高中数学解题过程中学生反思能力的培养策略分析

王 丽

一、引言

反思表示对过去的事情进行思考,在反思中总结经验、吸取教训。反思能力是学生个体批判性思维发展的基础,是高中数学培养全面发展的人时必须关注的内容。学生只有具备良好反思能力,才能在定论中发现新问题、掌握知识点,才能批判性地接受新知识和新技能。可以看出,具备较强反思能力的学生,能在解题过程中更深入地理解知识,使得解题的效率和质量大幅提升;反之学生可能在解题时和解题后感到困惑,不利于学生后续的学习。

二、数学解题和数学解题的反思

(一)数学解题的定义

数学解题即探索数学题答案的过程,在数学课程中答案被称为“解”,因此可以将解题理解为求出数学题的解。高中数学教学中,解题其实是通过数学题目再发现知识的过程。解题是数学教学的重要内容和学习基础,学生深入探究数学题的解,能逐渐掌握相应知识点和学习方法技巧,有利于学生综合能力的提升,通过学生的解题能力,可以直接了解学生的数学学习水平。

(二)数学解题反思的定义

心理学认知观点中将反思列为一种元认知,它包括在学习时对所涉及的知识、思路、策略、思想方法等进行深入探究,明确学习中蕴含的知识本质,这种反思方式能对人未来的学习活动提供指导,并非对过去的学习进行简单回顾。解题反思是学生对解题过程进行再思考的方式,也是学生再次探究解题结果的过程,解题反思能对学生未来的思维活动提供指导,有利于学生从数学题中发现新的知识和问题,更有甚者还能从解题反思过程中发现新知识。这也决定了数学解题反思具有很强的自主性、探究性和发展性特征。学生在数学解题反思过程中,能通过深入探究题目、认真审视解题结果,促使自身思维在反思的过程中变得更加严密,并在潜移默化中提高学生的解题能力,因此学生的反思能力和解题能力呈正相关关系。文章认为高中数学解题过程中的反思能力,即学生围绕已解答的数学题,自发对自己解题过程以及解题结果进行再思考的过程,学生具备较强的解题反思能力,能为自己后续的数学学习提供指导。

三、高中数学解题过程中培养学生反思能力的意义

(一)拓宽学生的解题思路

高中阶段学生接触的数学知识点之间有一定联系,不同知识能够组成一个整体。因此,学生在求数学题的解时,要掌握不同解题方法,并得出一致的、正确的结论。高中数学解题过程中,教师在培养学生反思能力时,要重视增强学生主动联系知识点的能力,拓宽学生解题的思路,让学生的思维变得更加灵活,避免学生在解题时思维停留在某一环节,让学生多反思、多探究,学会探究数学题的不同解法。学生如果具备较强的解题反思能力,就能更深入地体会数学的奥秘,在反思的过程中总结解题的经验,避免在后续解题时犯同样的错误。数学解题方法多种多样,从不同方向入手都能得到正确答案。因此教师在数学解题教学中,围绕一道题目要通过多种思考途径进行讲解,让学生认识到一道数学题并非只有一种解题思路,这样就能让学生在反思的过程中,逐渐拓宽自身思路,让学生的思维更加活跃,在总结错题经验的过程中,提高解题能力。

(二)提高学生的解题能力

数学题以考查学生掌握知识点的情况为目的,因此学生在解题后或者在解题时遇到不会的题目,一定要通过反思认识到数学题考查的是哪些知识点,反思自己不会的题目或者做错的题目是否因为自己对对应知识点的掌握不够牢固。传统高中数学教学中,教师和学生可能认为解题反思非常浪费时间,但实际上学生只有真正反思和总结各种类型的题目,才能真正意义上提高自己的解题能力。

