求解弱双四元数矩阵方程r-循环解的新方法

2023-10-16刘志红樊学玲袭沂蒙

华中师范大学学报（自然科学版） 2023年5期

关键词：手眼范数标定

刘志红, 李莹, 樊学玲, 袭沂蒙

(聊城大学数学科学学院, 山东聊城 252000)

矩阵方程是数值代数的重要研究领域之一, 其中关于矩阵方程

AX+XB=D

(1)

的研究, 已经有一定的进展. 如尤兴华等研究了复数域上矩阵方程(1)的简洁解及其应用[1], Zhang等研究了实数域上矩阵方程(1)对称解及反对称解的松弛梯度迭代算法[2], Wang等研究了复数域上矩阵方程(1)的正定和反Hermitian分裂迭代法[3], 有些学者还研究了不同四元数集合上的矩阵方程(1), 如Tian等研究了弱双四元数集合上矩阵方程(1)的反Hermitian问题[4], 而Li等研究了分裂四元数集合上矩阵方程(1)的反Hermitian问题[5].

四元数最早是由Hamilton提出的, 一个四元数集合可以表示为

Q={q|q=q1+q2i+q3j+q4k,q1,q2,q3,q4∈R,
i2=j2=k2=-1,ij=-ji=k}．

由四元数的乘法规则发现, 四元数可以看作是实数域上的四维非交换代数.四元数在许多领域具有广泛的应用, 如姿态控制[6-7]、机器人[8-9]、数据处理[10]等, 但是四元数乘法不满足交换性, 这在一定程度上限制了它的应用范围.针对四元数乘法的不可交换性, 弱双四元数应运而生, 且已被应用于诸多领域, 如基于弱双四元数的矩阵方程的求解[11-13], 基于弱双四元数的彩色图像处理[14], 基于弱双四元数模型的航天器升轨姿态控制[15], 基于弱双四元数的彩色纹理分类[16]等.

特殊矩阵的理论与实际应用受到广泛关注.美国学者Muir于1958年提出循环矩阵的概念,如今在计算数学、应用数学、现代科技工程等领域具有广泛的应用[17-20].作为循环矩阵的推广,r-循环矩阵也受到许多学者的广泛关注, 如Lyes研究了r-循环矩阵的范数及超Lucas数新推广的一些组合性质[21], Ramazan研究了(k,h)-Fibonacci和(k,h)-Lucas数的r-循环矩阵的谱范数[22]．

为了去除具有特殊结构的矩阵中的重复元素, Zhang提出一种H-表示方法, 即给出一种提取矩阵独立元素的系统性的方法[23].目前,H-表示在系统与控制理论等方面有初步应用, 如Wang利用H-表示方法研究了具有多噪声的马尔科夫跳变随机系统的精确能观性[24], Zhao利用H-表示方法研究了非线性离散随机时滞系统的矩稳定性[25].本文利用弱双四元数的实表示方法与特殊矩阵的H-表示方法研究弱双四元数矩阵方程(1)的r-循环解和对称r-循环解.

LC={X|X∈Cr(x1,x2,…,xn),

LSC={X|X∈SCr(x1,x2,…,xn),

1 预备知识

定义1[26]若q∈QR, 则q可唯一的表示成q=q1+q2i+q3j+q4k, 其中q1,q2,q3,q4∈R,i,j,k满足

i2=k2=-1,j2=1,ij=ji=k,jk=kj=i,ki=ik=-j．

其实表示的第一列块定义为

定义4[29]设A为m×n维的矩阵,则其列排式定义为

vec(A)=[a11,…,am1,a12,…,am2,…,a1n,…,amn]Τ．

1)A=B⟺AR=BR;

2) (A+B)R=AR+BR, (kA)R=kAR, (AC)R=ARCR;

引理2[31]设A∈Rm×n,b∈Rm, 线性方程组Ax=b的最小二乘解可以表示为

x=A†b+(I-A†A)y,

其中,y∈Rn是任意的.矩阵方程Ax=b的极小范数最小二乘解为A†b．

引理3[31]设A∈Rm×n,b∈Rm, 线性方程组Ax=b有解x∈Rn当且仅当AA†b=b, 此时, 它的通解表达式为

x=A†b+(I-A†A)y,

其中,y∈Rn是任意的.矩阵方程Ax=b的极小范数解为A†b．

对于实矩阵A∈Rm×n,B∈Rn×p,C∈Rp×q,vec算子有性质vec(ABC)=(CΤ⊗A)vec(B), 可以发现该性质对弱双四元数依然成立．

vec(ABC)=(CΤ⊗A)vec(B).

