乘法，真的是加法吗？

【摘   要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“乘法是加法的简便运算。”通过语义分析和历史考察发现，像这样用加法定义乘法是一种偶然，而且并不准确。除“加法说”外，关于乘法的定义还有“比例说”，据此可提取出乘法运算与加法运算不同的本质属性，至少包括“以数生数、相得乃生和构成比例”。由此得出结论：乘法并非加法的简便运算，其意义在数学课程中是不断进化与拓展的，因此学生的认知过程应当是提升与修正的概念转变过程，而不是通过还原为加法，把“多元的意义变为单一”，把“多样的算法变为一样”，更不应让学生形成“所有乘法都要还原成加法”以及“所有数的乘法都一样”的误解。

【关键词】乘法；加法；比例；一致性

小学数学课程通常用加法定义乘法，把乘法运算视为相同加数求和，是加法的简便运算，这不妨称作乘法定义的“加法说”。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）在第一学段的“学业要求”和“教学提示”中要求学生描述并理解“乘法是加法的简便运算”，默认了“乘法是加法”的判断为真命题。然而，通过语义分析和历史考察，发现事实并非如此。

一、语义分析

“乘法是加法”的表述属于“A是B ”的句式，当A与B分别表示同类事物、事件和人时，二者的关系主要有两种：“同一关系”和“包含—被包含关系”。［1］乘法和加法同属运算类，并不符合这样的语义关系。

“同一关系”指的是两个不同的名称所指的是同一对象或同样意义。如“中国的首都是北京”，“中国的首都（A）”与“北京（B）”是同一城市的两个不同名称，所指对象和意义相同。此时主语A与宾语B具有顺序的可交换性，“A是B ”与“B是A”具有相同的意义，“中国的首都是北京”与“北京是中国的首都”意义相同。数学课程内容中类似的例子很多，如“下午3点是15点”。乘法与加法两种运算显然不是这样的同一关系，即乘法不等于加法。

“包含—被包含关系”指的是将宾语B所指对象视为一个集合（属概念），主语A所指对象是宾语B中的元素或子集（种概念），所以也叫种属关系。如“我们是教师”，“教师（B）”是一个职业名称，是包含很多人的集合，“我们（A）”是被包含于或属于这个集合的元素或子集。此时，“A是B ”中的主语和宾语不具有顺序的可交换性，也即不能说“教师是我们”。正如数学中可以说“2是质数”，但不能说“质数是2”；可以说“正方形是长方形”，但不能说“长方形是正方形”。乘法与加法当然也不是这样的种属关系，即乘法不属于加法。

无论是同一关系还是种属关系，如果“A是B ”为真，就意味着A要具备B的全部属性，即“如果是A则是B ”与其逆否命题“如果非B则非A”需要同时为真。比如，如果“我们是教师”为真，那么“我们”中的任何成员都一定是教师；反之，不是教师的人一定不是“我们”中的成员。再如，因为“2是质数”为真，所以不是质数的数一定不是2。

对于乘法与加法两个运算，如果说“乘法是加法”为真，就意味着每一个乘法运算应当具有加法运算的全部属性，即“如果是乘则是加”与“如果非加则非乘”同时为真。从算法的角度看，这样的判断适用于整数（自然数），如乘法算式“2×3”等价于加法算式“2+2+2”或“3+3”。但类似于“0.2×0.3”以及“[23]×[34]”这样的小数和分数乘法，就会呈现出“乘法未必是加法”的特征。

二、矛盾的出现

如果乘法在整数范围内是加法，在分数或小数范围内又不是加法，就出现了“乘法既是加法，又不是加法”的现象。形式逻辑中的“无矛盾律”要求两个相互对立的判断在同一系统中不能同时为真。如果把小学数学中的整数、分数和小数视为一个数的系统，那么“乘法是加法”与“乘法非加法”同时为真，就成了逻辑意义的自相矛盾，即乘法运算在数学课程内容中呈现出违背“一致性（consistency）”的“非一致性（inconsistency）”现象，因而成为学生认知上的障碍。

