斜爆轰波总压规律及其在爆轰发动机分析模型中的应用1)

2023-10-29史爱明

力学学报 2023年9期

黄恩史爱明

(西北工业大学航空学院,西安 710072)

引言

随着各大国高超声速飞行器的竞争式发展,更高飞行马赫数以及更强机动性能已经成为重要发展方向[1].在探索研究动力推进系统的过程中,爆轰燃烧推进因具有热循环效率高、燃烧速率快等优点[2-3],逐渐显露出将取代传统动力技术的趋势.目前基于爆轰燃烧推进的发动机主要包括: 脉冲爆轰发动机、旋转爆轰发动机以及斜爆轰发动机.这3 种爆轰发动机有着各自不同的工作特点和适用区间[4-6],具有较强的应用前景.

作为爆轰燃烧推进的重要组成部分,斜爆轰波受到了重点研究,至今已积累了可观的研究成果[7-10].其中很大部分的研究重点关注于起爆区的波系组成以及爆轰波面的燃烧组织.对于前者,研究发现起爆过程,即斜激波过渡到斜爆轰波的过程可分为突变过渡和弯曲过渡[11].而来流参数、几何参数和化学参数都会影响起爆区的波系结构[12-14].对于后者,小尺度波系的形成和演化过程以及斜爆轰波面稳定性得到了细致研究[15-17].为加快斜爆轰波的工程应用进程,非均匀来流条件下的斜爆轰波结构[18-20]、受限空间的爆轰波驻定特性[21-23]以及斜爆轰发动机的推力性能[24]等实际问题在近几年逐渐受到关注.

作为衡量气体做有用功能力的表征量[25],气流总压在动力系统中一直是个实际而又重要的参数.对动力系统而言,更小的总压损失意味着更大的推力潜力.对于超声速气流中斜激波的总压规律,史爱明等[26]基于斜激波极曲线方法,在斜激波全解域中发现了最小总压损失直线规律,并给出了斜激波总压损失律图解.通过斜激波总压损失律图解,可以快速确定当前楔面角度下满足最小总压损失的斜激波结构,为提高动力系统效率提供了一种具有应用前景的理论参考.而对于以爆轰波为基础的爆轰推进系统,斜激波的总压损失律图解显然失去直接效用.因此有必要补充研究斜爆轰波的总压特性.由于研究的是已正常工作的爆轰发动机,此时斜爆轰波应是得到充分发展并稳定的,因此本文主要关注于已经形成的、稳定的斜爆轰波面,而爆轰起爆过程的波系结构以及波面失稳情况不在本文研究范围.

与绝热斜激波类似,斜爆轰波同样存在极曲线方法.忽略化学反应非平衡过程,即认为化学反应速率无限大、放热在瞬间完成,那么便可借鉴斜激波极曲线分析方法,推导出斜爆轰波极曲线方程,进而用于分析斜爆轰波特性[8].此时,斜爆轰波被简化为含有瞬时能量添加的斜激波.尽管真实条件下的斜爆轰波结构远比简化模型复杂,但斜爆轰波总压属于宏观特性的研究,而简化后的极曲线分析方法更是提供了全解域的研究视角.因此,本文将利用斜爆轰极曲线方法,从全解域的角度分析理想状态下的斜爆轰波总压特性,期望在概念设计阶段为斜爆轰发动机的设计提供参考.

1 斜爆轰极曲线方法

1.1 理想假设

(1) 忽略化学反应非平衡过程,假设化学反应速率无限大;

(2) 激波前后比热比γ以及气体常数R保持不变,无特殊说明,本文采用γ=1.3.

1.2 斜爆轰波关系式

本文以无量纲参数作为公式推导以及讨论的变量,因此首先定义如下无量纲参数

式中,q为单位质量气体在爆轰中释放的热量,u为气流垂直于斜爆轰波的速度分量,a为当地声速,a*为临界声速,ρ为气体密度,p为气体压强,T为气体温度,Δp0为波后总压损失值;下标1,2 分别代表波前波后静参数,而下标01,02 则分别代表波前波后总参数.

根据假设,斜爆轰波波后流动参数可得[8]

式中,γ为气体比热比,θ为气流偏转角,β为斜爆轰角,Mn1为斜爆轰波前法向马赫数.

当Q=0 时,可以证明方程(2)将退化为绝热斜激波关系式,这意味着斜爆轰波关系式具有一定普适性.