四、高中数学解题过程中培养学生反思能力的关键点

(一)数学概念及公理

高中数学教学中,概念与公理是无数专家学者经过理论研究和实践论证的成果,学生在解数学题的过程中,会直接套用这些概念和公理,尤其是在完成证明类的题型后,数学概念与公理能帮助学生顺利解题,学生只有真正记住数学概念和公理,明确二者的含义,才能顺利、准确地完成数学解题任务,因此在培养学生解题反思能力时,数学概念及公理是教师要关注的重点。

(二)数形结合

高中数学解题教学中,数形结合是一种重要思想,尤其是在对函数、方程等题型进行求解的过程中,可以将数学题转化为对应的图画,更方便学生对数学题的理解,让数学知识直观呈现出来。学生掌握利用图形表达数学题内容的方式,能降低学生解题的难度,如果学生在建立与数学题对应的图像后,可以从图像中快速找到解题的关键信息,就能顺利找到数学题的答案。因此,对学生解题反思能力的培养,要将数形结合作为关注的重点。

(三)函数与方程思想

高中数学教学中蕴含丰富的知识点,其中函数知识点的抽象性很强,需要学生在学习过程中学会思考、学会学习,便于更好地理解函数的本质。学生在解答数学题时,其具备的函数思维对解题过程以及解题结果都有决定性作用,学生只有具备函数思维,才能有效地解决函数问题。而方程在解题时的应用,也是解决数学题的重点,在应用相应知识点的过程中,要高度重视方程函数思维和基础知识间的转换,避免学生在解题的时候出现差错。

(四)分类讨论

高中数学教学中,当在涉及复杂的解题任务时,采用分类讨论的方法,能帮助学生克服解题时面临的困难,倘若学生掌握了正确的分类讨论方法,就可以在解题过程中更快地理解数学题的内容。因此,教师在培养学生解题反思能力的过程中,要注重培养学生的分类讨论能力,通过引导学生围绕重点题目进行分类讨论,有效应对各类复杂的挑战。

五、高中数学解题教学中常见的问题

(一)习题选择与审题不严谨

高中数学解题教学中,教师如果能为学生选择典型的习题,学生的学习效果、学习效率等会大幅提升,在培养学生反思能力时也能达到事半功倍的效果。但从目前的情况来看,有些教师在选择数学习题时存在一定随意性,一般是根据教材内容按顺序为学生提供习题,未科学地对各类习题的质量进行分析,导致最终选择的许多习题缺少代表性、经典性,这些问题的存在不利于学生对某一知识点的掌握,会严重影响学生解题的效率。部分教师对学生审题缺少关注,可能导致学生在审题时面临审题方法选择不合理、审题过程不严谨的情况,学生通过审题可能无法了解题意,这样就会增加学生解题的难度,导致学生解题的速度和质量大幅下降,不利于学生解题、反思等能力的提升。

(二)解题训练的方式单一

部分教师在组织开展解题教学时,更关注解题与教学进度的一致性,重视学生解题能力的提升,喜欢采用题海战术,让学生通过反复解题掌握各类题型的解法。对学习能力强的学生来说,由于长时间进行反复解题,接触的高难度习题较少,可能会逐渐对解题探究失去兴趣;而对学习能力弱的学生来说,其基础知识还不够牢固,在解题过程中难以保证效率,并且会遇到无法解决的难题,这样就会导致学生的数学学习兴趣下降。可以看出,在高中数学解题教学中,还存在训练方式单一的情况,不利于学生解题能力与反思能力的培养,有必要转变传统的解题教学方式。

(三)选择的解题方法不科学

传统教育思想影响下,有的教师在解题教学中,缺少创新的意识,可能会影响学生参与解题的积极性,不利于培养学生的解题与反思能力。部分教师在解题教学中很少采用创新性和趣味性的教学方法,一般通过板书、口头讲解指导学生解题;一些教师在解题教学中,未明确学生的主体性,教师完全主导了整个解题教学过程,学生接受知识和解题的过程十分被动,这会限制学生思维发散的空间,还有部分学生对教师的讲解产生过度依赖性,难以通过解题锻炼学生的思维能力、探究能力。

