思维观下初中数学教学设计基本模式的探究与实践

林经武

学科教学，本质上就是解决问题的步骤或程序（策略）。学科学习分为概念（利用概念的属性去解决问题）和规则的学习（概念与概念之间的关系去解决问题）两个方面，特别是理科的教学核心就是概念与规则的学习。概念是思维的基本单位，逻辑是思维的基本规则。思维是形成概念、训练逻辑、产生理解、解决问题的基础。因此课堂教学设计应强调“为什么可以这样教”，关注认知规律，关注学生怎样思维（thinking）。要思考如何有效地教会学生思维，应设计能训练思维品质的活动，让学生智力的发展及学生能力的培养找到突破口。

设计思维品质训练活动要关注学生的认知规律，可以依据皮亚杰认知发展理论，如初中阶段的学生为形式运算阶段，能以命题的形式进行思维、能理解符号的意义、能做一定的概括等。同样，奥苏伯尔有意义学习理论要求活动设计应有同化和顺应的过程，同化和顺应渗透着归纳和类比思维，这些都要求教师提供给学生的学习材料必须具有逻辑意义、学习者必须具备建构认知体系以及问题解决所需要的思维能力。因此，基于“思维教学”理念的教学设计应基于学习理论与教学理论的理解下展开，要关注能承载思维发展的学习载体，教学设计要先明确“培养什么思维”以及“如何设计含有思维载体的内容”，再延伸到“教什么内容”和“怎么教”的问题。

一、基于“思维教学”理念的教学设计模式

基于“思维教学”理念的教学设计模式可以从所基于的学习理论理念及指导思想、大单元视角的教学背景分析、整体性把握的教学目标及重难点设计、基于“思维教学”理念的教学过程问题链及课堂练习的设计、思维观下学生表现的评价量规等方面加以设计。本文以《旋转》章节作为案例。

（一）所基于的学习理论理念及指导思想

布鲁纳的“发现学习”和“发现教学”认为，学习是一个主动的认知过程，以培养创新精神和实践能力为主要目的，达成学习的内部认知结构。其基本程序为：创设发现问题的情境→建立解决问题的假说→对假说进行验证→做出符合科学的结论→转化为能力等。

基于以上学习理论的理解及新课标理念，在图形的旋转变换教学设计中，可以利用几何画板直观演示图形变换，如让学生观察图形变换（培养学生观察的思维），在变换的直观感受过程中得出条件一般化的假设结论（培养学生抽象的思维），然后从演绎的层面对结论进行论证（培养学生推理的思维）。在一系列过程中，体会几何论证过程是实验、探究性活动过程的自然延续，学生在观察、猜想、论证的过程中体会数学思想和方法的运用（培养学生几何变中不变的思维）。

（二）大单元视角的教学背景分析

大单元视角的背景分析应突出教学内容的逻辑结构及教学要素（知识点、基本思想与经验、核心素养等）的分析。可以从内容的本质、蕴含的思想方法、知识的上下位关系、育人的价值等方面展开。学情应该基于学段特征，关注“为什么学？”“学什么？”“怎么学？”“已经知道什么？”“还能知道什么？”“存在什么困难？”等。对于大单元，就是以“更大的单位”进行教学设计和实施，重组与整合知识，解决知识碎片化的问题，促进多维目标（思维能力、核心素养）的落实。以下为《旋转》章节的教学设计。

1.内容的本质。

克莱因认为平面图形是研究变化过程中的不变量和不变性的科学。旋转是全等变换，渗透的思维是旋转过程中图形大小不变的思维。与平移和轴对称相比，旋转打破了图形的均衡與匀称，让图形的运动随心所欲。同时，旋转的工具性变换意识可以帮助学生用运动的观点认识图形变换，让问题的解决更加直观、明了。

2.蕴含的思想与方法。

本章节渗透着运动变换的思想和类比的思想。采用的方法就是基本图形的方法，在旋转中如何从复杂的图形中分解出基本图形及基本关系，由文字和符号作出或画出图形及图形关系。

3.知识的上下位关系。

从知识的背景来看，旋转变换存在的前提是同心圆，若存在同心圆，在同心圆上取不同的点，如果这些点与圆心连线所夹的角相等，就能形成旋转图形问题，所以旋转变换的知识在本章的学习只是过渡，只有学习完圆的知识后，旋转知识才可能真正完善与提升。从变换的角度来看，等腰三角形、平行四边形、圆等图形的结构都可以构成旋转图形。

4.育人的价值。

几何学习最重要的价值导向在于发现变中不变的思想，也是几何思维的直接体现。几何学的根源在于变换，“运动变换中的不变性和规律性”是发现“几何性质”的关键，也是几何学习中蕴含的基本思想和方法。

另外，几何直观是靠逻辑支撑的，它不仅直观地让学生观察到什么，而且让学生看到图形能想到什么，如相似三角形可以用来刻画比值等，这是非常重要的数学思维方式。

（三）整体性把握教学目标及重难点设计

1.教学目标的设计。

史宁中教授认为，教学目标的关键是设计合适合理的情境、提出合理的问题，引发学生思考，使学生掌握知识的同时理解知识的本质，形成和发展学科素养。因此教思维本质上就是教师通过问题情境的设置，引导学生开展思维活动。

对于轴对称、旋转、平移的概念，课标要求通过具体的实例理解它们的概念，这种要求关注几何直观与数学会意之间的关系。概念的理解借助直观不难到达，义务教育阶段不可能也不必要给出图形变换的严格定义。

