证明线面平行的三种措施

马俊霞

线面平行指的是直线与平面平行，是一种较为常见的空间位置关系.证明线面平行问题侧重于考查线线平行、面面平行、线面平行的定义以及定理.下面主要介绍三种证明线面平行的思路.

一、利用线面平行的判定定理

线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.利用线面平行的判定定理证明线面平行，关键在于找到一组平行线，使其分别位于平面内外.可从下面两个角度寻找：

1.利用中位线的性质

三角形的中位线有一个重要的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.在证明线面平行时，可根据几何图形的特点，寻找或选取中点，并添加辅助线，构造出三角形的中位线，以根据中位线的性质找到一组平行线，使两条直线分别在平面内外，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.

我们根据题意，在平面BCF内很难找到一条直线与MN平行.于是根据[AM=12MC]，[DN=12NF]，添加辅助线，构造出一个与平面BCF平行的平面NMG.根据线面平行的判定定理证明[平面MNG∥平面BCF]后，即可根据面面平行的性质定理证明[MN∥平面BCF].

三、构造空间向量

在证明线面平行受阻时，可以根据几何体的结构特征，构造出空间向量，通过空间向量运算，证明直线的方向向量與平面的法向量垂直，即可证明直线与平面平行.在解题时，要根据几何体的特征，寻找或构造垂直关系，使三条垂线相交于一点，并将其视为三条坐标轴，即可构造出空间直角坐标系.

我们根据平面[ABEF⊥平面ABC]，以A为原点、AB为x轴、AF为z轴、垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求得[PQ]以及平面MNB的法向量，证明二者垂直，即可证明[PQ∥平面BMN].

总之，在证明线面平行时，要注意：（1）根据题意寻找平行关系，如中位线、平行四边形的对边；（2）灵活运用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理；（3）合理添加辅助线，构造空间直角坐标系.