模拟退火算法优化转运小车转向的梯形机构设计

缪晓宾, 陈 昊

(1.重庆工业职业技术学院 机械工程与自动化学院,重庆 401120,E-mail: ppcv2232@163.com;2.重庆大学 机械与运载工程学院,重庆 400044)

转运小车因具有适应性优良、柔性程度高和集成效果好等优势,已成为自动化生产线的重要工具。利用转运小车搬运毛坯件以及成品件等,不仅能极大地降低企业用工需求和运输成本,还能有效提升企业的生产效率[1]。因此,设计智能、安全、高效的转运小车机械参数十分必要。转向梯形机构是转运小车的关键组成部分,直接影响着转运小车的转向性能和操纵稳定性等,通过对该机构参数进行优化设计,能显著改善其各方面控制水平,因此研究转运小车转向梯形机构优化设计方法引起各生产行业的高度关注。

目前针对此类方法的研究成果比较多,例如王琪等人[2]利用双种群差分进化算法实现转向梯形机构优化设计。采用两种群差分演化方法,以萤火虫变异机理为基础,进行了折断转向梯形机构的优化设计。翟建华等人[3]提出基于改进粒子群算法的梯形转向机构优化设计。传统粒子群算法引入自适应权重和拉格朗日插值法,与自适应加权相结合,对其进行了改进,并提出了一种求解非线性转向机构的数学模型。这两种方法对转向梯形机构的运动轨迹具有较好的控制效果,但求解条件苛刻,易陷入局部最优解。

模拟退火算法作为较为常用的概率模拟算法,通过Metropolis接受准则对算法的寻优过程进行控制,具有编码简单和搜索速率快等特点,且无需考虑目标函数的梯度信息。为此,本文提出了基于模拟退火算法的转运小车转向梯形机构优化设计方法。

1 转运小车转向梯形机构优化设计

1.1 转运小车转向梯形机构优化设计模型

1.1.1 目标函数

在转运小车转向梯形机构优化设计模型构建之前,需做出以下两种假设:

① 将转运小车的车轮当作刚性车轮,忽略轮胎弹性侧偏等影响[4]。

② 投影空间转运小车转向梯形机构至水平面,使其变成平面梯形进行计算[5]。

当转运小车的内嵌转向轮转角等于α时,可使用图1描述该转运小车的理想转向过程。

图1 转运小车的理想转向过程图

图1中,转运小车的轴距用L描述;转运小车外前转向轮的理论转角和转弯半径分别用β、R描述;轮销和立轴的间距分别用b、M描述;转向梯形底角用θ描述;转运小车转向前后的前转向轮位置,分别用实线矩形、虚线矩形表示。通过该图可得到公式(1)所示的几何关系:

(1)

转运小车在转向时,若想最大化内前转向轮转角,则需使公式(2)成立:

(2)

式中:最大内前转向轮转角用αmax描述;转弯半径最小值用Rmin描述。

使用图2描述转运小车内前转向轮转角等于α时的实际转向过程。

图2 转运小车的实际转向过程图

图2中,梯形臂长度用m描述;转运小车的外前转向轮实际转角用β'描述;传动角用δ描述;对角线长度用N描述;内角角度用δ1、δ2和δ3描述;未转向时的转运小车转向梯形机构位置用虚线梯形表示[6]。通过该图可得到公式(3)所示的几何关系:

N2=M2+m2-2mMcos(θ-α)

(3)

依据上式可以得到转运小车横拉杆长度S的计算过程,具体用公式(4)描述:

(4)

在公式(3)和公式(4)的基础上,能得到公式(5)所示的转运小车外前转向轮实际转角β′的计算过程:

β′=δ1-θ+δ2

(5)

式中:δ2的计算过程如公式(6)所示:

(6)

经过上述分析,转运小车转向梯形机构优化设计模型的目标函数为:使转运小车β和β′的相对误差加权求和达到最小值,具体用公式(7)描述:

(7)

式中:转运小车内前转向轮转角的角度值用αi描述,其值域为[1,αmax]范围内的自然数,此处的αmax表示内前转向轮最大转角的整角度值;加权函数用ω(αi)描述,其用于反映转运小车转向时,各时刻下β和β′之间的相对误差对转向性能的影响。若两者间的相对误差一定,则αi越小,此相对误差对转向性能的消极影响越大,因此ω(αi)和αi具有正比关系[7]。加权函数ω(αi)的分段函数值如公式(8)所示:

(8)

通过上述分析可知,将转运小车的θ和m选作目标函数的设计变量,表示为:

X=[m,θ]

(9)

1.1.2 约束条件

① 一般情况下,转运小车的梯形臂长度m的取值应介于[0.11K,0.15K]范围内,因此可得到下式所示的约束条件:

(10)

② 转运小车的转向梯形底角θ对转角偏差具有较大影响,且需要求解目标函数的极小值,因此仅通过公式(11)所示的约束条件限制θ的下限即可[8]。

g3(θ)=θ-θmin≥0

(11)

③ 为选取合适的传动角δ,运用余弦定理能得到公式(12)所示δ的约束条件:

(12)

④ 为降低转运小车转向梯形机构的阻力[9],该机构的转向驱动力矩Moj需满足公式(13)所示条件:

(13)

式中:转运小车转向梯形机构中,液压缸缸筒和活塞杆的直径分别用D、d描述;液压系统的额定压力用p描述。

1.2 转运小车转向梯形机构优化设计模型求解

针对1.1小节创建的转运小车转向梯形机构优化设计模型,使用模拟退火算法对其进行求解,获取最佳的转运小车的转向梯形底角θ和梯形臂长度m值,实现转运小车转向梯形机构优化。

