试论《事林广记》与宋元古典管理数学的两个问题

吕变庭

《事林广记》的作者陈元靓有可能生活在南宋后期，也有可能“以遗民身份入元”①王珂：《陈元靓家世生平新证》，《图书馆理论与实践》2011 年第3 期，第60 页。。据考证，《事林广记》中的古典数学问题主要分为两类：算术与数术，前者为《九章算术》系统，后者则为《周易》象数系统。以前学界较少关注《事林广记》中的数学问题。相较于《事林广记》中的饮食、乐律、医学、寓言、绘画、指南针、酿造、养生等热门领域而言，迄今尚未见有专论《事林广记》数学问题的研究成果，人们之所以忽视《事林广记》中的数学问题，不是说它所记载的数学内容不重要，也不是说它除了重复前人的东西，几乎没有增加任何新的思想元素，因而不值得去做研究，而是说它仅仅是一部“日用百科全书类型的中国古代民间类书”②盛博：《宋元古地图集成》上，星球地图出版社，2008，第7 页。，这种文献性质决定了它的数学内容绝少抽象性，因为它的突出特色就是实用。事实上，“日用之繁”③华罗庚：《数学的用场与发展》，《现代科学技术简介》，科学出版社，1978，第219 页。恰恰是数学这门学科的重要特征，现在如此，古代亦复如此。

一、初等算法与胥吏阶层的数学管理

中国古代实用数学的发展与秦汉之后胥吏阶层的出现有很大关系。“汉武帝元狩六年（前117 年），在丞相府的382 名官吏中，仅属吏就有162 名，占官吏总数的42%。”④（日）大庭修：《汉简研究》，广西师范大学出版社，2001，第210 页。这些胥吏都被纳入国家官职序列，其所享受的禄秩多少也不等。就他们的职责来说，主要从事日常烦琐的事务性工作，诸如乡里治安、赋税征收、户籍管理以及公文的抄写、传送等。

首先，《事林广记》载有两套算术口诀，即“九九算法”和“累算数法”。“九九算法”早在先秦时期就出现了，《管子·轻重戊》云：“虙戏作，造六法（峜）以迎阴阳，作九九之数以合天道，而天下化之。”⑤管仲：《轻重戊》，岳麓书社，1993，第1450 页。“九九之数”尽管是一种“薄能”⑥（汉）刘向：《尊贤》，岳麓书社，1993，第600 页。，但它却是管理国家的一种有力工具。因此，汉人非常重视“九九之术”，如深圳南头红花园发掘的一座汉墓中出土了刻有“九乘”口诀砖⑦深圳博物馆：《深圳考古发现与研究》，文物出版社，1994，第232 页。，扬雄《太玄经》又说：“陈其九九，以为数生。”⑧（汉）扬雄：《玄首》，岳麓书社，1993，第2006 页。此“九九”按照郭金彬先生的解释：“我国古代九九之术，其含义不仅是乘法口诀，它也是我国古代初等数学的代名词，是我国古代初等数学的一种简称。”⑨郭金彬：《〈周髀算经〉与道》，上海科学技术文献出版社，2018，第160 页。

其次，“累算数法”是民间对“九九之术”的另一种记忆方法，如果说“九九之术”适用于筹算，那么，“累算数法”则主要用于珠算。但在“累算数法”里，仅见“三三单九”一句口诀，没有筹算所用数字。因此，明代成书的《盘珠算法》（1573）将《事林广记》中的“累算数法”命名为“初学累算数法”，表明这个口诀是学习珠算的一道门阶。“大九九”虽然比“小九九”多出了27 句口诀，但在珠算实践中，民间算家还是非常认可“大九九”的，因为“大九九”对于珠算来说比“小九九”更加方便①华印椿：《中国珠算史稿》，中国财政经济出版社，1987，第148 页。。考“大九九”至少在南宋杨辉的《乘法通变算宝》卷既已出现，杨辉曾云：

因九九错综而有合数阴阳，凡八十一句，今人求简，止念四十五句，余置不用，算家唯恐无数可致，岂得有数不用者乎？②（宋）杨辉：《杨辉算法·乘除通变算宝》，河南教育出版社，1995，第1060 页。