(四)解题后缺少总结探究

部分教师与学生在解题后,缺少主动总结、探究和反思,对解题结束后这一阶段的认识存在不足,认为完成解题并得出正确答案后解题就已经结束。部分教师在解题教学中,很少会围绕学生的解题思路与方法展开总结,这种教学方式不利于学生总结解题规律和解题方法,也不利于学生解题思维的形成。有些学生对错题的关注度偏低,没有主动整理和利用错题,在解题后的反思环节,主动避开错题,这就导致学生在解题过程中逐渐出现薄弱环节,学生即便通过了积极反思,也无法弥补和巩固自己在解题中的薄弱点,这会严重制约学生解题能力的发展。

六、高中数学解题过程中培养学生反思能力的策略

(一)精心选择习题,引导学生审题

高中数学解题教学中,教师为学生选择的习题,直接会影响教学效果,对学生解题与反思能力的养成起到决定性作用。数学题是学生反思的立足点,学生在思考、探究、解答的过程中,能逐渐养成一定的反思能力。教师要关注数学题的选择,精心选择具有针对性、代表性的题目,便于学生在解题的过程中主动反思、学有所获。教师在选择数学题时,要综合考虑学生所学的知识,保证数学题中的概念、公理等能被学生理解,降低学生解题的难度,为培养学生的反思能力作好铺垫。教师要考虑到不同学习水平的学生的特点,选择难度适宜的数学习题。以“函数的概念与性质”为例,为了让学生理解函数的定义域,教师可以选择下列两道习题：①如f(x)定义域为[-3,3],则f(3x+5)的定义域为?②如f(x)的定义域为[-3,3],则f(3x)的定义域为?教师在选择好数学题后,要给学生自由选择习题的机会,让学生根据自己的能力水平,选择最合适的数学题进行解答。教师选择了合适的习题后,要引导学生认真审题,鼓励学生在审题的同时反思习题中的知识点,从中找到正确的解题方法,明确不同解题思路,为培养学生的解题反思能力做好铺垫。教师要分别带领学生对题目中的知识点以及题目给出的条件进行反思,带领学生探究题目中蕴含的隐形条件,指导学生对各种条件进行挖掘与利用,在此基础上找到正确的解题思路。

(二)创新训练方式,提炼解题方法

教师在解题教学中要适当整合教材中的内容,将教材内容细分、重组,将知识点与相应的数学思想结合起来,并重新展示给学生。教师只有不断在学生面前呈现数学思想,培养学生运用数学思想与数学方法的能力,才能让学生将数学思想与数学方法应用于解题实践,真正地提高学生的解题能力。在解题教学中,教师要想培养学生的反思能力,要注重对解题训练方式进行创新,不仅要重视解题结果的正确与否,还要带领学生对解题过程进行反思。例如,在“基本不等式”的学习中,围绕不等式3<|2x-3|<5 (1)求解,教师可以传授学生两种不同解法,并让学生按照不同解法自主解题：①不等式(1)等价于不等式|2x-3|>3、|2x-3|<5,分别进行求解后可知不等式(1)的解集为{x|3

(三)创新解题方法,反思促进解题质量提升

教师要主动转变过去反复进行解题训练和整体把控解题过程的教学模式,尊重学生的主体性,主动创新解题教学方法和策略,为学生提供足够的自主探究和创造反思时间。如教师在解题教学中,可以传授学生一题多解的反思方法,引导学生深入探究题目,深挖题目中的隐性条件,提炼并总结题目规律,在此基础上调动学生的数学思维。例如,在习题(2)中：已知定点C的坐标为(2,2),过点C的直线CA和x轴相交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB和y轴的交点为B,设点M是线段AB的中点,求解M的轨迹方程。对这一习题进行求解的过程中,教师首先要带领学生理清解题思路。解答习题(2)的重点是要找到动点M和固定点C二者的关系,并在坐标轴上标注处理;教师要让学生思考M可以满足哪些条件,同时关注题目中给出的CB和CA垂直的条件,由此可知可以通过CB和CA两条直线垂直斜率的乘积为-1来表示这一性质,并由此延伸出两种解题方法。