模拟退火算法[10-12]通过模拟金属热处理过程,将某较高温度当作起始点,随着温度逐渐降低,在解空间内利用概率突跳性搜索转运小车转向梯形机构优化设计模型的目标函数全局最优解[13],得到最佳的θ和m变量的组合值X,实现转运小车转向梯形机构优化设计。以下为利用模拟退火算法进行优化设计的具体过程:

步骤3:利用公式(14)对解的增量ΔF进行计算:

ΔF=F(Xt+1)-F(Xt)

(14)

步骤4:依据Metropolis接受准则,当ΔF小于0时,使用新解替换当前最优解,同时使t=t+1,当ΔF大于等于0时,判断不等式rand()

步骤5:结果输出。如果模拟退火算法达到迭代次数限值n,则将当前最优解输出,也就是输出当前的最佳转运小车转向梯形机构优化设计模型中的最佳转向梯形底角θ和梯形臂长度m值组合值X,否则通过T′=μT重新选取起始点温度,并跳转到步骤2。

在上述过程的基础上,引入群智能方法进行改进,使模拟退火算法以种群形式寻找最优转运小车转向梯形机构优化设计模型中的最佳转向梯形底角θ和梯形臂长度m值的组合值,从而进一步提升求解转运小车转向梯形机构优化设计模型最佳设计变量的求解效率[14-15]。下述为具体改进形式:

步骤3:通过Metropolis接受准则得到转运小车转向梯形机构优化设计模型中的最佳转向梯形底角θ和梯形臂长度m值的组合值,并将当前最优解赋给MIN_V。

步骤4:循环执行上述过程,停止条件为达到MAX,同时输出MIN_V。

2 测试结果与分析

为验证上述基于模拟退火算法的转运小车转向梯形机构优化设计方法的可行性,设计如下测试过程。仿真图如图3所示。

图3 仿真实验对象

将某负责搬运砖材的转运小车作为实验对象,其运行轨道包含A和B两种,其中A为直线无障碍轨道,B为弯曲有障碍轨道。该转运小车转向梯形机构的轴距为4 500 mm,轮销间距为1 523 mm,将改进模拟退火算法的种群规模和迭代次数限值分别设置为20、50,在Simulink环境下,利用本文方法创建转运小车转向梯形机构优化设计模型并求解。

各迭代次数下,使用本文方法获得的转运小车转向梯形机构优化设计部分结果,用表1描述。

表1 转运小车转向梯形机构优化设计部分结果

分析表1可以发现,当转运小车的转向梯形底角和梯形臂长度分别为79.1 deg、78 mm时,目标函数值达到最小,相应值为0.53,此时迭代次数等于15,后续迭代次数下的目标函数值均呈缓慢上升趋势,因此将第15次迭代时的优化结果当作本文方法最终的转运小车转向梯形机构优化设计结果。

在以上优化设计结果的基础上,获得的转运小车外前转向轮理论转角β和实际转角β′的关系曲线,用图4描述。

图4 外前转向轮理论转角和实际转角关系曲线

分析图4可以看出,当转运小车内前转向轮转角小于等于32.5 deg时,转运小车外前转向轮实际转角和理论转角完全相同,两者之间的偏差为0;当内前转向轮转角大于32.5 deg时,实际转角和理论转角出现极小的偏差,但在内前转向轮转角达到43.5 deg时,两个转角之间的偏差重新变为0。实验结果表明,本文方法具有较理想的转运小车转向梯形机构优化设计能力,可以实现最小化转运小车外前转向轮理论转角和实际转角的相对误差的目标。

为进一步验证本文方法的转运小车转向梯形机构优化设计效果,统计分析转运小车分别进行向左、向右和向后三个转向运动时,其外前转向轮理论转角和实际转角的相对误差,具体结果用图5描述。

图5 外前转向轮理论转角和实际转角的相对误差

从图5可以看出,当转运小车内前转向轮转角小于等于15 deg时,转运小车进行三种转向运动时的两个转角的相对误差均等于0;当内前转向轮转角大于15 deg时,随着其值增加,转运小车进行三种转向运动时的两个转角的相对误差均逐渐上升,其中向后转向运动时的相对误差上升幅度最大,但最高相对误差仅为0.14%左右。实验结果表明,通过本文方法能有效保证转运小车进行任意转向时的稳定性。

转运小车在A和B两种轨道运动时,转向梯形机构实际和理想运动轨迹的关系曲线,用图6描述。图6中,P点和Q点分别为转运小车起始点、终点,矩形代表障碍物。

图6 不同轨道的转向梯形机构运动轨迹对比

从图6可以看出,当转运小车在环境简单的A轨道运行时,转向梯形机构实际和理想运动轨迹完全重合,当转运小车在环境复杂的B轨道运行时,转向梯形机构基本能够按照理想运动轨迹前行,并能避开全部障碍物,同时与各障碍物保持一定距离。实验结果表明本文方法可以保证转运小车在简单和复杂场景下均能顺利完成搬运任务。

4 结论

转运小车在工业自动化发展中起着巨大作用,其转向梯形机构性能直接影响着产品的产量和质量,因此本文提出基于模拟退火算法的转运小车转向梯形机构优化设计方法。该方法利用模拟退火算法求解创建的转运小车转向梯形机构优化设计模型,并引入群智能方法对原算法进行改进,以进一步提升模型求解的计算效率。实验结果表明,该方法求解出的设计变量能使转运小车外前转向轮理论转角和实际转角的偏差基本可忽略不计,同时能保证转运小车进行任意转向时的稳定性。