“问题串”在中职数学概念教学中的应用——以“对数”为例

谢 芳

(江苏省如皋第一中等专业学校,江苏 如皋 226500)

概念的生成过程是概念教学的重点.一个好的概念教学设计一定是能够激发学生的学习兴趣、帮助学生经历概念生成的完整过程.关于“问题串”的定义,可以理解为教师围绕一定的教学目标或某个中心问题,按照一定的逻辑结构精心设计的一系列问题组合[1].这些问题串在教学中可以引导学生理解知识的产生与发展规律,在此基础上提升学生的思维能力和解题能力.因此,教师不妨尝试将“问题串”运用到数学概念教学中,通过设计具有引导性的问题,激发学生的学习动机,引导学生以积极主动的态度去探索新知,促进概念的形成和掌握.

1 创设情境,导入课题

无论哪个阶段的数学教学,选择优质的教学资源,建立一个能激发学生思考和探索的问题情境都是值得教师去认真思考的.而在数学问题情境的创设过程中,教师需要关注与学生相关的生活情境以及该知识的产生背景,尽可能地选择学生感兴趣的、有利于学生探索新知的学习素材.同时,考虑到创设情境的目的是为了帮助学生了解知识的来源以及快速地进入到学习状态,故过于复杂的情境导入则会显得本末倒置.因此,创设的情境要体现出直观性,要让学生更好地进行思考和训练,激发学生的学习兴趣,体会到概念的源头[2].

在讨论对数的产生时,教师可以引入细胞分裂的情境:在生物学中,细胞是处于不断分裂的过程中,已知某种细胞在分裂时,由一个变成了两个,又由两个变成了四个……以此类推,一个这样的细胞分裂了x次后,得到了细胞个数为y,那么新的细胞个数y与分裂次数x之间存在着怎样的函数关系?此函数关系又该如何表示?针对该问题情境,学生能很快地运用“指数”来得到细胞个数y与分裂次数x之间的关系为:y=2x.此时,教师便可抛出两个问题.问题1:如果细胞分裂6次,那么细胞数变成了多少?问题2:假设我们知道细胞分裂成了256个,那么细胞分裂的次数明确吗?针对于第一个问题,学生知晓了要用“26”去解决问题,得到了答案为64个;在第二个问题中,学生需要找到“256相当于是多少个数字2进行相乘”的结果,通过不断的试验,学生得到了“28=256”从而顺势得到“当细胞分裂了8次后,细胞的个数变成了256”的答案.在该教学情境中,虽说并没有真正地引入“对数”这一数学概念,但从学生的最近发展区提出问题,让学生知晓了“指数”问题是客观存在的,这样一来,学生也能意识到:“对数”必然也不是凭空产生的,它或许与“指数”存在着千丝万缕的关系.接着,教师即可出示下列例题:2x=8,2x=16,2x=25.同时,提出如下问题:以上三个解方程有何共同特征?各自的答案又是什么?通过观察后,学生一致地说出:“在这三个式子中,底数都是2,而幂则都不相同.”

2 合作探究,概念形成

在上一阶段的教学片段中,学生已经发现了“指数”在数学计算以及数学表示等方面的局限性,因此,对于新概念的获取则显得迫在眉睫.众所周知,众人拾柴火焰高,往往个人的能力是较为单薄的,对于数学探究而言亦是如此.所以,在概念形成的初始阶段,学生应当积极主动地与他人展开交流,集中大家的智慧,从而高效地理解和掌握新概念.同时,教师应继续扮演好辅助者的角色,提出更具引导价值的问题串,以此来让学生在探究过程中少走“弯路”,最终更好地促进概念的形成.