对于它们的性质，可以通过“探索”得到，让学生探究图形的运动，观察运动变化过程中图形不变的性质，明白性质的研究过程，而不是直接将这些性质作为现成的结论告知给学生。通过探究实验让学生感受图形运动变化过程中的不变量和不变关系，明白用几何变换研究几何的方法和路径。在性质的教学中，多关注几何图形的抽象，少演示、多操作，让数学活动、数学想象与数学归纳参与图形的动态移动中。对于特殊图形，要养成用对称定义来定义或探究问题的习惯，如“探索正多边形、圆的轴对称性质”“探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质”的含义，不仅要知道这些图形是轴对称图形或中心对称图形，而且包括运用轴对称性或中心对称性探索这些图形的其他性质等。另外，要掌握旋转作图的基本技能；理解运动变换与类比的基本思想；了解运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计的基本实践活动经验；形成变换的意识，用变换的眼观识图，用变换的方法构图；发展几何直观及基本图形方法来演绎几何变换的推理能力。总之，这种整体性把握教学目标的设置具备导教、导学、导评价的功能。

2.重难点的设计。

重难点设计上应该加强旋转作图的教学要求，培养学生良好的作图习惯，加强学生对图形的认识和理解。

具体细化到课时目标，首先是指令性语言作图：按要求作旋转后的图形；已知旋转前后的图形（或旋转后图形的一部分），确定旋转中心和旋转角；作一个图形关于一点成中心对称的图形；已知关于某点成中心对称的两个图形（或已知某一图形是中心对称图形），确定对称中心；作一个图形关于原点对称的图形等。其次是将描述性语言转化为图形语言。最后是对辅助线添加的要求等。在严格证明的问题中不能只说“平移”“翻折”“旋转”，要说明作辅助线的具体内容，如基本作图的叙述语言“过某点作××的平行线”或“延长××到×点，连接××”“在××上截取××＝××，连接××”“作∠×××＝××度”等。

（四）基于“思維教学”理念的教学过程问题链及课堂练习设置

海淀区进修校的张鹤老师提道：知识教学的价值不是被学生“确认”其合理性，而是要“演绎”出其合理性。“演绎”是主动的，有理性的数学思维过程，除了数学基础知识与基本技能的学习，数学教育最主要的功能应是促进学生思维的发展。如何设计含有思维量的问题，应该是从数学知识和学生认知的结构出发，能反映数学知识的本质与意义的问题。

案例——怎样运用旋转变换解决问题

1.旋转变换的作用是什么？

旋转可以移动图形的位置而不改变图形的形状与大小。

2.什么时候要利用旋转变换？平面图形具备什么条件时可以实现旋转变换？

当一些线段、角或图形过于分散时，需要移动这些线段、角或整个图形，这时就要用到旋转变换。图形中只要存在共顶点的线段就可以实施旋转变换。

3.一般情况下初中的图形是怎么旋转的？

确定三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。平面图形运动过程中能构成特殊性，才有性质，一般的有以下两种特殊位置的旋转情形。如图1所示，将△ABC旋转60°能得到两个等边三角形；将△ABC旋转90°能得到两个等腰直角三角形。

4.旋转之后怎么办？

旋转之后可以利用旋转的性质来解决问题。旋转的目的就是将不在同一个图形中的几何元素转移到同一个图形中，从而在确定性条件下实现定量解决问题的基本图形（等边三角形或等腰直角三角形等）的构造。

5.课堂练习的设置。

（人教版九年级教材60页），如图2所示，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。

分析：画出旋转后的图形除了可以根据旋转的定义操作外，更重要的是旋转前后的几何对象之间对应元素之间的关系发现。以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，已经对应的元素有AD与AB，只要找到点E的对应点F即可。分别有以下五种作图法（如图3所示）。

几何问题的理解要依据几何的图形思维，将几何对象转化为具有几何特征的图形，运用学过的几何定义与性质去演绎。这里利用了旋转性质中对应线段、对应角度之间的关系，将图形问题转化为几何对象中的基本元素关系问题去研究，所使用的思维是几何思维，何为几何思维？首先是图形的确定性思维（全等性），其次要认识到数量化的几何关系要置换到图形中去研究，最后要明白研究图形，其中位置关系确定在前，数量关系研究在后。有了这些几何思维，几何的学习能力就能从操作思维训练上升到几何思维层面的培育。

二、基于“思维教学”理念的学生表现评价量表

课堂教学评价是以教学目标为依据，在真实的教学环境中以可操作的科学手段，观察学生的课堂表现和状态，收集与教师教学、学生学习相关的信息，对教与学活动的过程和结果进行专业分析和价值判断。基于“思维教学”理念对学生表现评价可以从对问题的问答、对问题的观察、思考与表达层面加以设计。思维过程的教学需要通过一个完整的数学活动作为载体，而这一载体需要设计，通过涉及各种思维类别的教学任务，通过测量学生在完成这些任务的过程中表现出来的思维特征来实现。而思维特征的定性判断还可以通过设置一些评价量表来实现。

三、结语

总而言之，新课标背景下的思维教学要以学生发展核心素养培养体系为目标，学科素养是连接教育方针与教育教学实践的桥梁。思维教学要在学科育人目标、教学载体、教学方式方法、课堂学习评价、课程学习资源开发等方面做细、做实。

注：本文系教育部福建师范大学基础教育课程研究中心2023年度开放课题“大概念统摄下初中数学单元教学设计优化”（项目编号：KCA2023138）的研究成果。