基于大概念的初中数学单元作业设计研究*——以“线段和的最值”为例

陈世文|浙江师范大学附属嘉善实验学校

2021 年4 月，教育部办公厅发布的《关于加强义务教育学校作业管理的通知》指出：“教师要提高自主设计作业能力，针对学生不同的情况，精准设计作业，根据实际学情，精选作业内容，系统化选编、改编、创编符合学习规律、体现素养导向的作业，提高作业设计质量.”而在以大概念为中心的单元设计成为落实学科核心素养重要抓手的背景下，以大概念为“锚点”进行一体化单元作业设计，成为提高作业设计质量，减轻学生课业负担的重要尝试［1］.下面，笔者以“线段和的最值”为主题，对相关单元作业内容进行重整，具体阐述基于大概念的初中数学单元作业设计策略.

一、单元大概念的“双向”提取

大概念实际就是一个概念、主题或问题，它能够将离散的事实和技能聚合起来，形成有意义的理解［2］.它能帮助学生更好地实现迁移，将知识、方法、能力等运用到新的问题情境中解决实际问题.它是学科体系中居于核心地位的概念、原理、方法，具有高度的概括性、统摄性和迁移性.其提取的主要策略如表1所示.

表1 大概念的提取策略

自上而下提取的大概念在很大程度上是“现成”的，难点在于教师能否准确理解大概念，并根据学生和教学的实际情况进行细化，包括梳理下位的大概念或小概念，以及找到教学的重难点等。自下而上提取的大概念，难点在于教师能否沿着正确方向上升到大概念的层面，这就要结合生活和教学经验不断追问，综合更多的具体案例和小概念，思考是否有更加上位并能反映专家思维方式的大概念。在很多情况下，大概念的提取是几条路径共同作用和验证的结果。如“线段和的最值”单元大概念为“利用图形变化化折为直”，笔者从以下两个方面进行提取验证.

（一）自上而下解读课程标准

初中阶段，学生主要学习了平移、轴对称、旋转和相似变换，《义务教育数学课程标准（2022 年版）》将图形的轴对称、图形的旋转、图形的平移、图形的相似统称为“图形的变化”，并在“学业要求”中指出：“理解轴对称、旋转、平移这三类基本的图形运动，知道三类运动的基本特征，会用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象……在这样的过程中，发展几何直观和空间观念.”而用图形变化的方法来处理初中几何课程的难点问题，就是把数学建立在现代数学的基础上，使中学课程的风格和语言接近于现代数学的风格和语言，使学生的思维向现代数学思维发展的一个显著体现［3］.

（二）自下而上剖析共同结构

求解线段和的最值问题是初中几何的重点问题，也是近几年各地中考的难点、热点问题.通过分析此类问题的共同结构和一般解法，笔者发现，其本质是运用轴对称、平移、旋转、相似等图形变化，将不可（易）求的线段之和转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”进行求解.

二、大概念单元作业的“三化”设计

大概念单元作业设计，是指在单元层面围绕大概念的理解和应用，重点对单元作业目标、单元作业规划和单元作业问题进行设计的系列活动.

（一）融入大概念的素养化单元作业目标设计

数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是数学思维品质，关键能力，情感、态度、价值观的综合体现.大概念可帮助学生在数学学习和应用过程中逐步形成和发展相应的素养.因此在大概念单元作业的目标建构中，教师要建构融入大概念的素养化单元作业目标.

第一部分是素养目标.预期成果是结构化的素养目标，它回答“学了这个单元后，学生具备什么样的素养”这个问题.第二部分是单元大概念.素养目标建立在对单元大概念的理解之上，单元大概念也是一种预期学习结果.第三部分是具体单元目标.具体单元目标一般包括两个部分，即内容（学习什么内容）和表现（要做到什么），有时候也包括程度（达到什么要求）.以“线段和的最值”的单元作业为例，其目标设计如表2所示.

表2 “线段和的最值”单元作业的素养目标、单元大概念、具体单元目标

（二）贯穿大概念的思维化单元作业规划设计

以大概念为线索来分析单元的结构，进行单元规划，先要根据大概念对内容进行整理，以大概念连接各个相关的课时，明晰各个大概念与各个课时之间的关系，创设单元内链接，再设计单元规划表，通过规划表让师生了解单元作业的总体规划、课时目标等.以“线段和的最值”的单元作业为例，其围绕大概念对“单元—课时”作业进行的规划安排如表3所示.

表3 “线段和的最值”单元作业的课时规划、单元作业内容、课时作业目标

（三）联结大概念的序列化单元作业问题设计

序列化的问题设计基于学生视角，渗透于整个大概念的教学过程之中，包括准备、建构、应用和反思等阶段.准备就是认识到学习的价值和方向，建构就是通过具体问题理解大概念，应用就是将大概念应用于新的问题情境中解决新的问题，而反思则贯穿于整个学习过程，不断地进行自我评价和整合［4］.下面是“线段和的最值”第1 课时单元作业“‘将军饮马’问题”的序列化问题设计.

