大小比较引思考模型对比觅通法

四川省成都市玉林中学(610041)周翔

1 引言

近几年高考的选择题中频繁出现大小比较问题,主要在于能够多角度考查各种基本初等函数[1]如指对数函数和三角函数的运算及其单调性和不等式性质问题.这类问题随着时代发展和运算工具的变化,考查的切入点丰富了起来,即以提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养[2]为导向,综合考查基本初等函数的运算与转化,构造函数并利用导数研究其单调性,以及对基本初等函数的估值等能力,对学生综合能力要求较高.2022年新高考Ⅰ卷第7题和全国甲卷文理科第12 题均出现大小比较问题,分别以指对数函数和三角函数为数学模型考查学生的逻辑推理、运算求解、推理论证等能力[3].下面将以高考题为这两类数学模型的案例,追根溯源,研究这类题的解法,从而探讨解决这类问题的统一方法,并提出一些自己的思考.

2 案例分析

2.1 案例1 以指对数函数为数学模型

题目1(2022年新高考Ⅰ卷第7 题)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则( )

A.a

回归教材普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A 版》(人民教育出版社,2007年1 月第2 版)第32 页习题1.3.B 第1(3)题:利用函数的单调性,证明不等式ex >x+1,x0,并通过函数图象直观验证.实际上,通过研究下凸函数f(x)=ex的图象,发现f(x)在x=0 处的切线恰好是y=x+1,而且除了(0,1),f(x)的图象都在y=x+1图象的上方.类似的,可以得出ln(1+x)≤x(x>-1).

点评类似于解答题中含指对数函数的不等式证明问题,指对数的大小比较问题关键在于利用题目条件构造辅助函数,把大小比较的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.类似的题目在2022年高考全国甲卷文科第12 题也出现了,这里不再赘述.

2.2 案例2 以三角函数为数学模型

题目2(2022年高考全国甲卷理科第12 题)已知则( )

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

回归教材普通高中课程标准实验教科书《数学·必修4·A 版》(人民教育出版社,2007年1 月第2 版)第16 到17页谈到了三角函数线.由三角函数的正弦线与正切线,易得以下结论(以下简称锐角正弦正切值的放缩):若则sinx

点评解法1 是类比指对数大小比较问题的解法,构造辅助函数并通过求导研究其单调性再比较大小.然而该题以三角函数为函数模型,从单调性以及极值方向出发往往较复杂(比较b与a,c与a时都用到二阶导数),另外构造辅助函数时需将分母的的分母)等价变成乘式(否则求导都很复杂).解法2 是利用三角函数本身与其自变量的大小关系(锐角正弦正切值的放缩)先将c与b相除并借助该放缩比较c与b的大小,再利用放缩结论的推论来比较b与a,c与a的大小.相较于解法1,由于使用了三角函数放缩的推论,解答过程简化了不少.综合考虑这两种不同的函数模型,我们有没有统一的方法来解决这类大小比较问题呢?

3 解法引申

对于基本初等函数(包括三角函数)大小比较问题我们除了利用函数本身单调性比较,往往想到“估算”的方法(估值法).为了找寻统一的方法解决大小比较问题,需要引入一点高等数学的知识即泰勒展开.

根据泰勒定理,可导函数f(x)在x=0 处的泰勒展开式为:其中f(n)(x)表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x=0 处的泰勒展开式,剩余的o(xn)是泰勒公式的余项,是xn的高阶无穷小.

由此可得函数y=ex,y=ln(x+1),y=sinx,y=cosx在x=0 处的泰勒展开式分别为:

根据上述展开式,可以用两个多项式的值去逼近这些基本初等函数的值(也可以看作对这些基本初等函数的估值),由此我们得到一系列重要不等式:当x ∈(0,1)时,

下面对前两个不等式给予证明:

一方面,根据泰勒展开式得两个不等式中间的基本初等函数与不等式左侧的多项式相减都为正数,所以不等式的左测不等号成立;

对案例1,由1.105 a > c; 对案例2,由得c>b>a.

采用多项式的值去“逼近”,是对基本初等函数的值很好的“估计”,这正是解决这类以基本初等函数为模型的大小比较问题的统一方法.这种方法的来源恰是我们所熟知的“极限”思想,也是高等数学和中学数学的一个衔接.然而,这种方法也受限于“泰勒展开式”属于高等数学的内容,大部分高中生未必能接触到加之如果放缩的不恰当(“过大”或者“过小”)都得不出相应的大小结论.

4 教学建议

回归教材,夯实基础基本初等函数(指对幂函数和三角函数)是高中数学的核心内容之一,也是高考的热点.从近几年高考试题来看,以这类函数模型为载体结合函数相关知识的考题出现的频率越来越高,由于此类问题在教材中有相应的原型,这就要求我们在平时的教学中回归教材,夯实基础,从教材例习题出发适当引申,注重知识的本质.

关注本质,把握规律回归数学本质是高考命题的必然趋势,因此,关注数学本质应是教学上的重中之重.关注知识的本质特征,关注知识间的内在联系,关注公式定理的形成过程,应成为教学过程中的核心内容.通过对近几年高考试题的分析可以发现这样的规律:典型函数模型的考查如指对数函数模型和三角函数模型频繁出现在选填题和大题的各个位置,难度可大可小,着重考查这些函数模型的运算、转换、图象、函数性质及其应用,蕴含了转化与化归、数形结合、函数与方程、分类讨论等思想方法.看起来花样繁多,但万变不离其宗,如果能从基本的函数模型入手,深刻理解其定义及其图象特征,再借助相关数学思想方法,就为破解此类问题提供了较好的途径.另外,不要仅注重一题多解,而忽视多题一解.注重通性通法,淡化技巧,回归数学本质,才是数学教学应有的,才能让学生形成数学思维,增强数学能力.

注重衔接,锻炼思维教学中不仅要教会学生如何应对考试中的各种题型,还要让学生学会思考高考题目的设计意图.这就要求教师要用新高考的标准审视常规教学,提高自己的教育科研能力,注重“高观点”下的中学数学衔接问题.随着新一轮课改在全国如火如荼的进行,随着数学建模包括统计模型这些原来在大学才接触的知识渗透到高中教材,高考作为高等学校招生的选拔性考试,对其中较难的试题采用高等数学和高中数学结合的方法解决也无可厚非.这类题目往往就是考查学生的知识迁移能力和综合分析解决问题的能力,所以作为高中教师不仅要通过选修课或者第二课堂拓宽学生的知识面,更要注意培养学生的数学思维能力及数学学科素养.

落实课堂,培育素养高考中的大小比较问题主要考查学生的数学运算与逻辑推理等能力.在实际教学过程中,教师除了关注往年高考题中已经出现的与指对数函数和三角函数有关的大小比较问题,还应注意函数模型本身的概念与性质以及各种函数模型的综合应用.2022年高考全国甲卷和新高考Ⅰ卷均在选择题靠后位置出现了大小比较的问题.这也提醒教师在教学过程中应更注重教材内容的适当融合,强调知识之间的联系.与此同时,鼓励学生勤动手、勤反思,多运算、多思考,培育学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.

结语这类大小比较的高考试题,以素养为落脚点,考查学生对基础知识和基本方法的掌握程度,考查学生对重要数学思想方法的理解程度,考查学生对数学知识横向纵向的综合能力,蕴含着“用数学的眼光观察世界,用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界”的精神内涵.