理解教材:新教材教学实践中的疑惑与释疑——以人教A版概率统计内容的教学疑问剖析为例

湖南省长沙市雷锋学校 童继稀 (邮编:410217)

湖北省恩施州教育科学研究院 周 威 (邮编:445000)

湖南省长沙县第一中学 付 艳 (邮编:410138)

自新教材使用以来,一线教师参加了各级各类线上、线下培训．实际上,作为这些培训的后续,如何更好地理解新教材、使用新教材,教师在实践教学中依然会产生各种疑惑,可能还需要更接地气、更注重操作的培训或交流,才能解释这些疑惑,才能实现更好地使用教材的目的．笔者以人教A版概率统计内容的教学疑问为例,就代表性疑问的分析及释疑过程与读者交流.

疑问1为什么教辅资料把放回简单随机抽样说成不是简单随机抽样?如何深刻理解有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样?

剖析该疑问产生的原因就在于新旧教材(新教材指人教高中数学2019版,旧教材指人教高中数学2004版)对概念的定义不同．详细定义如下:

定义1(2004版必修3第56页)一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

定义2(2019版必修第二册第174页)一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤n

从以上对简单随机抽样的两个不同定义,可知定义1抽样方式是定义2抽样方式中的一种方式,同时回答了疑问1的前面问题(编题人对新教材不够熟悉)．旧教材的定义避免了随机抽样产生重复个体来提高抽样调查效率．而新教材的定义有两种抽样方式,从而涉及两种简单随机抽样(有放回与不放回)的对比．

统计的研究对象是数据,首先要设法获取与问题有关的数据,抽样调查自然希望抽取的样本数据能很好地反映总体的情况．新教材先从统计学视角以说理方式举例(必修第二册第174页探究)介绍了两种抽样的区别,有放回简单随机抽样可能产生极端现象,即每次抽到同一个体,而不放回简单随机抽样可以避免这现象．后一章又从概率视角举例(必修第二册第237页例10)用数值对极端现象发生的可能性进行比较,得出结论,即不放回简单随机抽样可以有效降低出现极端样本的概率．进一步,我们可归纳出两种抽样的共性,两种简单随机抽样都属于等概率抽样,即每个个体被抽中的概率相等,且适用于总体规模和样本量都较小的情形．区别是有放回随机抽样的优点是各次抽样结果互不影响,便于进一步统计分析,也便于计算机模拟实现,缺点是产生极端样本的可能性大;而不放回随机抽样的优点是同一个体不会被重复抽到,产生极端样本的可能性小,缺点是各次抽样结果之间不独立,统计分析要困难一些．从知识的发展来看,有放回随机抽样可以延伸到事件的独立性,再到二项分布;而不放回随机抽样可以延伸到条件概率,再到超几何分布．当总体规模很大,且样本量与总体规模相比很小时,两种抽样所得到样本的特性相差无几,其中“超几何分布可以用二项分布近似”也印证了这观点．

另外,新教材中的定义2出现了旁白“从总体中,逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本,一次性批量随机抽取n个个体作为样本,两种方法是等价的”．从而有必要对旁白进行解释,其实两种不放回的抽取方式只是在抽样过程与形式上有所不同,文献[1]从概率视角,证明了逐个不放回地随机抽取与一次性批量随机抽取时,某个体被抽中的概率值相等,过程略．由于一次性批量随机抽取操作性不强,不太方便,现实中很少选用该抽样方式．

疑问2如何在教学中让学生轻松理解并重视分层抽样的方差公式?