在研究上个案例的最后一个问题前,教师不妨出示下列两个问题:设ab=N(a>0且a≠1)第一个问题,已知a,b求N,比如43=?、54=?第二个问题,已知a,N求b,比如3b=27,求b=?、5b=125,求b=?在实际的解答过程中,学生都能利用指数的知识去解决问题.同时,教师要引导学生说出这两种计算题的相同点与不同点,通过观察与交流,学生便能发现:这两种问题实际上都是与指数函数y=ax相关,在第一个问题中,是已知指数求y;而在第二个问题中,是已知幂求指数.在此基础上,教师继续抛出问题:这两个问题中,哪一个是常见的指数问题?通过回忆指数的概念和表示形式,学生能轻而易举地认识到第一个是与指数相关的问题,而第二个可能与对数相关.这个教学片段的设计意图在于,能帮助学生进一步触及到对数概念的学习.此时,教师便可承接上一阶段未完成的问题,提问:存在使得2b=5,这样的数b吗?若存在,该如何求解?在实际的求解过程中,学生提出了不同的求解方法,有学生认为,因为22=4,而23=9,又因为4<5<9,则数b一定是介于2和3之间的一个数,但求不出具体的数值;还有学生运用了数形结合的思想方法,在平面直角坐标系中依次画出指数函数y=2x与常数函数y=5的图像,而两个函数图像的交点横坐标即为b的值,最终也得到了“数b的值介于2与3之间”的结论,同时,还探究得到“数b的值是唯一的”.但较为遗憾的是,学生仅仅只是知晓了“b”的数值范围,但依然无法用数学符号来表示.此时,教师便可引入新的数学符号“logaN”,解释道:对于2b=5,为了能表示出数b,我们需要借助别的数学符号.可以发现,指数b是由底数2与幂5决定的,所以数学家用log25,读作以2为底5的对数,其中2为底数,写在下面,5为真数,写在上方.

3 对比联系,深入理解

对于学生而言,新的数学概念常常是比较晦涩难懂的,若不与旧知进行联系,则往往起不到良好的学习效果.因此,教师不妨在提出问题串时,注重与旧知识点之间的联系,让学生对它们进行观察、比较以及交流,找到它们之间的联系与区别,促进学生对新概念的深入理解和掌握,最终获得事半功倍的课堂教学效果.

教师首先针对对数中底数a的取值范围,提出相关问题:当变为对数时,底数a的取值会发生变化吗?可以参照什么进行研究?根据对数的概念,学生不难发现,对数来源于指数,这两个数本质上体现的就是a,b,N这三个量的同一种数量关系,区别在于表现形式不一样,从一定意义上来讲,指数运算的逆运算便是对数运算.因此,对数中的a与指数中的a表示的是同一个数,故对数中a的取值并不会发生任何改变.研究完a的取值后,教师可以抛出以下问题串:对数是否可以取到任何实数?真数N的取值又会如何?是否依然可以通过联系指数来进行研究?有了之前的学习经验,学生便会自发地进行对比研究.首先,在对数值的研究上,学生一致认为对数值实际上就是指数里的b,因此,只要知道b的取值范围,那么,对数值的取值就明了了.显而易见,在指数中,b的定义域为一切实数,故对数值亦可以取到一切实数.同样地,在真数N的研究上,学生依葫芦画瓢,根据指数函数的值域知晓了N只能取到正数,因此,在对数中,真数N的取值范围为N>0.在依次探究完a,b,N的取值范围后,教师可以让学生自行探索对数中的一些特殊值,提出问题:在指数中,会存在一些特殊值,由此及彼,在对数中,会存在一些特殊值吗?在这个问题中,学生首先需要回忆出指数中的一些特殊值.在实际的课堂教学中,有学生能回忆到“a0=1(a>0且a≠1)”这个特殊值,指出:无论底数a如何变化,只要指数a为0,那么幂永远是1;反过来考虑,若幂为1,那么指数b只能是0,而在对数中,指数中的幂就相当于真数N,故loga1=0(a>0且a≠1).依据这个思路,还有学生指出:在指数中,a1=a(a>0且a≠1),即在定义域内,任意数的1次方都等于本身;反之,由可将幂N看成是对数中的真数,得到logaa=1(a>0且a≠1).至此,学生对于对数的认识也是更上一层楼.

4 习题练习,巩固深化

在数学新概念的学习中,理解和熟知是一个深度,掌握和应用又是另外一个深度.因此,在数学教学中,选用一些具有针对性的习题来帮助学生巩固和强化所学概念则显得尤为重要.在数学学习中,适度的练习是必要的,也是检验学生能否灵活运用所学概念的重要手段之一[3].

总之,根据不同的课型以及不同的教学要求,教师需要灵活地将问题由浅入深、有层次性地进行设计,从而达到有效调动学生学习积极性、提升概念教学效果的目的.最后,教师也要注重教学反思,设计出更贴近与符合学生思维方式的问题串,进一步完善概念教学.