基于分类讨论的高中数学解题方法探究

叶碧桃

(福建省霞浦第七中学,福建 宁德 355100)

高中生在解答数学问题时,常常会遇到一些特殊的情况,解答到某一步之后,问题突然变得异常复杂,无法按照统一的方法和标准继续进行,这主要是因为题目中包含多种情况.鉴于此,我们考虑融入分类讨论思想,按照一定的标准和要求,将问题进行拆分,使其成为若干个小问题,并逐一进行解答.文章将结合例题详细阐述分类讨论思想在高中数学例题中的具体应用.

1 分类讨论解决集合问题

集合是高中数学知识体系中的重要组成部分,也是学生最早接触到的知识点.在日常考试中,集合问题也属于常考题目类型,占据着很大的分值比例.同时,在部分集合题目中,由于存在参数,学生在解答的时候需要进行准确分类处理,由此逐一讨论和解答,最终得出正确的答案.

例1设集合A={x|-2≤x≤a}B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且C⊆B,求实数a的取值范围?

解析在解答本题目时,因为集合A和集合C中的范围均和实数a的正负数存在密切的关系.因此,在解题时不能一概而论,必须要借助分类讨论的思想,对实数a展开讨论:

因为A={x|-2≤x≤a},所以B={y|y=2x+3,x∈A}={y|-1≤y≤2a+3]

①当-2≤a≤0时,集合C={z|z=x2x∈A}={z|a2≤z≤4}

②当0

③当a>2时,集合C={z|z=x2,x∈A}={z|0≤z≤a2}

因为C⊆B,因此2a+3≥4,解不等式得出-1≤a≤3,结合条件a>2,即可得出2

2 分类讨论解答函数问题

函数问题历来是高中数学的重中之重,无论是选择题、填空题,还是压轴题,都能看到函数的影子.鉴于函数知识的繁杂性和抽象性,学生在解答问题时,唯有借助分类讨论思想,才能化繁为简,形成明确的解题思路,最终完成数学问题的顺利解答.

例2已知函数f(x)=x2+bln(x+1),b≠0.,求函数f(x)的极值点?

3 分类讨论解答不等式问题

不等式求解是高中数学学习的重难点之一,在考试中尤为常见.通常,在解答这一类型问题时,必须要融入分类讨论的思想,对其不同的情况展开讨论,才能真正提升学生的解题效率.

例3当a取什么值的时候,不等式(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2>0的解是一切实数?

解析在本题目中,由于无法确定是一元一次不等式,还是一元二次不等式,在开展解答时,唯有融入分类讨论的思想,对不同的情况展开讨论:

①当a2-3a+2=0,通过解方程即可得出a=1,或者a=2.之后,再将其分别代入方程中,当a=1时,原不等式为2>0恒成立,因此a=1符合原不等式;当a=2时,代入不等式中,变成x+2>0,解不等式得出x>-2不符合题意.

4 分类讨论解决数列问题

高中数学涉及的数列存在一定的规律性,即等差与等比数列.题目难度系数虽然比较小,但在考查时,由于数列中常常含有一定的未知量、变量,稍有疏忽就会出现漏解的现象.鉴于此,可融入分类讨论思想,全面提升学生的解题效率.

假如Sn=a1+a2+……+an.如果Sn=2015,求n的值是多少?

解析这一题目比较抽象,因为a的值无法确定,致使数列的周期也有所不同.此时,在解题时唯有结合前n项和展开分类讨论,才能正确解答这一问题:根据已知条件得出a2=-a1+3=-a+3.

①当0

②当1≤a≤2时,因为1≤-a+3≤2,则有a3=-a2+3=a∈[1,2],即an+2=an,又因为a1+a2=a3,则Sn=2 015=671×3+2,则a1=a=2,即:n=671×2+1=1 343.综上分析得n的值为1 343.

5 分类讨论解答几何问题

几何问题是高中数学教学的重要组成部分,也是考查的重点.在解答这一问题时,受到不确定性影响,导致学生在解题时常常存在漏解的现象.鉴于此,必须要融入分类讨论思想,优化学生解题.

例5如图1所示,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内的任意一点,并且∠AOB>∠AOC,求证:OB

图1 例5题图

解析在证明这一问题时,可结合:三角形中大角对大边,小角对小边进行证明.

又因为∠AOB>∠AOC,即α1>α2,且α1+α2>180°

因此,90°<α1<180°,0°<α2<180°

因为在这一区间内,sinα2是非单调函数,必须要融入分类讨论的思想进行解答:

①当α2≥90°时,因为α1≥90°,且α1>α2,sinα1

所以sinβ

②当α2<90°时,因为α1>90°,则有180°-α1<90°,又因为α1+α2>180°

因此α2>180°-α1,则sinα1=sin180°-α1

所以sinβ

综上讨论,根据题意得出:∠ABC=∠ACB,∠OBC>∠OCB

所以OB

综上所述,分类讨论思想不仅仅是一种数学思想,还是解答数学问题的重要工具,也是发展学生数学思维能力的关键.鉴于此,在日常高中数学课堂教学中,必须坚持开放性的教学观念,鼓励学生在典型的数学题目中,总结分类讨论思想的分类标准等,以便于学生将其灵活应用到数学解题中,真正提升学生的数学解题能力.