这样的问题实际是源于乘法运算的意义进化。随着学段的升高，数学课程中数的范围不断拓展，乘法运算的意义自然也会随之变化和延伸。巩子坤等认为：“从运算意义的角度而言，所有运算都可以还原成加法，加法是所有运算的基础。”［2］并将这一判断应用于整数、分数、小数乘法运算的一致性上，具体做法是利用所谓的“计数单位”［3-4］，将分数和小数这样的“非整数”还原为整数，将分数与小数“非加法”的乘法运算还原为加法。赵莉等将乘法运算的一致性表述为：计数单位与计数单位相乘，计数单位个数与计数单位个数相乘。［5］125如小数乘法“0.2×0.3=（2×0.1）×（3×0.1）=（2×3）×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06”和分数乘法“[23]×[34]=（2×[13]）×（3×[14]）=（2×3）×（[13]×[14]）=6×[112]=[612]=[12]”的运算。她还将这样的内容用在六年级总复习教学中，并将教学效果表述为：“非常值得高兴的是，课堂上几乎所有的学生都恍然大悟，原来整数、分数和小数的运算都是一样的。”［5］127 然而，这样的教学设计与教学极易让学生形成“所有数的乘法都一样”的思维经验。试想，如果六年级学生形成了“所有数的乘法都一样”的认识，他们进入中学面对诸如[2×3]这样的无理数乘法时，该如何将其还原为加法进行认识与理解呢？

像这样将“非整数还原为整数，非加法还原为加法”的做法，是把“多样的算法”变为“一样的做法”，仅是对小数和分数乘法运算的程序操作和正确性的解释，具有类似于计算机程序的特征，局限于符号运算的程序性和正确性，并未呈现出乘法运算的实际意义和本质属性，而且由此形成的思维定势，会对今后进一步学习数学产生加法“固着（fixation）”的负面影响。

长期以来，数学课程与教学研究中对“乘法是加法”的质疑和反对的声音很多。美国著名哲学家、教育家约翰·杜威（John Dewey）等早在19世纪出版的《数的心理学》中就明确指出：“如果有人坚持说乘法是加法，就請他用加法说明为什么[2×3=6]。”［6］美国20世纪著名心理学家爱德华·李·桑代克（Edward Lee Thorndike，1874—1949），在1922年出版的《算术心理学》中说：“研究表明，乘法源于计数（counting），而不是像许多教科书所说的，乘法源于加法。”［7］

杜威与桑代克是从心理学研究的角度证明乘法与加法的思维过程和方式是不同的。美国哈佛大学的凯斯·德芙林（Keith Devlin）则于2008年发文，从数学专业的视角反对乘法定义的“加法说”，并强烈呼吁停止用加法定义乘法。［8］加拿大卡尔加里大学研究数学教育的布伦特·戴维斯（Brent Davis），于2011年在美国《科学》杂志中刊文指出，“乘法是加法”只在小学低年级适用，稍高年级就会发生变化，并用实例提出质疑：

l 圆的直径[d]与圆周率[π]相乘等于圆周长：[π×d]怎么是加法呢？

l 负数的乘法运算：（-1）×（-1）= +1怎么是加法呢？［9］

事實上，诸如此类都是“乘法是加法”这一命题的反例。著名数学哲学家马克·斯坦纳（Mark Steiner，1942—2020）把“加法说”的乘法定义称为“伪定义（pseudo definition）”，它混淆了乘法的“应用（application）”与乘法的“定义（definition）”。［10］也就是说，相同加数求和可以用乘法仅是乘法的一个应用，并不意味着“乘法是加法”这一命题为真。由此看来，从语义、思维、数学和逻辑等方面看，“乘法是加法”和“乘法是加法的简便运算”的说法都缺乏依据，至少是不准确的表述，试图用其解决乘法运算的一致性问题自然是不可能实现的，因此需要从历史的视角进一步考察：

l 乘法定义的“加法说”是如何形成与发展的？

l 乘法运算的实际意义和本质属性究竟是什么？

三、历史考察

（一）加法说

不可否认，乘法定义的“加法说”是有历史传承的，古今中外普遍存在。我国历史上最为经典的是清代数学家焦循（1763—1820）在《加减乘除释》第三卷中的说法：“乘以驭加之繁，除以驭减之繁。”［11］英国19世纪著名数学家奥古斯丁·德·摩根（Augustus de Morgan，1806—1871）所著的《算术原本》中也有类似的表述。［12］