剖析要讲好分层抽样的方差公式,先要了解它的背景是由于整合不同来源的数据的需要,以及在数据庞大的情况下为减少计算量的需要．《普通高中数学课程标准(2017版2020年修订)》(简称课标)要求结合具体实例掌握该内容,教材也是以实例(2019版必修第二册第212页例6)呈现该问题．

接下来对总体的方差值计算才是我们要突破的难点,我们完全可以参照课标要求进行,落实数学运算素养,即:

联想到方差有两种计算形式,故还有以下解法:

教材课后习题(2019版必修第二册第216页习题11)要求三层的方差计算,运算技巧还是“添减项,平方和分解”．其实在实际应用中还有两个递推计算思想:①如果一组数据由多个来源组成,可以先计算其中两组合在一起的方差,再逐一和另一组合在一起,计算方差;②如果按计算公式计算一组数据的方差,可先计算前面几个数的方差,再逐一和后面一个数合在一起计算方差．例1计算去掉一个数据后的平均数和方差,从高考的视角体现了其中的递推计算思想,同时也证明了掌握该方差公式的重要性．

例1(2017年全国Ⅰ卷理科第19题节选)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm)．根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．

一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

疑问3如何引导学生重视概率公式的证明?

剖析重视概率公式的证明是肯定的．以条件概率为例,它的本质就是在缩小的样本空间A上计算事件AB的概率,它的产生背景是解决积事件的概率问题．

课标要求结合古典概型进行推理,教材对条件概率的定义是逐步抽象进行的,即:从两个实例,其第(1)问为无条件古典概型,第(2)为有条件古典概型,一般化到古典概型的条件概率,再抽象到一般概型的条件概率,最后变形成概率的乘法公式．该过程说明条件概率是无条件概率的进一步抽象,因为当样本空间A=Ω时,P(B|A)=P(B)．同时,过程中也给出求条件概率的方法:①根据直观意义,样本空间缩小为A,条件概率P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率;②基于样本空间Ω,计算P(A),P(AB),通过条件概率公式求P(B|A)．

例2(2022年新全国Ⅰ卷第20题节选)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:

不够良好良好病例组4060对照组1090

例2以构建一项度量指标为情境,用证明题的方式考查条件概率公式P(AB)=P(A)·P(B|A)=P(B)P(A|B)的灵活运用,式子结构体现了“条件”的相对性．本题对学生的逻辑推理能力要求较高,检测了学生对基本公式的掌握和关键能力的水平层级,从高考的考向视角证实了公式推导证明的重要性．

疑问4如何在教学中让学生透彻理解全概率公式?

剖析讲透全概率公式,需要结合教师教学用书对教材进行深度解读,才能够在教学中让学生对相关内容的理解更透彻．

首先,教材通过古典概型实例(2019版选择性必修第三册第49页思考)进行两层情况的全概率公式探究,探究过程需要深度解读,如事件发展的流程不清晰时,可以借助树状图处理．又如对思考题的解答推理过程揭示了全概率公式的数学本质,即先利用一组两两互斥的事件(和为必然事件)分割事件B,再由概率的加法公式和乘法公式求事件B的概率,换句话说,就是用已知可求事件的概率推算未知复杂事件的概率．

其次,从两层的推理结果归纳到n层的全概率公式,没有严谨的证明过程．结合教师教学用书,我们可以借助Venn图直观理解,但过程还是不严谨,从而我们需要进行如下严谨处理:

证明借助树状图分割事件B,即B=ΩB=(A1∪A2∪…∪An)B=A1B∪A2B∪…∪AnB,可得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)．

以上证明过程的思路,可理解为将复杂事件B进行分类,变成一些积事件,再用和事件与积事件的概率性质求概率．从这个证明过程,我们也可得知,当事件A1,A2,…,An与B相互独立时,可用P(B)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B)+P(A2)P(B)+…+P(An)P(B)求解．

因此,全概率公式的使用可以借助树状图或结构图等处理好全概率公式中事件的关系,通过对事件的发生发展的“路径”分析和样本空间中事件关系的分析把事件进行转化,条理会更加清晰．教材后面的例5展示了借助Venn图划分样本空间,突出样本空间的层次;例6用结构图对事件发生发展进行路径分析．

疑问5关于卡方独立性检验及线性回归内容,教材有大篇幅的公式推理过程,如何在教学中落实学生的核心素养培养?