1.情境引入，初步感知大概念

［情境］唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题.

问题1：将军从西北边的A营地出发，向南到一条笔直的河边饮马，然后去东北边的B营地，问将军到什么地方饮马，可使所走路程最短？

设计意图：通过问题情境，激发学生的学习兴趣，引导其通过问题解决，初步体会利用轴对称变换“化折为直”的思想方法，感知大概念.

2.尝试运用，自主建构大概念

问题2：Rt△ABC 中，AC=BC=4，点D，E 分别是AB，AC的中点，P为CD上一动点，则PA+PE的最小值是______.

问题3：已知正方形ABCD 的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N是对角线AC上一动点，则DN+MN的最小值是______.

问题4：AB 是⊙O 的直径，P 为直径AB 上一动点，C为半圆AB上的四等分点，D为弧BC上的三等分点，已知⊙O 的半径为1，则PC+PD的最小值为_______.

设计意图：通过问题串，在三角形、正方形、圆等不同背景下运用轴对称变换“化折为直”，求解线段和的最值，让学生掌握解决此类问题的一般方法，从而自主领悟、建构大概念.

3.变式拓展，深度理解大概念

问题5：在锐角三角形ABC中，BC＝4 2，∠ABC＝45°，BD 平分∠ABC，M，N 分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是_______.

问题6：∠AOB=30°，M，N 分别是射线OA，OB 上的动点，OP 平分∠AOB，且OP=6，则△PMN的周长最小值为_______.

问题7：在直角坐标系中，A（-3，-1），B（-1，-3），若D 是x 轴上一动点，C 是y 轴上一动点，则四边形ABCD 的周长的最小值是_______.

设计意图：从“一动两定”到“一定两动”再到“两定两动”，让学生在层层递进的系列问题中深刻体会运用轴对称变换“化折为直”的思想方法和解题本质，从而深刻理解、掌握大概念.

4.综合运用，迁移完善大概念

问题8：菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=6，⊙A，⊙B的半径分别为4和2，P，E，F分别是线段CD，⊙A，⊙B上的动点，求PE+PF的最大值.

设计意图：在复杂、新颖的背景（三动点）下继续运用轴对称变换进行转化、求解，提升学生综合运用轴对称变换“化折为直”解决问题的能力，从而进一步完善大概念.

三、大概念单元作业“三聚”评价策略

大概念单元作业评价旨在促进学生自主完成作业，重视学生理解障碍的突破、补偿学习的跟进和知识系统的整理等.立足大概念的学习，要进行评价活动的开发和设计，从而掌握学生作业目标的达成情况.

（一）聚焦大概念理解的“量规评价”

在单元作业评价中，不论是公平地进行学习的评价，还是提供具体的学习性评价的反馈，或是为学习式评价提供改进的方向，都需要提供详细的评价量规，并且最好在单元教学一开始就提供给学生，这样才能让学习有方向可循.具体来说，根据评价对象的不同，评价量规可分为成果评价量规（对成果或作品的质量进行评价，如表4所示）和认知评价量规（对成果或作品所反映的认知水平进行评价，表略）［5］.前者对看得到的外在学习成果进行评价，后者对看不到的内在认知结构进行评价.

表4 “线段和的最值”单元作业成果评价量规

（二）聚焦大概念生长的“可视评价”

可视化思维工具一般通过图表的方式梳理概念与知识、概念与概念、知识与知识之间的关系，从而能够使知识系统化，让思维结构化、可视化.此类评价方法适用于大概念单元作业.在学生完成单元作业之后，教师让学生尝试绘制思维导图，有利于评价学生是否真正理解单元作业的意图，并能帮助学生体会知识、概念之间的关联，形成结构化思维.

（三）聚焦大概念内生的“反观评价”

大概念单元作业强调学习式评价，因此自我反思是一种重要的评价方法.通过反思完成单元作业前和单元作业后的个人意涵图，学生可清晰地看到自己的进步.教师还可让学生写单元学习反思报告，其要点如下.

（1）通过这个单元作业，我（们）学到了什么大概念？（2）这个大概念还可用于解决哪些问题？（举例）（3）通过这个单元作业的学习，我（们）还有哪些困惑？

综上，以大概念为视角进行单元作业设计，可以避免从微观角度仅仅把握某个课时的割裂问题，有助于增强同一单元不同课时作业之间的结构性和递进性，有助于将单元整体培养目标、教学、评价、作业、资源等进行系统思考.基于大概念的单元设计赋予作业实质性的意义，是将学生习得的知识内化为能力的重要途径.