究其根源，这样的认识源于古希腊欧几里得《几何原本》的第一个英译本，出版时间为1570年，译者是曾任英国伦敦市长的亨利·比林斯利（Henry Billingsley，1538—1606），他将希腊原文定义中的“συντεθ”译为英文的“自身相加（added to itself）”。［13］后人经考证，发现这是误译，希腊原文的本义是几何图形“放在一起（placed together）”（如图1）。况且《几何原本》中的乘法定义出现于第7卷，之前的6卷中从未出现过加法概念及其定义，按照《几何原本》严谨的演绎推理风格，不可能用未定义的加法定义乘法。［14］

比林斯利翻译的《几何原本》英译本广为流传，使“乘法是加法”的说法影响广泛，后续许多《几何原本》的英译本都沿袭了比林斯利英译本的表述，自然也影响到了《几何原本》的中文译本。兰纪正等依据20世纪标准的希思（Thomas Little Heath，1861—1940）英译评注本所翻译的中译本中，将乘法定义表述为：“所谓一个数乘一个数，就是被乘数自身相加多少次而得出的某数，这相加的个数是另一数中单位的个数。”［15］这样的表述与比林斯利英译本中的表述意义一致。由此看来，乘法定义的“加法说”是一种历史的偶然，而非必然。

（二）比例说

进一步考察发现，历史上对乘法还有一种“以数生数”的定义。［16］17世纪英国艺术家、诗人爱德华·柯克尔（Edward Cocker，1631—1676）所著的《柯克尔算术（Cocker Arithmetick）》［17］在当时的欧洲影响广泛，书中对乘法的定义为：“乘法是从两个数生成①第三个数的运算，生成的第三个数与其中一个数的比，等于另一个数与单位的比。”［18］用数学符号语言表述为：[a×b=c]是由[a和b]生成[c]的运算，生成的[c]与[a和b]的关系为：[c：a=b：1]或[c：b=a：1]。17世纪伟大的科学家、数学家牛顿所著的《通用算术（Universal Arithmetic）》中对乘法意义的表述与此类似。［19］

这样的认识与“加法说”不同，是将乘法运算看作“以数生数”的过程，生与被生的数构成比例关系，因此这样的乘法定义可以叫作“比例说”。按照美国著名数学史学家大卫·史密斯（David Eugene Smith，1860—1944）的考证，乘法定义的“比例说”源于东方的印度，在欧洲首次出现于1300年出版的用拉丁文介绍印度十进制记数与计算的小册子《十进制的技术（The Crafte of Nombrynge）》中。［20］

我国清代数学家李善兰（1811—1882）与英国传教士伟烈亚力（Alexander Wylie，1815—1887）合作翻译的《几何原本》第7卷中，也是用“比例说”定义乘法的：“甲乘乙既生丙，则乙度丙得若干，与甲中之若干一等。”［21］其中的“度”就是“比”的意思，即甲乘乙生成丙，乙与丙的比等于甲与一的比。李善兰与伟烈亚力在译本中没有具体指明译文依据的底本，但从乘法定义的表述看，与比林斯利的英译本明显不同。

利用“以数生数”表达乘法在我国历史上屡见不鲜。清代数学家梅文鼎（1633—1721）所著《笔算》中对乘法的定义为：“以数生数，是之谓乘，数不能自生，相得乃生，故乘亦曰因。生则不穷，故乘有升义，生则曰积，故乘有载义。”［22］伟烈亚力在所著《数学启蒙》中对乘法的表述为：“乘者生数也，以数生数，有生生不已之义焉。”［23］ 此后，汪香祖（1815—不详）的《中算斠》［24］ 以及民国时期出版的《增删校正算法统宗》［25］中 ，都有类似的说法。

