基于“化归思想”对数列问题的讨论

白晓颖　任琛琛

［摘 要］化归思想是解决数学问题的一种重要思想。文章以“数列”知识为载体，探究化归思想在解决数列问题中的应用，从而拓展学生的解题思路，提高学生的解题能力，促进学生数学学科素养的提升。

［关键词］化归思想；数列；应用

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）20-0024-03

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在教学实施建议中提出：既要重视教，更要重视学，促进学生学会学习。教师应加强学法的指导，帮助学生养成良好的学习习惯。数学本身就具有抽象性，学生理解起来比较困难，这就要求教师在教学时注重数学思想方法的渗透，不能机械地给学生教授知识，尤其是在解题过程中，不能让学生为了做题而做题，要讲求解题的方式方法。例如将未知条件转化为已知条件；将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题等。教师只有在日常教学中逐渐渗透数学思想方法，才能促进学生举一反三、融会贯通。近几年高考数学试题经常会考查学生对化归思想的使用情况，本文将重点叙述化归思想在数列问题中的应用。

一、化归思想的要义

化归不仅是一种重要的解题思想，还是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。化归思想是指将较难解决的问题通过转化，化归为较简单的或者已经解决的问题。化归思想的实质是运用发展的、相互制约的观点看待问题。在数学教学与数学解题中会经常使用化归思想。

二、化归思想的应用指导

（一）注重基础知识的掌握

应用化归思想的基础条件是将教材中所呈现的知识熟练掌握。只有将基础知识熟记于心，才能在解题时熟练应用。基础知识是前提，是成功解决复杂问题的必要条件。数学知识不是孤立地存在于各个章节，而是有着密切的联系。数学是一个相互关联的整体，不同章节的知识可以综合起来考查学生对知识的理解程度，所以这也就加大了题目的难度，这就要求学生在牢牢掌握基础知识的前提下，能够自然地将不同章节的知识串联起来，形成一个完整的知识体系，这样学生在解决复杂问题时就不会表现出慌乱，有助于学生更好地理解题目，使学生的解题思路更加顺畅。

（二）注重化归思想的应用

化归思想是一种重要的数学思想方法，是解决数学问题和生活实际问题的一种惯用方法，应用化归思想要遵循熟悉化、简单化、直观化的原则。学生在解决问题时怎样才能有化归意识，想到利用化归思想来解决问题呢？这需要教师在教学时潜移默化地给学生渗透化归思想，让学生慢慢去体会，慢慢去感悟。教师应该引导学生采用化归思想去分析题目，使学生学会在不同类型的题目中使用化归思想去解决问题，体验解题的快乐，从而激发学生的探究兴趣。转化与化归的方法有多种，结合实际的学习与探究发现，具体包括陌生问题熟悉化、复杂问题简单化、一般问题特殊化、抽象问题具体化、实际问题数学化等。对不同的数学问题应采用不同的转化与化归方法，这样才能够确保问题得到有效解决。但是在实际的解题过程中，部分学生无法正确分析题目，将其转化为自己熟悉的问题，从而解决原问题。应用化归思想解题的思路如图1所示。

三、化归思想在数列问题中的应用

“数列”是高中数学的重要组成部分，也是新高考的重点内容。“数列”并不是孤立的知识，它与函数、不等式、统计与概率、导数等都可以联系起来，这也变相地加大了数列题目的难度。因此在解决数列问题时也要讲究方式方法。教师在教学时应用一道题来体现一类题目的解法，以加强学生数学学科核心素养的训练。

（五）实际问题数学化

学习的目的不仅仅是为了解决数学题目，更重要的是会利用所学的数学知识解决现实生活中的问题，这样学生不仅巩固了数学知识，还可以在解决实际问题时体会数学的价值，从而构建起“学”与“用”的桥梁，进而提升学生的学科素养，实现知识的有效应用，这也是当今教学的一个重要内容，是提升学生学科素养的一个重要方式。

［例5］2022年北京冬奥会开幕式始于二十四节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来。我国古人将一年分为24个节气，如图2所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始。已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为1.5尺，则一年中秋分到大雪的日晷长的和为__________尺。

分析：本题是借助数学文化考查数列知识，提升学生的数学素养与民族自豪感。根据题意要先将实际问题转化为数学问题，然后再利用数学知识解决问题，在解题过程中利用化归思想，使实际问题数学化、复杂问题简单化。根据题意可记夏至日晷长为[a1]，冬至日晷长为[a13]，芒种日晷长为[a24]。[a1]，[a2]，[a3]，[…]，[a13]成等差数列，其公差为[d]；[a13]，[a14]，[a15]，[…]，[a24]成等差数列，其公差为[-d]。根据题目所给条件可得[a1=1.5]，[d=1]，从而可得秋分到大雪的日晷长的和为[a7+a8+…+a12=3×（2a1+17d）=60]（尺）。

评析：将实际问题数学化、抽象问题具体化，有利于学生更好地理解问题、解决问题，提升学生的逻辑思维能力，培養学生的数学建模素养。通过实际问题建立数学模型，或是将数学模型应用到实际问题中，才能称得上真正意义上的深度学习，同时也体现了化归思想在解决数学问题中的重要性。

数列是一类特殊的函数，函数可以和其他知识结合起来考查这样就加大了数列考题的难度。在问题解决过程中，首先要对基础知识和基本概念有清晰的认知，注重知识与知识之间的联系，再根据各类问题的不同特征进行分析，优化化归思想的运用。化归思想是一种重要的思维策略，也是十分重要的数学思想方法之一。化归思想不仅在数列问题中起着重要的作用，在其他单元也有着广泛的应用。数学思想可谓是数学的精髓，是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。我们可以将数学思想方法延伸到实际生活中，促进实际问题的解决。学生在思考问题和解决问题的过程中，不仅要不断总结规律，讲究解题的方式方法，还要能够熟练地将问题进行有效的转化，不断实践总结，提升自己解决问题的能力。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］  陈明菊.刍议转化与化归思想在高中数学教学中的应用原则研究［J］.考试周刊，2023（7）：58-62.

［3］  王德朋.化归思想在不等式证明中的应用［J］.数理化解题研究，2023（4）：78-80.

［4］  马海燕.基于化归思想的高中数学课堂教学思考［J］.中学数学，2023（3）：89-90.

（责任编辑    黄桂坚）