用跨学科知识解决“将军饮马”问题

黄树明

(重庆市江津区支坪初级中学校,重庆 402278)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确提出:设立跨学科主题学习活动,加强学科间相互关联,以问题解决为导向,整合数学与其他学科的知识和思想方法,提高分析与解决问题的能力[1].

“将军饮马”问题虽然主要考“两点之间,线段最短”“垂线段最短”这两个知识点,但由于涉及动点问题,综合性比较强,学生研究起来普遍感觉很吃力.很多研究者将其分为两定一动、一定两动、两定两动等很多种情况,然后根据实际情况再细分为很多种模型进行研究,这样研究起来复杂而繁琐,也不利于知识的迁移和应用.

光程最短原理是一个物理学知识.光沿直线传播,光程是光运动的最短路径.利用光程最短原理,从研究光的运动方向和运动路径着手,研究平面几何中著名的“将军饮马”问题,会有意想不到的作用和效果,过程会轻松加愉快.

例1 点A和点B为直线m外的两个定点,且点A和点B均位于直线m的同侧,在直线m上找一点P,使PA+PB最小.

图1 直线m同侧两点,动点在一条直线上

解 不妨在直线m上任选一点P,假设光从点A出发,先到达直线m上的点P,然后从点P到达点B.画出光的运动路径及运动方向,可以看出点A到点P的运动方向与点P到点B的运动方向并不一致,不是按比较接近于沿着一条直线的方向运动.利用轴对称变换,将线段PB沿着直线m翻折得到线段PB1,这时可以发现点A到点P的运动方向与点P到点B1的运动方向,是基本一致并且比较接近于沿着一条直线的方向运动,同时PA+PB=PA+PB1.由于点A与点B1均是定点,利用两点之间线段最短,很显然,符合题意的点P应该位于线段AB1与直线m的交点处.

图3 一个动点结合垂线段最短

例3 如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E为AD的中点,将△CDE沿CE翻折得△CME,点M落在四边形ABCE内.点N为线段CE上的动点,过点N作NP∥EM交MC于点P,则MN+NP的最小值为________．

例4 如图4,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=3,点E为菱形ABCD的对角线BD上一动点,点F、G为线段AB、AD上的动点,试求EF+EG的最小值?

图4 三个动点结合平行线间距离

例5 如图5,直角坐标系中,B(4,6),以点A(-2,3)为圆心以1为半径作⊙A,M是⊙A上的动点,P为x轴上的动点,则PM+PB的最小值等于________.

图5 动点在圆和直线上

利用光程最短原理,从研究光的运动方向和运动路径出发,结合轴对称变换,使“将军饮马”问题的研究更加直观、形象,研究过程更简便、快捷,也更容易被学生理解,有利于学生养成利用跨学科知识解决问题的意识,也有利于逐步形成学生的数学核心素养[3].