通过以上考察可以得出结论，乘法定义的“加法说”出自《几何原本》，但并非是《几何原本》中乘法的本义。除此之外，还存在类似于“比例说”的其他认识。从“比例说”的视角看乘法运算，可以提取出乘法运算的本质属性，主要表现为：以数生数、相得乃生和构成比例。在此基础上，可以进一步分析乘法与加法在实际意义方面的差异。

四、实际意义

从广义的视角看，运算是一种“动作（operation）”，既有发生于现实世界具象的意义，也有发生于符号世界和思维世界抽象的意义。通过现实世界的具身动作、符号世界的程序操作和思维世界的推理想象三者之间的联系与交互，就构成了形成与理解运算意义的“概念域（conceptual field）”。［26］因此，对于乘法运算实际意义的形成与理解，仅局限于抽象符号的程序操作是远远不够的。下面以小学数学课程中的“搭配问题”为例，说明乘法与加法实际意义的不同。

l 问题：2件上衣和3条裤子，可以搭配出多少套衣服？

这一问题可以用抽象符号的乘法運算2×3=6得到“6套衣服”的答案。但从现实世界的具象意义看，此时2×3=6的意义并非“3个2”或“2个3”相加。数字符号“2”和“3”分别指现实世界的上衣和裤子，“3个2”是2件上衣重复3次，结果应当是6件上衣；同样，“2个3”是3条裤子重复2次，即6条裤子。可见，结果都不是“6套衣服”。因此把2×3=6看作加法，就无法实现符号世界与现实世界的联系与交互，自然也就无法形成并理解2×3=6的实际意义。

事实上，问题中的“搭配”体现的是乘法运算“以数生数”的意义，是现实世界“无中生有的制造”。给定的是“上衣”和“裤子”，此时现实世界中并不存在“1套衣服”，是人依据主观意愿无中生有地制造出来的概念。将1件上衣和1条裤子搭配成“一对”，成为一个新对象，命名为“1套衣服”，相当于制造了一个新对象的单位，用符号表示为：

l 1件上衣[×]1条裤子=1套衣服

如果把上衣和裤子视为产生整套衣服的原因，那么“搭配问题”还体现出思维世界“双因一果”的推理：给定1件上衣和1条裤子，使得“1套衣服”随之确定；那么给定2件上衣和3条裤子，可以确定多少套衣服？用符号表示为：

l 2件上衣=2[×]（1件上衣）

l 3条裤子=3[×]（1条裤子）

l 2件上衣[×]3条裤子=2[×]［3[×]（1件上衣[×]1条裤子）］=6（套）

此时2[×]3运算中的数字符号“2”和“3”所指的不再是上衣和裤子，而是抽象为思维世界的“倍”。运算过程是两次加倍，第一次是1套的3倍等于3套，第二次是3套的2倍等于6套（如图2）。

因此，“搭配问题”体现的是乘法运算“以数生数”的实际意义，表现为现实世界“无中生有的制造”以及思维世界“双因一果的推理”。小学数学课程中的“长方形的面积=长[×]宽”与“长方体的体积=长[×]宽[×]高”，其乘法运算的实际意义都与此类似［27］，依据的都是乘法定义的“比例说”，而不是“加法说”。

乘法运算与加法运算的不同还表现为因数之间的“相得乃生”，即因数与因数相互关联和相互作用的生数过程。对于加法算式ɑ+b=c，如果其中的加数b发生变化，比如增加1变为“b+1”，另一个加数ɑ保持不变，那么运算结果c随之增加1，变为“c+1”，即ɑ+（b+1）=c+1。运算结果c的变化与加数b的变化一致，与加数ɑ没有关系，这说明加法运算不具备“相得乃生”的属性。

