灵活运用数形结合思想，提升解不等式题的效率

刘钊

数形结合思想是解答高中数学问题常用的一种数学思想.在解答不等式问题时，灵活运用数形结合思想，根据不等式的几何意义画出几何图形，通过图形和数量关系之间的转化，可以使解题的过程变得更加简单，有利于提升解题的效率.

一、求参数的取值范围

在运用数形结合思想解答含参不等式问题时，可先根据不等式的结构特征，将参数与变量分离，使参数在不等式的一侧；再将不等式另一侧的式子构造成函数，判断出函数的单调性，画出函数的图象，或根据另一侧式子的几何意义画出几何图形，即可通过研究图形的变化趋势，确定不等式另一侧式子的最值，进而求得参数的取值范围.

则圆心A到直线[y=2m]的距离[d1=2-2m2=2-2m≤m]，解得[12≤m≤2+2]，

故实数[m]的取值范围为[12，2+2].

解答本题，需将集合A中的元素看作以[2，0]为圆心，以[m2]和[m]为半径的圆环上的点，集合B中的元素看作两平行线[y=2m]和[y=2m+1]之间的点，通过研究圆与直线之间的位置关系，建立满足题意的关系式，进而求得参数的取值范围.运用数形结合思想解答此类问题，要仔细挖掘代数式的几何意义，并画出相应的几何图形，借助几何图形来分析问题.

解答本题，需先根据函数[fx=xx]的解析式画出图象，以根据其图象和单调性去掉[fx+t≥4fx]的符号“f ”，将不等式轉化为常规不等式；然后借助数轴来讨论满足不等式的t的取值范围.在解不等式时，要学会将问题转化为函数图象、数轴上的点的集合的问题，运用数形结合思想来解题，这样能有效地提升解题的效率.

二、求不等式的解集

含参不等式问题往往较为复杂，运用数形结合思想来辅助解题，能有效地提升解题的效率.在解题时，要先将不等式变形，构造出合适的函数模型.可构造一个函数模型，将不等式化为[fx>0]、 [fx<0]的形式；也可以构造两个函数模型，将不等式化为[fx>gx]、 [fx

先将不等式两侧的式子分别构造成函数[y1=x+a]，[y2=a2-2x2]，并画出两个函数的图象；然后移动直线的位置，即可发现要使不等式恒成立，需使直线始终在椭圆的下方；再求得两个函数的交点，就能发现当[-2a3

例4.已知[fx]是[R]上的偶函数，且在[0，+∞]上单调递减，若[fa=0a>0]，则不等式[xfx<0]的解集为_____.

解：由题意可画出[fx]的图象，如图5所示.

若采用常规方法解答本题，则需进行分类讨论，解题的过程较为复杂.我们运用数形结合思想，根据函数的解析式画出图象，讨论满足不等式的情形，即可确定x的取值范围.运用数形结合思想解不等式，需通过研究图象，找出满足题意的一段曲线，并求出与之对应的x的取值范围.

运用数形结合思想，将不等式问题转化为几何图形问题或函数图象问题，即可通过研究图形或图象的位置关系，快速获解.这样不仅能使题目中的条件变得直观，还能使解题的思路更加明朗，有助于提升解题的效率.