例析二次函数最值问题的解答方法

胡玉华

二次函数是初中数学中最重要的内容之一.它不仅是中考必考的知识点，还是初高中数学衔接的重要内容.其中最值问题是学习二次函数时的一个难点.此类问题形式多变，计算复杂.在求解二次函数最值问题时，同学们不仅需熟练掌握二次函数的图象及性质，还需要灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想.本文将结合例题，谈一谈二次函数最值问题的三种常见类型及解答方法.

一、“定轴定区间”中的最值问题

如果我們由题目已知函数的对称轴与自变量的取值区间，那么该题目就归类为“定轴定区间”的问题.这一类问题属于二次函数最值问题中较为简单的，只需要求出函数解析式，并根据解析式画出对应的函数图象，就可以知道取最大值、最小值的位置.需要注意的是，若题目给出自变量的取值范围是一个闭区间，那么函数的最值不仅可能位于函数的顶点处，还可能在范围区间的两个端点.

例1已知二次函数的表达式为y=x2-2x-3，当-2≤x≤2时，求函数的最小值与最大值.

分析：根据函数的解析式y=x2-2x-3和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，画出函数图象，然后根据-2≤x≤2得到取最大值和最小值的位置.

解：因为二次函数y=x2-2x-3=（x-1）2-4，所以该函数的对称轴为x=1，且函数图象开口向上，大致图象如图1所示：

点评：本题根据函数解析式求出对称轴的解析式，然后画出图象，利用二次函数的图象与性质，以及数形结合思想来解答.

二、“定轴动区间”中的最值问题

如果根据题目，我们已知函数的对称轴，但是自变量的取值区间不固定，那么该题目就归类为“定轴动区间”问题.这类问题无法像“定轴定区间”问题一样直接比较顶点值和端点值的大小，需要依照对称轴在区间的左侧、中间还是右侧展开分类讨论，后续的解答方法类似于“定轴定区间”问题.

例2

分析

解

点评：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值.

三、“动轴定区间”中的最值问题

这一类问题和“定轴动区间”中的最值问题类似，只不过是区间固定而对称轴是一个参数，由于对称轴的不确定性，我们也需要按照对称轴在给定区间的左侧、中间还是右侧展开分类讨论，其中如果对称轴在区间内，最值往往在对称轴处取到.

例3

分析

解

点评：本题中，当顶点在区间内时顶点是函数的最值；当顶点不在区间内时端点是函数的最值.分类讨论是解题的关键.

通过分析以上几种方法可以发现，在求解二次函数最值问题时，同学们需熟练掌握二次函数的相关知识，并能灵活运用二次函数的图象、性质以及数形结合思想与分类讨论思想.对于这种综合性较强的问题，同学们平时一定要多归纳总结才能触类旁通.