在方程(2)的基础上,若以波前法向马赫数作为斜爆轰波强度表征量,则可通过三角公式变换得到斜爆轰波强度表达式

值得注意的是,式(3)同时适用于式(2)中第一行出现的两个数学解,是用于计算斜爆轰波强度的控制方程.关于θ和β的显式表达式是评估爆轰波几何结构对爆轰强度影响的有效手段.当激波绝热(Q=0)时,其乘积右项等于1,此时式(3)与绝热斜激波强度表达式完全一致[26].此外,式(3)还体现出波前法向马赫数必须大于 1 的物理限制.

同时经推导可以得到描述斜爆轰波的广义普朗特关系式

当无热量产生时,式(4)便自然退化为绝热条件下的普朗特关系式[25](a*2=u1·u2).此外,它直接揭示了斜爆轰波与绝热斜激波之间的本质区别——波前波后临界声速不等,即焓值发生改变.

波后法向马赫数可由质量守恒方程导出

式中,Mn2为波后法向马赫数,M2为波后马赫数.

至此,斜爆轰波前后流动参数关系式都已得到,这些关系式将作为基本方程用于研究斜爆轰波的总压规律.

1.3 斜爆轰波极曲线

由于存在热量的释放,斜爆轰波极曲线不再与绝热斜激波极曲线相同.图1 展示了绝热斜激波与斜爆轰波极曲线之间的联系.绝热斜激波极曲线对于相同楔面角度存在双解,分别代表斜激波的强解(上)与弱解(下);而斜爆轰波极曲线中不仅存在强弱斜爆轰波,其弱斜爆轰波还存在着两个分支.结合式(2)中出现的正负号,正号对应着图中左侧虚线,代表着欠驱动斜爆轰波(underdriven),其波后法向马赫数大于1;而负号对应着右侧实线,象征着过驱动斜爆轰波(overdriven),其波后法向马赫数小于1.两分支的分界点被称为Chapman-Jouguet (CJ)点,此时波后法向马赫数等于1.由于波后法向马赫数小于1 是斜爆轰波附着稳定的必要条件,楔面角度需要满足θcj＜θ＜θmax,这段区间被称为驻定窗口[27].

图1 斜爆轰波与斜激波极曲线之间的差异Fig.1 The difference between the polars of oblique detonation wave and oblique shock

2 结果与讨论

2.1 斜爆轰波最弱强度规律

对于斜爆轰波,因为忽略非平衡过程,其化学反应产生的影响可以通过反应后的气体状态量表征.当反应足够充分,可以根据来流成分比例、温度以及速率等推测出化学反应所产生的热量,进而计算出斜爆轰波关系式中重要的无量纲热量Q[28].将具体的化学反应过程抽象为无量纲热量Q,使得斜爆轰波的理论研究不局限于某一特定化学反应.因此,为了更好展现斜爆轰波的特征规律,本文将适当选取Q值大小.

当Q值大小不变时,根据斜爆轰波极曲线关系式,可以得到一组极曲线族,如图2 所示.于是CJ 点共同组成一条CJ 曲线.CJ 曲线的存在是斜爆轰波极曲线与斜激波极曲线的标志性区别,且CJ 曲线的控制方程如下

图2 一组斜爆轰波极曲线(Q=10)Fig.2 A set of oblique detonation wave polars (Q=10)

式中,下标cj 代表CJ 曲线上的流动参数.显然CJ 曲线是一条等爆轰波强度曲线,并且曲线形状与Q值大小直接相关.

CJ 曲线是当前Q值下的全局最弱强度解.CJ 点是爆轰波极曲线的最低点,此时爆轰角最小,计算出的法向马赫数也最小,这意味着CJ 点是该极曲线上的最弱强度解.而CJ 曲线由CJ 点连接而成,且强度相等.由此可得,CJ 曲线是当前Q值下的最弱爆轰波强度解.此外,当斜爆轰波位于CJ 点时,斜爆轰波导致的熵增最小[29].在斜爆轰发动机的设计中,气流速度大于CJ 速度满足驻定条件的前提下,也会尽可能去靠近CJ 点[30-31].也就是说,CJ 曲线对斜爆轰发动机的设计十分重要.

