多层布尔控制网络的集合可达性和可观测性

崔禹欣,李 述,2,刘凤秋,吴玉虎

(1. 哈尔滨理工大学 理学院,黑龙江 哈尔滨150080;2. 哈尔滨理工大学 电气与电子工程学院,黑龙江 哈尔滨150080;3. 宁波工程学院 理学院,浙江 宁波315211;4. 大连理工大学 控制科学与工程学院,辽宁 大连116024)

1 引言

生物过程建模已经成为数学建模中的热门话题。因此,人们对基因调控网络的研究有着非常大的兴趣。基因调控网络的建模方法也相当广泛,其中包括布尔网络,差分方程,混杂系统,Petri网,线性回归模型等。

由于布尔网络[1]模型能够简洁有效地描述作用在有限集上的动态离散模型。因此,布尔网络[1]已成为基因调控网络的重要模型。此外,布尔网络在许多领域都有应用,包括系统生物学[2,3]、化学[4]、社会科学[5]等。随着矩阵半张量积[6]的引入,布尔网络的许多理论问题已经得到解决,例如可控性[7-9]、稳定性[10-12]、最优控制[13]、辨识[14],以及其它相关问题[15-17]。

可达性是系统科学和控制架构的基本概念和研究课题,也是生物系统和遗传调控网络的焦点。在生物网络中,人们通过设计控制策略,将复杂网络从患病状态驱动至健康状态。因此,布尔控制网络的可达性已被用于设计和分析治疗干预策略。目前,已经得到了许多关于可达性的重要结论。文献[18]主要研究了具有状态和控制时滞的布尔控制网络的可达性问题。文献[19]研究了具有干扰输入的布尔控制网络的鲁棒可达性。文献[20]研究了层次布尔控制网络的可达性和同步性问题。受到文献[21,22]的启发,文献[23]研究了马尔科夫跳变布尔网络的集合可达性。进一步,文献[24]研究了状态依赖的脉冲布尔网络集合可达性的牵制控制设计问题。可观测性是现代控制理论中的另一个非常重要的概念。目前,已经有很多关于布尔网络以及布尔控制网络可观测性的优秀成果。例如,文献[25]通过有限自动机解决了布尔控制网络的可观测性问题。在此基础上,文献[26]提出了一种替代方法用于解决布尔网络的可观测性问题。受到上述文献启发,文献[27]给出了关于布尔控制网络可观测性的一些新结论。文献[28]通过集合可达性和并行拓展技术解决了布尔控制网络的可观测性问题。在文献[29]中,布尔控制网络的可观测性问题被转换为集合可控性问题,并且给出了一个简洁并且易于验证的充要条件,此外,文献[30-32]也是关于可观测性的优秀成果。

为了理解具有许多层次和交互共存的复杂生物系统的演化过程,多层网络作为一个新的描述已被提出。值得注意的是,多层网络不仅提供了构建生化系统的多级模型,还能更好地描述更丰富的相互作用结构。在过去的几年中,基于多层布尔网络的各种研究已经完成。文献[33]研究了两层网络的同步能力。文献[34]研究了多层布尔网络的稳定性问题。文献[35]研究了多层布尔控制网络的能控性问题。同时,由于生物调节的系统分析需要整体水平上的基因相互作用,而不是生物体孤立部分的特征[2]。因此,从整体角度分析多层布尔控制网络的集合可达性和可观测性是相当必要的。基于上述讨论,本文希望通过一个具有全局状态层的多层布尔控制网络来从整体层面上考虑不同层之间节点的相互作用。事实上,多层网络在细胞生化网络、自然科学、社会科学和信息科学等领域也有诸多应用。因此,研究具有全局状态层的多层布尔控制网络的集合可达性及其可观测性是有意义的。本文的主要贡献包括两点:(1) 与传统的布尔控制网络结构不同,本文研究的多层布尔控制网络具有全局状态层,可以模拟更加复杂的动态系统。(2) 本文通过状态转换图重构技术给出了具有全局状态层的多层布尔控制网络集合可达性的充要条件。其次,在集合可达性的基础上,利用并行互联技术给出了多层布尔控制网络的可观测性的充要条件。