从内容上看，《事林广记》72 句“大九九”较杨辉所讲的81 句“大九九”，仅仅减少了乘数和被乘数都是1 的17 句口诀，然而却增加了乘数是10 的8 句口诀。一般来说，“大九九”口诀符合乘法的定义，有利于乘法试商，尤其在计算时，无须颠倒乘数与倍乘法的顺序，因此，计算速度较快，且不易出现差错③胡振灿：《珠算技术》，重庆大学出版社，1978，第83 页。。由此可见，珠算在宋元之际已经开始普及，故朱世杰《算学启蒙》讲到了“九归除法”口诀，至元二十四年（1287 年）太史院开设算子教学，这应是元朝唯一的珠算教学机构。

除了“小九九”和“大九九”之外，《事林广记》还载有以下算法：

（一）足数展省，共10 句口诀，是珠算乘法的一种

“足数”是10，故“足数展省”（见图1）的含义是指从1 到9 每个数字的3 倍之得数是多少。于是，10 句口诀是：一加三，二加六，三加九，四加十二，五加十五，六加十八，七加二十一，八加二十四，九加二十七，十与一同。④（宋）陈元靓：《算法类》，中华书局，1999，第201 页。

图1 “足数展省”示意图⑤孙道义：《速成普及珠算》，中国农业出版社，1998，第75 页。

可见，“四加十二”的含义就是指前位进一，本位加五；“七加二十一”的含义就是指前位进2，本位加一。

（二）省数归足，共10 句口诀，是珠算捷法的一种

南宋杨辉在《乘除通变算宝》一书中讲了许多“省数归足”捷法。《事林广记》具体总结为10种， 即“ 一· 七七， 二· 一五四， 三· 二卅一，四·三一八，五·三八五，六·四六二，七·五卅九，八·六一六，九·六九三，十·与一同”⑥（宋）陈元靓：《算法类》，中华书局，1999，第201 页。。杨辉举例云：“银二百三十七铤，每铤二十三两，问共重几何？答曰：五千四百五十一两。术曰：置银铤数为实，如省钱归足七十七法，从尾位损之。”⑦（宋）杨辉：《杨辉算法·乘除通变算宝》，河南教育出版社，1995，第1060 页。对此，华印椿先生用现代数式解释“省钱归足七十七法”为：237×23=237×（100-77）=23700-237×77。

（三）置位加减因折法

此法最早见载于《孙子算经》，后来《夏侯阳算经》作了更明晰的表述：“夫乘除之法先明九九。一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。满六已上，五在上方。六不积算，五不单张。上、下相乘，实居中央。”⑧（唐）韩延：《明乘除法》，辽宁教育出版社，1998，第1 页。《事林广记》则进一步凝练为8 句口诀：“横千竖百，卧十立一，五不单张，六不积聚。因从上因，折从下折，加从下加，减从上减。”⑨（宋）陈元靓：《算法类》，中华书局，1999，第202 页。文中“六不积聚”是说“六”这个数字用不着摆六根筹棍，而是用一横一纵两根筹棍来表示，“五不单张”则是指5 不能单用一根筹表示，这也就是后来算盘中档下有五珠的缘由⑩韩慧：《计算机》，中国建材工业出版社，1998，第4 页。。

二、《事林广记》对细数、斤秤数和斛粟数等度量衡经济的管理

“锱铢必较”这个成语首见于宋人陈文蔚的《陈克斋集》，“锱铢”是古代很小的重量单位，“锱”为四分之一两，“铢”为二十四分之一两。《事林广记》载：“算细数长短之法谓之度，起于忽，忽者，蚕口中初出丝也，若有若无。”①（宋）陈元靓：《算法类》，中华书局，1999，第202 页。具体言之，则十忽成一丝，十丝成一毫，十毫成一厘，十厘成一分，十分成一寸，十寸为一尺，十尺成一丈，四丈为一匹，五丈为一端。②（宋）陈元靓：《算法类》，中华书局，1999，第202 页。

据《文献通考》载：“（南宋）时东南诸路岁起绸三十九万匹，绢二百六十六万匹，绫罗絁三万余匹。”③（元）马端临：《市籴一》，中华书局，1999，第200 页。在这上供的背后是民间丝织业的发达，如南宋叶茵《蚕妇吟》：“九日三眠火力齐，五朝又报四眠时。辛勤一月方能茧，缫得成丝却卖丝。”④（宋）陈起：《叶茵顺适堂吟稿·蚕妇吟》，文渊阁四库全书本。陈旉《农书》曾给湖州一代专以养蚕织绢为生的农户算了一笔经济账，他说：