然而当楔面角大于θcj,max时,无法取得CJ 点,此时斜爆轰的强度规律需要进一步研究.为此我们取极限情况,令楔面角度等于θcj,max,于是直线θ=θcj,max与CJ 曲线相切,由于CJ 曲线是斜爆轰波的全局最弱解,显然该相切点,即CJ 曲线的极值点便是当前楔面角度的局部最弱解.通过进一步改变Q值大小,CJ 曲线形状也随之改变,如图3 所示.图中绘制了Q值从0 均匀变化到10 的CJ 曲线形状,可以发现在Q较小时,CJ 曲线形状变化剧烈,相同的Q值变化会导致更大的欠驱动斜爆轰波区域变化,而随着Q值增加,CJ 曲线形状的变化程度迅速减小.图中★表示CJ 曲线的极值点,发现随着Q值增加,极值点在直线β=θ/2+π/4 上移动.而CJ 曲线的极值点代表着θ=θcj,max的局部最弱解,这意味着对于θ＞θcj,max的局部最弱解会存在相同的规律.

图3 不同Q 值下的CJ 曲线Fig.3 CJ curves with different Q values

于是为了证明这一规律,通过对公式(3)求导并计算极值,发现当斜爆轰波结构满足以下关系时,斜爆轰波强度最小

式中,βext为最弱斜爆轰波所对应的爆轰角.这与CJ 曲线极值点的移动规律一致.

此外,式(8)与绝热斜激波的最弱激波直线方程一致[26].也就是说,最弱激波直线方程(8)同时适用于绝热斜激波和非绝热斜爆轰波.

图4 展示了Q=10 时斜爆轰波的强度变化规律.当楔面角度大于等于θcj,max时,斜爆轰波以方程(8)为最弱强度解,而爆轰角增加或减小都会使得爆轰波强度增加.而当楔面角度小于θcj,max时,由于部分解为欠驱动斜爆轰波,无法稳定存在,此时CJ 解便是当前楔面角度的最弱解,也表征着当前Q值的爆轰波强度下界.此外,随着楔面角度的增加,最弱爆轰波强度直线上所对应的强度也会增加.

图4 极曲线图谱上的斜爆轰波强度规律(Q=10)Fig.4 The law for oblique detonation wave intensity on the polar curves (Q=10)

2.2 最小总压损失律扩展

对绝热斜激波而言,激波强度与总压损失一一对应,当激波强度达到最小时,其造成的总压损失也达到最小[26].而对于斜爆轰波,由于存在能量释放,会对其强度以及总压特性产生影响.观察斜爆轰波强度方程(3)可以发现,由于气体爆轰所释放的无量纲热量Q,斜爆轰波整体强度会高于绝热斜激波.根据2.1 节的讨论,斜爆轰波的最弱强度规律并不会改变,但是对于斜爆轰波的总压损失规律还需要进一步的讨论.

下面将细致分析斜爆轰波总压损失规律,不过与绝热斜激波不同,斜爆轰波总压损失律还与Q值相关.经推导简化,发现总压损失律可表示为关于Mn1,γ,Q的函数,且表达式十分复杂,这里采用图解方法

式中,Δ代表着斜爆轰波后的总压损失率.于是可通过式(9)计算出斜爆轰波导致的总压损失.

图5 展示了Q=2 时斜爆轰波的总压损失极值.从整体上看,当固定楔面角(气流偏角)时,每条总压损失曲线确实存在唯一的极小值点,在图中标记为红色小球.且随着楔面角度增加,其造成的整体总压损失水平也相应增加.从局部上看,每个楔面角所对应的总压损失极值点在θ-β平面上的投影构成了一条总压损失极小值曲线,可以发现该曲线与绝热斜激波极小值线之间存在一定偏移,这种偏移随着楔面角的增加而减小,在40°楔面角时偏移几乎为0.这是因为当楔面角较大时,其诱导的绝热斜激波造成的总压损失已经达到相当高的水平,此时,爆轰燃烧释放的热量对气流总压所能影响的程度大幅减小.

图5 总压损失极小值线(红色实线: Q=2 的斜爆轰波;绿色实线:斜激波)Fig.5 The curve of minimum total pressure loss for oblique detonation wave (Q=2,solid red line) and oblique shock wave (solid green line)

显然,与绝热斜激波不同,斜爆轰波的最弱激波规律不再等价于最小总压损失.Q值的存在使得二者之间发生偏移.从公式推导的角度来看,当Q=0时,总压损失表达式是关于波前法向马赫数的单调函数[26],二者相互等价.然而当Q＞ 0 时,此时总压损失不仅与波前法向马赫数有关,还与Q值有关,根据方程(2)可知Q与Mn1相互乘积耦合,这导致与Q=0 时相比,新增的Mn1项使得总压损失表达式对法向马赫数求导的结果改变,不再随法向马赫数单调变化.这意味着总压损失极值与最弱激波之间发生偏移.而从物理参数角度分析,波前法向马赫数仅与波前流动参数有关;而根据公式(9)可知,总压损失会同时受到波前波后流动参数的影响.当Q=0时,波前波后总温和临界声速相等,波前波后基准统一,此时总压损失大小与激波强度能相互表征.而当Q＞ 0 时,爆轰波不再满足绝热条件,波前波后总温以及临界声速发生改变,波前波后的基准不再相同,总压损失极值与最弱激波之间的对应关系被打破,于是出现偏移现象.

