线性Volterra-Fredholm积分方程的Touchard多项式配置解法

杨谨僮, 陈 冲

1.西华师范大学 数学与信息学院, 四川 南充 637002;2.西华师范大学 公共数学学院, 四川 南充 637002

为了解决物理学中关于弹性理论的相关问题,研究者发现了积分方程。积分方程不仅在数学、物理学中有着重要的作用,在工程、生物等其他科学领域建模[1]中也有着不小的贡献。本文考虑如下线性Volterra-Fredholm积分方程:

(1)

(2)

近年来,多种数值方法被用于求解线性和非线性Volterra-Fredholm积分方程[4-15]。文献[4-6]中采用了最小二乘法求解线性Volterra-Fredholm积分方程,此外求解线性Volterra-Fredholm积分方程还有泰勒展开方法[7-8]、皮卡徳迭代方法[9]、伯努利矩阵方法[10]等。Wazwaz[11]应用了改进的分解方法对非线性Volterra-Fredholm积分方程进行数值研究,得到了近似解。配置法是常用的一种数值方法,该方法能够方便有效地求出该方程的近似解,且灵活多变,不仅可以求解Volterra型积分方程[16]和Fredholm型积分方程[17],还可以求解Volterra-Fredholm积分方程[12-15]。Toucahrd多项式相比于文献[12-15]中的函数而言,其形式简单且计算方便。因此,本文提出Touchard多项式配置法求解形如式(1)和式(2)的Volterra-Fredholme积分方程,并对该方法进行收敛性分析。

1 Touchard多项式

图沙多项式(Touchard polynomials)也被称为指数多项式[18-19],是由法兰西数学家Jacque Touchard在1939年首先研究的多项式。Kuzmin和Leonova利用Touchard多项式及相关性质解决了单服务器排队系统和循环排列问题[20]。Touchard多项式由二项型多项式序列所构成,形式为

(3)

T0(x)=1,

T1(x)=1+x,

T2(x)=1+2x+x2,

T3(x)=1+3x+3x2+x3。

2 方法构造

考虑形如方程(1)的线性Volterra-Fredholm积分方程求近似解的算法构造。用Touchard多项式构造函数un(x),即

(4)

其中,n是任意非负整数,ti是未知的Touchard多项式系数,Ti(x)(i=0,1,…,n-1)是由方程(3)定义的Touchard多项式。

用un(x)近似代替u(x),将式(4)代入方程(1),令

(5)

方程(5)化简为

(6)

(7)

令

方程(7)可表示为矩阵形式

CH=F,

(8)

其中,矩阵C、H、F定义为

C=[t0,t1,…,tn-1],H=(hij)n×n,F=[f(x1),f(x2),…,f(xn)]。

由方程(8)解得向量C,代入方程(4)中得到方程(1)的近似解。

3 解的存在唯一定理

1)k(s,t)∈C([a,b]×[a,b]),

定理1 如果条件1)和2)成立,则积分方程(1)存在唯一解。

证明∀u(x),v(x)∈C[a,b],有

即

因为0<α<1,故P:C[a,b]→C[a,b]是压缩映射,由巴拿赫不动点定理可得方程(1)的解存在且唯一。

3) 当x∈[a,b]时,u(βx+γ)∈C([a,b]×[a,b]),

定理2 如果条件3)和4)成立,则方程(2)存在唯一解。

其证明过程在文献[3]中有详细介绍。

4 收敛性分析

证明由范数定义可得

由上式可得

当α满足条件2)时,可得

即收敛性得证。

其证明过程与定理3相同。

5 基本算例

本节将应用第2节介绍的Touchard多项式配置法计算Volterra-Fredholm积分方程的近似解。通过算例验证该方法的可行性和有效性。

例1[3]求解形如方程(2)的线性Volterra-Fredholm积分方程

的近似解,其中,A(x)=1/10,a=-1,b=1,β=1/2,γ=-1/4,q(x,t)=x,g(x,t)=t,且f(x)随着λ1、λ2的变化而变化。该方程的精确解为u(x)=x2+x。

表1 例1中Touchard多项式配置法与最佳平方逼近法误差对比

表2 例1误差计算表

在本算例中,该误差的计算公式为error=|un(xi)-u(xi)|,x∈[a,b],其中un(x)和u(x)分别是例2中的近似解和精确解。

通过表3和表4的结果可以看出,当n=3、4时,随着n的增大,所得到的近似解与精确解之间的误差在缩小。但是当n=5、6时得到的近似解与精确解之间的误差虽然比n=3时小很多,但明显比n=4时变大了。这说明并不是n取值越大越好。对比n取不同的值时近似解跟精确解之间的误差,发现n=4的近似效果比n=3、5、6的近似效果要好很多。

表3 例2中n=4时Touchard多项式配置法误差跟T-F方法误差对比

表4 例2中n=3、5、6时方程的近似解与精确解的误差

通过图1的几条曲线对比,发现当n=4时得到的逼近函数更加逼近真实函数,反观当n=3、5、6时的逼近效果较n=4差一些。在本算例中,因为该方程的精确解是多项式的形式且最高次是3次方,因此当n=4时比n=3、5、6得到的近似解效果更好。通过表3的结果可以看出,当n=4时应用本文中的Touchard多项式配置法得到的近似解相比文献中的T-F方法[21]效果较好。

图1 例2中n=3、4、5、6时的近似解和精确解

6 结语

本文提出了用Touchard多项式配置法求解形如方程(1)和方程(2)的线性Volterra-Fredholm积分方程。并通过算例验证了该方法的可行性和有效性。如果想要获得精度更高的近似解,可以通过增加基函数个数n的值来得到较好的结果,但并非n越大越好。通过具体算例分析,可发现当方程的真实解是以多项式的形式出现,应用本文中的方法得到的近似解与精确解的误差较小,效果较好。当方程的精确解是以其他形式出现,则应用本文方法得到的逼近解与精确解的逼近效果较前述情况差一些。结合例1和例2中的表、图分析,发现当n的值较大时,应用本方法获得逼近函数比n取较小的值的逼近效果好。但如果得到的逼近函数已经足够贴近真实函数,即使增大n的值,其逼近效果改变不大。