破解三棱锥外接球问题的“妙招”

王馨

三棱锥的外接球问题主要有求三棱锥的外接球的体积、表面积、半径.这类问题对同学们的抽象思维和分析推理能力有较高的要求，解题时通常很难确定外接球的球心，所以很多同学不知如何下手.下面笔者介绍两个破解三棱锥外接球问题的“妙招”.

一、构造正方体或长方体

如果三棱锥的一条侧棱垂直于底面，而且底面是直角三角形，那么可将其视为正方体或长方体的一部分，以三棱锥的三条侧棱为边构造正方体或长方体，这样正方体或长方体的中心就是三棱锥的外接球的球心，这个正方体或长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，求得正方体或长方体的体对角线长，即可求得三棱锥的外接球的半径.

解答本题，需根据 ΔABC 的特征，明确当 PM⊥ 底面 ABC 时，即球心 O 在三棱锥的高线 PM 上时，三棱锥的高最大，三棱锥的体积取最大值.于是添加辅助线，构造直角三角形 OAM、PAM ，利用勾股定理求得球的半径.

雖然三棱锥的外接球问题较为复杂，但是我们只要掌握一些技巧，根据三棱锥的特征构造出正方体、长方体、直角三角形，即可根据正方体、长方体、直角三角形的性质，确定球心的位置，并求得球的半径.这样便能化难为易，化繁为简，快速求得问题的答案.

（作者单位：安徽省临泉第一中学）