(2)

而

ABci=c1iAb1+c2iAb2+…+cpiAbp=
(c1iA,c2iA,…,cpiA)vec(B)．

故

(CΤ⊗A)vec(B)．

2 r-循环矩阵及对称r-循环矩阵的H-表示

本节将对特殊矩阵, 即r-循环矩阵及对称r-循环矩阵的H-表示进行介绍．

定义5[32]形如

的矩阵称为r-循环矩阵.当r=1时,A为通常的循环矩阵; 当r=0时,A为上三角Toeplitz矩阵;当r=-1时,A为通常的反循环矩阵．

定义6[32]形如

的矩阵称为对称r-循环矩阵.当r=1时,A为通常的对称循环矩阵;当r=0时,A为上三角Hankel矩阵;当r=-1时,A为通常的对称反循环矩阵.

定义7[23]考虑一个m维复矩阵子空间Μ⊂Cn×n, 对每个矩阵X=(xij)n×n∈Μ, 总存在一个映射ψ：X∈Μvec(X).如果dim(Μ)=m,e1,e2,…,em组成Μ的一组基,m≤n2, 那么存在x1,x2,…,xm∈C, 使得定义H=[vec(e1),vec(e2),…,vec(em)], 那么对每个X∈Μ, 都可以用一个m×1维向量将ψ(X)=vec(X)表示成

(3)

例1设Μ=Cr(a1,a2,a3),X=(xij)3×3∈Μ, dim(Μ)=3．

选择Μ的一组基底

易得

ψ(X)=vec(X)=[a1ra3ra2a2a1

其中,

例2设Μ=SCr(a1,a2,a3),X=(xij)3×3∈Μ, dim(Μ)=3．

选择Μ的一组基底

易得

ψ(X)=vec(X)=[a1a2a3a2a3ra1

其中,

本文将对X∈Μ=Cr(a1,a2,…,an)以及X∈Μ=SCr(a1,a2,…,an)做H-表示, 先选取n阶r-循环矩阵以及n阶对称r-循环矩阵的标准基底．

定理2对r-循环矩阵子空间Μ=Cr(a1,a2,…,an), 选取一组标准基底

{E1j|1≤j≤n},

(4)

同样的, 对于对称r-循环矩阵子空间Μ=SCr(a1,a2,…,an), 选取一组标准基底

{F1j|1≤j≤n},

(5)

3 问题1及问题2的解

SC={X=X1+X2i+X3j+X4k|XV=

(6)

并且, 极小范数最小二乘r-循环解XC满足

(7)

证明对X∈Cr(x1,x2,…,xn), 由引理1可以得到

由于X∈Cr(a1,a2,…,an), 根据定理3可得

定义H1=diag(HC,HC,HC,HC),L1=((In⊗A)R+(BΤ⊗In)R)H1, 那么

因此,

(8)

方程(8)的两边乘以矩阵H1可得到方程(7).同时, 可以得到式(6)．

(9)

此外, 如果(9)成立,则弱双四元数矩阵方程(1)的r-循环解集可表示为

SC={X=X1+X2i+X3j+X4k|XV=

(10)

证明弱双四元数矩阵方程(1)有r-循环解当且仅当

由定理3及MP逆的性质得

因此, 对X∈Cr(x1,x2,…,xn), 可以得到

如果弱双四元数矩阵方程(1)相容, 那么该方程解X∈Cr(x1,x2,…,xn)满足

同样, 可将上述方程的两边乘以矩阵L1得到SC, 并可得到极小范数r-循环解(10)．

类似的, 可以得到问题2的极小范数最小二乘对称r-循环解和极小范数对称r-循环解．

SSC={X=X1+X2i+X3j+X4k|XV=

(11)

并且, 极小范数最小二乘对称r-循环解XSC满足

(12)

(13)

此外, 如果(13)成立,则弱双四元数矩阵方程(1)的对称r-循环解集可表示为

SSC={X=X1+X2i+X3j+X4k|XV=

(14)

4 数值算例

算法1(问题1)

步骤2输入HC, 输出H1,L1.

步骤3根据公式(7), 输出弱双四元数矩阵方程(1)的极小范数最小二乘r-循环解XC.

算法2(问题2)

步骤2输入HSC, 输出H2,L2.

步骤3根据公式(12), 输出弱双四元数矩阵方程(1)的极小范数最小二乘对称r-循环解XSC.

算例令n=2:30, 在Matlab中随机生成n阶弱双四元数矩阵A,B, 取

图1 问题1的误差Fig.1 Errors in problem 1

图2 问题2的误差Fig.2 Errors in problem 2

5 应用

山地果园荔枝的采摘方式通常为人工采摘, 但随着科技的发展, 越来越多人选择利用智能机器人采摘.本节研究矩阵方程AX+XB=D在荔枝采摘机器人手眼标定方法中的应用.机器人的手眼标定涉及标定板、相机系统、机器人、机器人的机械臂 4 个对象的空间位置关系[33].当相机对标定板进行第i次观测时,考虑到实际操作的误差, 实际情况下2次观测的数据所得到的手眼方程形式为

AX+XB=D．

考虑解X为r-循环型矩阵的情况.选取以下参数矩阵

利用本文方法,求得

由于

L1=((I3⊗A)R+(BΤ⊗I3)R)diag(H,H,

H,H),

因此弱双四元数矩阵方程(1)的r-循环解为