剖析这些相关内容主要涉及逻辑推理与数学运算素养,而解决该疑问需要把握好两点:①统计量的构建思想就是从直观想法出发,逐步进行修正;②借助信息技术,突破计算困难而导致的教学困境．

(1)经历构建过程,渗透思想方法

对于数据分析中的统计量的构建,旧教材只作了适当说明就直接给出统计量的公式,从而显得逻辑关系与统计思想不够清晰．而新教材要求我们教学时,要重点强调统计量的构建过程,并在过程中渗透思想方法．

从以上过程,可以体会到构造的思想方法,即根据要刻画的数字特征的意义,从直观想法出发,逐步进行修正,特别要把握好两化过程,即“中心化”与“标准化”．这是构造统计量的常用思想方法,高中数学中的其它统计量构建都用到了这些思想,作为疑问5的回答,以下讨论教材中的几个统计量的构建思路．

以构建卡方公式为例,因为独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异,利用分类变量的独立性及独立事件的概率公式,通过样本的频率来估计概率,从而求得四个频数的期望值．先将四个观测值减去各自的期望值,即“中心化”;为了方便计算,且平衡频数的期望值大小对统计量的影响,然后将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值(即“标准化”),再求和得

(2)借助信息技术,突破教学困境

真实情境的处理困难不仅是将实际问题转化为数学问题,还有数学化后的真实数据一般都很复杂．这就要求我们能借助信息技术突破计算困难而导致的教学困境,提升学生的数据分析素养．课标对统计分析的内容要求与教学提示中都讲到了要学生会用统计软件,也就是说:如果不用统计软件,那么就无法完成本单元的教学任务．以成对数据的相关分析与回归分析为例,教学过程就要求我们计算均值、平方和等．近几年高考试题中的概率统计解答题对相关计算的考查也一直是热点,如2015年全国Ⅰ卷理科第19题、2016年全国Ⅲ卷理科第18题、2017年全国Ⅰ卷理科第19题、2020年全国Ⅱ卷第18题与2022年全国乙卷第19题等,都涉及对各公式两种形式的转化运算和整式的数据值代入运算．

现以教材中有关回归分析的例题(2019版选择性必修第三册第115页问题)为例．如果借助Excel或GeoGebra等软件进行分析,直接得到拟合图、经验回归方程和一些相关量的值,该过程只适合熟练的学生使用,但不利于培养学生的数据分析素养．

=-0.85585815(线性关系较强);再求得

这5个问题以教材中概率统计内容的编写顺序呈现,遍及整个高中概率统计内容,反映了新旧高中数学教材使用过渡时期,教材中的新定义、新内容与新理论给一线老师带来的一些困惑．结合疑问剖析,我们可以归纳以下四种应对策略．

第一,类比辨析探究,深化概念理解．类比推理是研究数学问题的常见方法．用类比方法探究概念与性质,学生能够体验和经历在新情境中选择和运用数学方法解决问题．如类比集合的关系与运算,更好地理解事件的关系与运算意义;通过类比函数的研究得到研究概率的思路和启发等．通过对容易混淆的概念进行对比辨析,能够深化对概念理解,尤其是相同概念的不同定义(如疑问1剖析)．

第二,深度解读教材,依据学情施教．教材是实现课程目标、发展学科核心素养的重要资源．结合教师教学用书,对教材进行深度解读,能够在教学中让学生对相关内容理解得更透彻(如疑问4剖析)．

第三,重视推理构建,渗透思想方法．公式教学是数学教学的重要组成部分,其掌握程度直接影响学生对数学概念的理解和数学理论的应用(如疑问2与疑问3剖析)．现实中,一些不良教学现象依然存在,如简化公式的生成,淡化公式的联系,依靠刷题让学生应用公式,应付考试,不利于发展学生的推理论证能力和数学运算能力．再是引导学生经历统计量的构建过程,让学生领悟其中的思想方法,从而发展学生的逻辑推理素养,培养学生的创新意识．

第四,借助信息技术,突破教学困境．统计学中的需要使用大量复杂公式与符号、数据进行运算,使得学生很难真正理解,畏难心很强,给我们教学带来了挑战．如果发挥信息技术的直观优势,不仅能解决学生的疑问,积累数据分析的基本活动经验,还能激发学生的兴趣,提高教学效率(如疑问5剖析)．

基于以上应对策略教学也是落实大单元教学理念．归根就是依据课标教学,结合教参深度解读教材,注重数学知识的发生发展．