利用运算建模六步法培养学生的运算素养

张俊畅 杨柳忠

(广东省梅州市虎山中学,广东 梅州 514299)

杨柳忠(1977.7-),女,广东省大埔人,本科,中学一级教师,从事数学教学研究.

数学运算是高中数学核心素养的重要部分,如何提高学生的运算素养,一直是从事教学一线的教师必须面对但也比较头痛的问题.本文对一道数列题的求解进行分析,以期提高学生数学运算能力,发展学生的数学素养.

1 问题呈现

一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求前110项的和.

2 问题的分析与求解

解法1 由等差数列的前n项和公式可知:

评注这种直接套公式硬算的办法,虽说思维成本较低,但计算量大,不易算对,它唯一的优点是巩固一下公式,训练一下四则运算的基本功,显然这种费事费力的做法是要尽量优化的.

计算量大的问题,同学们容易算错,这是再正常不过的一件事情,但是很多老师总是埋怨现在的学生计算能力差、不愿动笔等等.难道这些只是学生自身的问题吗?试想,如果一个老师一直反复强调,用死算的办法来解决问题,那又有几人能愿意算呢?如此这般,对学生思维的培养,能力的发展又有何帮助呢?就算培养学生的运算能力,靠死算的办法,真的好吗?笔者认为不好,否则每个小学生都已经是运算高手.那么,有哪些办法可以有效提升同学们的运算能力呢?看完方法2后,就会有所感悟了.

我们有意识地教会他们这些东西,那么孩子们计算能力低下的问题,就会比较容易解决了.在平时的教学中,我们最不愿意看到的一种现象就是题目都没有看清,就盲目乱算,看上去很用功,但效果很差.但真正要他们认真计算时,又舍不得花时间,结果一急就乱,一乱就错.

我们基本可以形成几个共识:死算硬算提不高运算能力;硬算也要用巧劲;越急越容易算错;不思考就会算死;平时多想,考时少算[1].

3 关于数学运算建模

通过对上面数列问题多种解法的详细阐述,不难发现,在数学教学中就提高学生数学运算能力,培养学生的运算素养,应该从下面的六点入手,我们这里概括为运算建模六步法.

3.1 创造良好的数学运算情境,培养坚定的心理品质

波利亚说过:认为解题纯粹是智力活动是错误的,决心与情绪所起到的作用很重要.我们可以创设这样的数学运算活动:学生对自己的运算作品冠以自己喜欢的名字,给自己精心制作的运算模型绘上精美的图案,给自己的活动小组标上令人难忘的称谓,给学生向大家展现自己全部才华的舞台……通过适当的活动有效克服运算畏惧,克服急躁,拖沓,丢三落四等一些负面的情绪,激发学生的好奇心,增强数学运算的信心,培养坚韧不拔的毅力,体验成功的喜悦.

3.2 重视“数学理解”,促成“运算生成”

我们知道理解的前提是阅读,就是读懂题意,数学运算的首要一点就是“理解运算对象”,而我们的学生恰恰在阅读理解上存在着一定的问题.下面是帮助学生进行“数学理解”的一个课堂片段.

师:式子Sn=3an+1是什么概念?

生:是个等式.

师:这个等式包含什么?

生:这个等式包含通项an及前和Sn.

师:an与Sn的意义是什么?

生:an表示数列的通项,Sn表示该数列的前项.

师:an与Sn有什么关系呢?

师:求S5可以怎么办呢?

生:把等式化为仅含有an的表达式,求an,再求Sn,从而求得S5.

师:对比一下这个递推式子an+1=pan+q,你们有何发现?

生:哦,可以把Sn当做递推式,由待定系数法可求Sn,从而算出S5.

师:大家再思考一下,是否有更加直接的办法?

生:哦,项数不多可以逐项计算.

对于理解运算对象,掌握运算法则,不能单靠知识讲解,更应该让学生去实操,去研讨,去试错,教师不要包办,要评到学生的“痛”处.华罗庚说:“学数学,善于‘退’,足够地‘退’,退到最原始而不失去重要的地方是学好数学的一个诀窍[2].”

3.3 加强运算知识的学习

我们深切体会到影响学生运算能力提高的一大原因是运算知识的缺失.初中数学对学生的运算要求比较低,到了高中,数学运算要求一下提高好几个台阶,初中不要求掌握或要求很低的内容,上了高中要求学生必须掌握,这给很多同学在数学学习中带来困难和障碍.比如立方和与立方差公式,十字相乘法,分子分母有理化,二次函数、一元二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理),等等.学生运算能力差的根源就是学生的运算知识有缺失的问题,所以在初高中的知识衔接上一定要下足功夫.

3.4 加强运算思维的训练

3.5 加强运算范式训练

3.5.1养成良好的运算习惯

章建跃博士说过,推理是数学的命根子,运算是数学的童子功.数学运算贯穿数学教学中的全过程,学生计算能力直接影响学习质量,而良好的计算习惯是提高学生计算能力的保障,要帮助学生养成“一看、二想、三算、四验”的习惯.

3.5.2给足练习时间

在教学实践中,经常出现一种现象:同类型的数学题,学生在做课后作业时可以做得非常好,但在考试中解答得却一言难尽.此类学生就是因为在放松状态或是与多名学生共同努力时结果正确,而在精神紧张或者自己单独解题时运算自然就不准确.因此,教师应该多给予学生一些课堂运算时间,独立完成运算题目,自行发现运算技巧,以防学生在考试氛围里出现运算慢和不自信的结果,让学生无论在什么场合做题都能够从容应对,帮助学生提升数学运算能力.

3.6 加强运算问题的归类总结和运算技能方法的提炼与积累

数学运算素养的高低体现在对一个问题的处理不单又快又好,同时处理手段灵活多样.要实现这一目标显然与长期的运算经验的总结和运算技能方法的提炼积累有着密切的关系.对于一些绕不开的、特别复杂的纯计算问题,我们要善于分步算,分块算,竖式算.这里的分步算,就是粗略地看一下,解决这个问题,可以分成几步;分块算,把每一步要解决的问题,一块一块解决,就如同小孩玩的积木一样,一块一块解决后,代入总式,再运算化简;竖式算,对于一些关于多项式的化简问题,把每一项的化简结果,写成竖式同类合并,不易出错.