∴(2x-2,2)·(-2,2y-2)=0,

∴习题(2)的轨迹方程为x+y-2=0。

对解法一进行反思,要考虑除了斜率乘积为-1能对直线的垂直关系进行表示外,还要让学生反思是否能用其他数学符号表示。如学生在之前学习了向量知识,两平面向量垂直即它们的数量积为0,在这样的条件下是否能在不讨论斜率的情况下得出其他解法。每一解法之间环环相扣,学生通过反思不仅可以掌握习题的正确解法,还能在反思、解题的过程中联系不同的知识点。

(四)反思解题结果,提高学生的认知

七、高中数学解题过程中培养学生反思能力的注意事项

(一)及时纠正错误

高中数学解题过程中,学生经常会出现错误,需要学生通过反思了解怎样纠正自己的错误,只有这样才能帮助学生在解题过程中建构完整的思考过程。学生对错误解题的反思必须要及时,教师只有引导学生趁热打铁,才能通过反思强化解题效果。当学生在课堂上为学生展示数学习题后,发现学生在自主解题时出现了错误,教师围绕学生的错误进行讲解时,课堂上并没有学生对教师讲解的内容提出异议,教师可能认为所有学生都能听懂。但是当教师为学生布置了同类数学作业后,会发现学生仍然出现了同样的错误。在这个时候,教师如果不及时纠正,可能导致学生形成错误的记忆和错误的解题思路,并在潜移默化中养成不良解题习惯。针对上述问题,教师必须加强对学生的引导,尽量在当堂课或者当天带领学生进行反思,保证纠正错误的及时性,以此提高解题反思的价值,力求通过对学生提供指导,带领学生在总结反思的过程中认识错误、改正错误,并在教师的严格督促下,让学生养成良好的反思习惯。

(二)认真分析题目

高中数学解题过程中,教师要引导学生认真研究和分析数学题目,带领学生通过题目的语言表述,发现有利于解题的线索,力求在题目中发现新问题。数学解题期间,学生要记忆好常用的结论,对数学知识点要形成深入理解,围绕数学问题展开研究。如习题直线(4)中：L点经固定点C(3,5),同时与x和y轴的正半轴相交,与x的交点为A,与y轴的交点为B,计算△AOB的面积,教师在带领学生分析题目内容时,可以带领学生将这个坐标轴画出来,直观观察△AOB的位置,也可以向学生提问：①△AOB在第几象限?②△AOB是哪种类型的三角形?③求直角三角形面积的方法有多少种?教师在带领学生分析题目的过程中,结合题目内容适当提问,就能更好地帮助学生理解题目,这样一来学生就能通过对问题的反思,找到正确的解题方向。

(三)重视归纳总结

总结和反思,能帮助学生找到数学习题中不同知识点的联系和差别,学生不仅要学会解题,还要学会反思,不断归纳总结,了解习题中数学知识点之间的逻辑关系,在此基础上感受数学学习和解题反思的乐趣。尤其是在面对同一习题可以采用多种解题方法时,教师要引导学生反思怎样利用不同方法进行解题,整理各种解题方法,通过回顾、反思的方式,进一步巩固学生的思维形式,让学生掌握解决习题的正确方法,在潜移默化中提高学生的解题能力与反思能力,养成良好的反思习惯,确保学生在反思过程中能提高自身对数学问题的认识,将原有知识点与分散知识点联系起来,形成完整的知识体系和方法体系。

八、结论

综上所述,高中数学教学中,学生的反思能力和解题能力呈正相关关系,解题作为数学学习的重要内容,在解题教学中需要教师将培养学生反思能力作为重点,主动探寻培养学生反思能力的方法。数学解题教学中,教师要为学生留下足够的反思时间,将正确答案、错误习题等都作为反思的对象,不仅要调动起学生的思维,还要引导学生深入探究习题,只有这样,学生才能逐渐养成较强的反思能力。