彼中人唯借桑蚕办生事，十口之家，养蚕十箔，每箔得茧一十二斤，每斤取丝一两三分，每五两丝，织小绢一匹，每匹易米一硕四斗，绢与米价常相侔也，以此岁计，衣食之给极有准的也。⑤（宋）陈旉：《种桑之法篇》，中华书局，1985，第21 页。

像文中的“每斤取丝一两三分”，在日常缫丝的买卖过程中应当是经常遇到的问题。因此，南宋秦九韶《数书九章》、杨辉《乘除通变本末》及元代《丁巨算法》都载有不少涉及丝绢斤两铢的换算题，即反映了这种民间丝绢交易的生活现实。除了“算细数长短之法”，还有“斤秤数轻重之法”。《事林广记》释：“斤秤数轻重之法谓之衡，起于黍，黍者轻者末也。”⑥（宋）陈元靓：《算法类》，中华书局，1999，第202 页。由于中国古代是用木杆秤来权衡物体的轻重，其中“权”是指秤砣，“衡”是指秤杆，所以“权衡”有时简称“衡”，有时也简称“权”，二者同义。其计量时以10 黍为基本单位，即“十黍为一絫，十累为一铢，二十四铢为一两，十六两为斤，三十斤为一钧，四钧为一石”⑦（唐）李淳风：《孙子算经》，辽宁教育出版社，1998，第1 页。。这是《孙子算经》所采用的衡制，时称“五权”，但汉代的“五权”比较复杂，存在多种“铢两之制”。

根据史书记载，宋代的衡制变化比较大，出现了“十有五斤为一秤之则”。如《宋会要辑稿·食货》之“量衡”载：“御书真、草、行三体淳化钱，较定实重二铢四絫为一钱者，以二千四百得十有五斤，为一秤之则。”⑧（清）徐松辑：《宋会要辑稿》，中华书局，1957。同时，还出现了“二斤二两为裹”的衡制。如秦九韶《数书九章》卷17“推求物价”题中有“沉香三千五百裹”⑨（宋）秦九韶：《推求物价》，河南教育出版社，1995，第624 页。的计量单位，有学者认为，题中的“裹”是指包裹的物品⑩陈信传：《〈数书九章〉今译及研究》，贵州教育出版社，1992，第474 页。，恐怕有望文生义之嫌。因为《事林广记》很清楚地记载着宋元之际的“衡”制：

一黍为一絫，十絫为铢，六铢为一分，四分为一两，十六两为斤，二斤二两为裹，十五斤为一秤，三十斤为钧，四钧为一石。11陈元靓：《算法类》，中华书局，1999，第202 页。

与重量相应，还有一种容量。《事林广记》载：“斛粟数多少之法谓之量，起于粟之一粒。”12陈元靓：《算法类》，中华书局，1999，第202 页。量的标准亦以一粒小米的体积为基础，共分9 个等级。如《孙子算经》云：

量之所起，起于粟。六粟为一圭，十圭为一抄，十抄为一撮，十撮为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛。13（唐）李淳风：《孙子算经》，辽宁教育出版社，1998，第1 页。

关于上述“量”“衡”的内涵，学界已经发表了大量成果，在此不再赘述。这里需要说明的是，在《事林广记》一书里，不仅记载了社会上通用的度量衡制，还开列了大量药剂处方，这些处方用药一般都有专门的量具，有些香药甚至还要用精美的戥秤来称量。《事林广记》载有许多保健处方，药材的用量都比较少，例如“南阳公主香”组方中载“丁香，麝香，当归，豆蔻，各一分”14陈元靓：《宫院事宜》，中华书局，1999，第541 页。。方中“一分”等于“一钱”，文与钱同。这样的实例亦见于《香谱》与《香乘》两书，如《香谱》有“麝香一文”的用量，而《香乘》则载“麝香二两”15（宋）陈敬：《香谱》，江苏凤凰文艺出版社，2019，第257 页。，即可为证。