例谈高中数学数列极限的几种求解技巧

钱柏明

(浙江省龙游县第二高级中学,浙江 衢州 324400)

数列极限是高考中常考的一类问题,考查的形式多种多样,并且十分灵活.数列极限的求解的基本方法有:利用无穷小数列求数列极限、利用定积分定义求数列极限、单调有界定理求数列极限等,下面,文章将对此作出详细分析.

1 利用无穷小数列求数列极限

(1)若数列{an}为无穷小数列,则数列{|an|}也为无穷小数列,反之亦成立.

(2)若数列{an}为无穷小数列,则数列{(a1+a2+……+an)/n}也为无穷小数列.解答这类问题,解题思路一般为:

①根据题中已知条件,进行“变量”替换;

②根据定理运算出其极限值即可求出所求数列极限.

令xn=a+an,其中{an}为无穷小数列,再根据定理(2)可知:

=a+0

x2-x1=a+α1,x3-x2=a+α2,…xn-xn-1=a+αn-1,

从而xn=(n-1)a+(α1+α2+…+αn-1)+x1

再根据定理(2)得:

=a+0+0=a

2 利用定积分定义求数列极限

利用定积分定义求数列极限是若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和,那么计算此数列的极限可以转化为计算定积分,通过计算出定积分即可求出数列极限,这样可以避免繁琐凑配技巧,简化解答步骤.解答这类问题,解题思路一般为:

(1)将数列化成特殊形式的积分和;

(2)找被积函数f(x)积分的下限以及上限;

解析将an化为特殊形式的积分和:

找被积函数f(x)积分的下限以及上限,

函数f(x)积分的下限:

=2

3 单调有界定理

单调有界数列的基本理论是若数列{an}的所有项全部满足下面不等式an≤an+1(an≥an+1),则称该数列为递增(递减)数列,递增数列和递减数列称为单调数列[2].在实数系中,有界的单调数列必有极限.利用单调有界定理是在求数列极限时,先证明极限存在,证明极限存在后,再求极限,此时关键在于证明数列的单调性与有界性.解答这类问题,解题思路一般为:(1)先证明数列极限存在;(2)再证明出数列极限存在后运算即可得出数列极限.

解析由假设可知:

①

用数学归纳法易证:

xn+1>xn,k∈N

②

即可证数列{xn}单调递增,

用数学归纳法可证:

xn+1>xn,

事实上:

由①②证:

对①两边取极限得:

求数列极限问题作为高中数学常考的一类问题,考查数列极限的问题都十分灵活,文中所述的这三种不同思路求解数列极限问题,给同学们提供了运用利用无穷小数列求数列极限、利用定积分定义求数列极限、单调有界定理这三种具体的解题思路和应用步骤.不同思路对应解题方式各不相同,有助于同学们快速采取正确合理的思路解答这一类问题.通过对上述例题的分析,希望同学们在学习过程中应针对不同的问题,灵活解答,以此提高解题的效率[3].