生用“数学的语言表达现实世界”的能力.

正因如此,这一阶段还需要帮助学生掌握锐角三角函数的表示方法.例如,正确书写sin∠ABC,tan∠A,cos∠1,sin∠α,tanA,sinα,并与sinABC,cos 1等错误书写的比较中强化对数学表达的理解.

3.4 图式阶段

让思考走向深入,让数学思维得以发展,需要基于核心问题的问题链引领[9].在本阶段,设置一串起点低、由易到难的问题,为学生提供数学学习的骨架.

问题4 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin∠A,cos∠A,tan∠A.

追问1 将已知AB=10,BC=6改为已知AB∶BC=5∶3,求sin∠A,cos∠A,tan∠A.

追问3 将∠C=90°删去,求sin∠A,cos∠A,tan∠A.

设计意图 问题4起点较低,不同层次的学生都能“够得着”,使得数学思考变得可行.追问1将已知两条线段长度改为已知两条线段的比值,旨在落实锐角三角函数与边长比值之间的关系.追问2将条件变为已知正弦,求余弦与正切.比较问题4与追问1和追问2,教师引导学生发现:在直角三角形中,如果其中一锐角的锐角三角函数值确定,则意味着直角三角形的形状已经确定,再添加一条边长,即可将其大小也确定.这也是2019年浙江省杭州市数学中考的题型之一.

追问4 不改变原题条件,求sin∠B,cos∠B,tan∠B,并探究互余两角的三角函数间的关系.

设计意图 点拨学生根据锐角三角函数的定义,挖掘互余两角的三角函数间的数量关系.此外,也可让学有余力的学生根据直角三角形的三边关系,推导得出函数值的取值范围.

4 结语

正如前文所述,锐角三角函数具有几何直观与代数抽象的二重性,具有丰富的教学意义.以APOS为理论指导开展锐角三角函数的概念教学,让学生亲历概念的发生、发展过程,并且将概念的定义、表示方法、分类等融合到知识架构中,这对学生的概念理解是有帮助的.