2 预备知识

2.1 符号说明

2.2 矩阵半张量积的定义和性质

关于矩阵的半张量积的一些性质已在文献[6]中有详细阐述,因此在本文中不再过多赘述。

2.3 问题描述

本文考虑的多层布尔控制网络有K层,每层有N个节点。在整个网络中,彼此不同的节点一共有n(N≤n≤NK)个。具体可用如下模型表示

(1)

(2)

(1)Md被称从M0出发整体可达的,如果对于任意的初始状态x0∈M0,存在一个正整数ξ≥1和一个输入序列u={u(t),t=0,1,…,ξ-1},使得

x(ξ;u,x0)∈Md。

(3)

(4)

(5)

3 集合可达性

本部分研究多层布尔控制网络(2)的集合可达性。首先,介绍状态转换图重构技术。其次,通过状态转换图重构技术将多层布尔控制网络(2)转换为逻辑动态系统。最后,给出了多层布尔控制网络(2)集合可达性的一个充分必要条件。

3.1 状态转换图

状态转换图重构技术[21]是用于集合可达性分析的主要方法,其主要思路是通过重新构造多层布尔控制网络的状态以及网络中状态转换的关系来得到逻辑动态系统的状态转换图,进而描绘逻辑动态系统的状态及引起系统状态转换的事件,表示逻辑动态系统的行为。对于任意的子集M⊂Δ2KN,它的指标矩阵DM表示如

式中DM∈B2KN×2KN。

(6)

算例1 考虑双层布尔控制网络(2)的全局状态转移矩阵为

图1 (a)算例1中双层布尔控制网络的全局状态转换图; (b)算例1中逻辑动态系统的全局状态转换图

3.2 集合可达性

本节研究了多层布尔控制网络(2)的集合可达性。首先,介绍借助逻辑动态系统(6)分析多层布尔控制网络(2)的集合可达性。

类似地,可以证得结论(2),此处不再重复赘述。

类似于命题(1),可以证得结论(2),此处不再重复赘述。

4 可观测性

本节通过并行拓展技术将多层布尔控制网络的可观测性问题转化为了多层布尔控制网络的集合可达性问题。首先,将多层布尔控制网络(2)和一个复制网络互联,如图2所示。

图2 多层布尔控制网络与其复制网络的并行互联

(7)

(8)

最后,证明命题(2)。基于命题(1),可知多层布尔控制网络(2)是可观测的当且仅当多层布尔控制网络(8)的子集ΩH是自ΩIH出发集合可达的。因此,根据定理1的结论(2),命题(2)成立。

备注4 与文献[28]相比,本文研究的多层布尔控制网络具有全局状态层,可以模拟更加复杂的基因调控网络。与文献[36]相比,本文不仅研究了多层布尔控制网络的可观测性,还研究了该网络的集合可达性。

5 算例

算例1 考虑一个每层两个节点,彼此不同的节点有三个的双层布尔控制网络如下

算例2 上皮细胞和间充质表型之间的正向和反向转换在胚胎发育和组织修复以及癌症转移中起着至关重要的作用。因此,理解上皮细胞和间充质表型之间的转换过程仍然是发育和癌症生物学中的一个重要研究挑战。文献[37]确定了上皮细胞-间质转化的四个关键基因:miR-34 (μ34),miR-200 (μ200),Snail和Zeb,它们形成了两个相互抑制的切换开关。除此之外,还有一个额外的输入节点表示诱导上皮-间质转化的外部信号,从而得到了一个五个节点的基因调控网络,如图3(a)所示。尖锐箭头表示激活调控,钝箭头表示节点之间的抑制调控。

图3 (a)一个用于上皮细胞-间质转化的网络结构;(b)上皮细胞-间质转化的多层布尔控制网络结构

这样,多层布尔控制网络可以更有效的模拟该网络,如图3(b)所示,该网络总结为

该网络的全局状态层可以被描述为

输出层可以被描述为

将之转化为相应的代数形式,可以得到

6 总结

本文主要研究了多层布尔控制网络的集合可达性问题和可观测性问题。首先,通过状态转换图重构技术,得到了多层布尔控制网络集合可达性的充要条件。其次,在集合可达性问题的基础上,进一步讨论了多层布尔控制网络可观测性问题的充要条件。最后,通过算例说明了理论结果的可行性。在未来,如何降低算法的计算复杂度是一个值得思考的问题,也是今后研究的一个重点。