乘法算式ɑ[×]b=c与加法运算不同，如果因数b增加1变为“b+1”，相当于作用于另一个因数ɑ的方式改变，运算结果从c变为“c+ɑ”，即ɑ[×]（b+1）=c+ɑ。运算结果的变化与另一个因数ɑ是相关的，两个因数ɑ与b是相互关联、相互作用的，具有“相得乃生”的意义。在“搭配问题”中，如果3条裤子增加1条变为4条，相当于增加了与上衣数相同的搭配方式，因此总套数就变为8套（如图3）。

由此可见，数学中的加法与乘法两种运算从实际意义方面看，并非“同一关系”或“包含—被包含关系”，当然也就不应将二者关系简单地表述为“乘法是加法”或“乘法是加法的简便运算”。因而“所有运算都可以还原成加法”这一命题也不成立。

数学课程内容的一个显著特征是意义的进化与拓展，因而数学课程与教学的目标之一是让学生有机会经历“概念转变”的过程。概念转变是理解过程中的修正与提升，需要经历的是“从否认到确认”，而不是还原。［28］因此，需要进一步理解数学课程内容的一致性，谨防误解。

五、谨防误解“一致性”

数学课程内容与教学所追求的“一致性”，并非把不同的内容变为相同，而是在承认进化与拓展的前提下，追求逻辑意义的“无矛盾性（consistency）”和认知上的“贯通性（coherence）”，让数学课程内容成为“无缝的序列（seamless sequence）”。［29］

逻辑意义的“无矛盾性”是同中之异在思维中的并存与契合，是矛盾的双方在一定条件下的相互转化，是“对立统一”辩证思维的表现。［30］比如计数过程中的自然数“3”，同时具有“第三”的序数意义和“三个”的基数意义，前者表示的“第三”是“一个”，后者表示的“三个”是“多个”，同一个数字符号出现了“既是一个，也非一个”或“既是三个，也非三个”的歧义现象，这是无法改变的现实。课程与教学设计首先需要承认这样的现实，进而通过课程与教学设计实现不同意义并存与契合的对立统一。又如，小学数学中的“分数基本性质”表明[13]=[26]是正确的，但在中学指数运算中就会出现不适用的情况，[（-8）13与（-8）26]就不是相等关系。［31］因此，出现了[13]=[26]有时成立有时不成立的现象。要解决此类问题，首先需要承认现实，在此基础上进一步探究分数基本性质在指数运算中的新的意义，进而发现[（a）13与（a）26]相等所需要的条件，逐步感悟到数学中所有真命题都是有条件的。

与此类似，如果在认识乘法之初就把乘法视为加法，那么在更大数域范围内，自然会出现乘法不是加法的情况。因此，处理的方式不应是通过“复古式的还原”消灭矛盾，而应是通过“进化式的拓展”探寻新的意义，进而实现概念意义进化过程中的概念转变。这就需要树立课程与教学设计中的动态观念，认识到数学课程内容并非一成不变、确信无疑的，而是具有时间和空间意义的可变与可误的非确定性。正如伟大的科学家爱因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）在一次演讲中所说：“如果数学与现实世界（reality）相关，那它就不是确定的；如果数学是确定的，那它就与现实世界无关。”［32］将这样动态与变化的数学观融入数学课程与教学，自然有益于发展学生的核心素养：

l 用差异与发展的眼光看待现实世界；

l 用多元与灵活的思维思考现实世界；

l 用丰富与准确的语言表达现实世界。

总之，相同加数求和可以用乘法计算仅仅是乘法运算的一个应用，并不意味着“乘法是加法的简便运算”。学生对乘法运算的认知始于加法，但不能止于加法。《课程标准》中所说的“数与运算的一致性”应当理解为，是在数与运算意义进化与拓展的前提下，在不同意义中思维的联系与贯通［33］，而不是把“多元的意义变为单一”，把“多样的算法变为一样”，更不应让学生形成“所有乘法都要还原成加法”，以及“所有数的乘法都一样”的误解。课程内容与教学设计中应重点突出乘法与加法的差异，让学生在数学学习过程中逐步感悟到：虽然相同加数求和可以用乘法，但乘法真的不是加法！

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（首都师范大学初等教育学院）