图6 给出20°楔面角下Q值对偏移量的影响.当激波绝热时,总压损失律呈现出对称性质,在对称面55°(激波角)得到极小值,此时满足绝热斜激波总压损失极小值控制方程[26].然而当Q值增加,总压损失对称性质被打破,极值点向更大的激波角方向偏移.Q值较小时,这种偏移敏感度更加明显,例如Q从0 增加至2 就会导致极小值9°左右的偏移.此外,随着Q值增加,爆轰波强度的整体水平上升,进一步造成更高的总压损失水平.

图6 不同Q 值下总压损失与激波角的关系(20°楔面角)Fig.6 The relation between total pressure loss and shock angle at different Q values (when the wedge angle is 20°)

图7 借用激波角进一步展示了总压损失极小值偏移随Q值的变化情况.从图上看,红色实线表示最小总压损失,蓝色实线则代表着最弱爆轰波强度.而二者所对应的激波角差值则代表着偏移程度.当激波绝热时,二者重合,此时不发生偏移;而随着Q值的增加,二者的偏移将以一个非常大的斜率迅速增加,然后逐渐减缓直至收敛.这意味着Q值对斜爆轰波结构的影响效率会随着Q值增加而减小,换而言之,斜爆轰波结构对Q的敏感程度与Q值大小成负相关.

图7 不同Q 值下的最小总压损失和最弱爆轰波强度(20°楔面角)Fig.7 The minimum total pressure loss and the weakest detonation wave strength at different Q values (when the wedge angle is 20°)

综上,对斜爆轰波而言,尽管总压损失律的对称性被打破,但极小值点仍旧存在,气体爆轰燃烧导致的极值偏移现象随Q值增大而加剧,但偏移速度迅速降低.

2.3 应用举例

假设有一台在任意马赫数下都可以启动的斜爆轰发动机,如图8(a)所示,燃料与来流空气充分混合并在15°楔面产生斜爆轰波,假定燃料充分燃烧且化学反应速率无限快,爆轰产生的高压气体经过等熵膨胀至环境反压,高速的尾流产生推力.那么为使发动机有尽可能大的推力上限,应控制进入发动机的气流马赫数为多少？

图8 斜爆轰发动机工况设计的最优马赫数选取过程Fig.8 The operating process of selecting an optimum Mach number for oblique detonation engine design

发动机要产生更大的推力,经过等熵膨胀后喷射出飞行器尾部的爆轰气流速度应尽可能大,由于来流的总压一定,经过斜爆轰波的总压损失会直接影响着尾喷的气流速度.因此选取的来流马赫数应尽可能使气流总压损失最小,选取步骤如下: (1) 根据注入的燃料当量比以及进入发动机的流动参数计算出爆轰波产生的无量纲热量Q(这里假定为2);(2) 利用图8(b)读取15°楔面角对应的最小总压损失0.491 及对应的斜爆轰角67.5°;(3) 使用式(3)计算此时对应的来流马赫数为2.394.

然而事实上,对于斜爆轰发动机,几乎不可能在如此低的马赫数下正常工作[32].如果考虑爆轰发动机能够工作的马赫数要求,选取步骤只需增加一定的马赫数限制.根据方程(2),斜爆轰发动机工作的马赫数区间可以转化为固定楔面角下的爆轰角区间,于是在图8(b)中便能划出斜爆轰波的总压损失区间,进而选取满足爆轰发动机工作条件的最小总压损失.

当然,在真实的斜爆轰发动机中由于存在极其复杂的波系相互作用,例如膨胀波与斜爆轰波相互作用、边界层与爆轰波相互作用等,使得斜爆轰发动机产生的总压损失总量会与本案例中计算出的仅由斜爆轰波产生的总压损失值之间存在很大差异.但是斜爆轰波作为斜爆轰发动机中不可或缺的核心流动结构,其造成的总压损失可以用于衡量斜爆轰发动机的总压极限.在概念设计中选择造成总压损失尽可能小的斜爆轰波结构,可提高发动机的总压理论上限,增加发动机的推力潜力,有利于后续的详细设计甚至优化设计.