基于试验设计的飞行器优化变量选取方法*

蒋鲁佳 赵 雯 王 悦 郑宏涛 常晓华

（1.北京宇航系统工程研究所 北京 100076）（2.中国运载火箭技术研究院研究发展中心 北京 100076）

1 引言

复杂系统的工程设计通常涵盖多个学科专业，包含了大量的设计变量，然而，并不是所有设计变量都会对目标函数产生较大的影响，而对于优化设计问题，较少的设计变量意味着较少的组合，优化所需要的时间也会相应减少。可见，通过对优化变量进行合理的选择，能够在一定程度上减少复杂工程优化设计变量的维数，提升优化的效率。

在传统工程设计中，优化变量的选取通常是一种基于经验的方法，即设计人员根据参与实际工程设计积累下来的经验，对优化变量进行选择或筛选，这种方式一方面受设计人员主观影响因素较大，不同的设计人员可能会有不同的选择结果；另一方面，随着设计方法和设计手段的不断提高，优化模型越来越复杂，仅凭设计人员的经验很难对复杂系统有全面的认识，从而导致无法获得满足工程要求的设计结果。复杂系统工程优化变量的选取应该是一种科学的、基于信息［1］的方法。为此，本文提出一种基于试验设计的飞行器优化变量选取方法，为复杂工程设计中的优化变量选取提供思路。

2 试验设计

试验设计是以概率论、数理统计为基础，对试验数据开展有效的统计分析的数学方法和理论。在试验设计中，系统的输入变量为因素，输入变量在样本点处的取值为水平［2～4］。常用的试验方法主要有全因子试验设计、正交设计、拉丁超方设计、中心复合试验设计、参数设计。

1）全因子试验设计

全因子试验设计是对每一个因素的不同水平进行组合并进行试验的设计方法。全因子试验设计理论上可以获得较丰富的试验结果和较可靠的试验结论，但是当试验水平和因素数较多时，全因子设计需要的计算量也随之增大［5～6］。

2）正交设计

正交设计通过正交表确定最佳的设计点组合，反映试验范围内因素与指标之间的关系。正交设计有可能会降低结果分析的精度，但是所需试验次数也会在一定程度上有所减少［7～8］。

3）拉丁超方设计

拉丁超方设计对每个因素的设计区间均匀地划分，然后再进行随机组合。相对于正交设计，拉丁超方设计可以进行更多组合情况的研究［9～10］。

4）中心复合试验设计

中心复合试验设计是在两水平因子设计的基础上，增加一些中心点，并且在每个因子增加了两个“星点”得到。中心复合试验设计计算量较小，需要的样本数会随着设计变量的增加而变多，计算代价也会逐渐变大［11～12］。

5）参数设计

参数设计研究每一个因素的敏感性，其他因素都使用初始值。参数设计无法提供设计变量交互作用的信息，但是只需要使用较少的设计点便可对设计空间进行评估［13］。

3 基于试验设计的优化变量选取方法

本文提出的基于试验设计的优化变量选取方法主要通过对试验设计结果的回归分析，来考察试验设计的多个因素对响应变量的影响大小，并以此作为优化问题设计变量的选取依据。对于一组给定的数据，总的数据变动平方和可表示为

其中，yi为变量设计值；U为回归平方和；Q为离差平方和。

在回归方程中去掉任意一个变量，并作一个新的回归方程。由于新的回归方程减少了一个变量，因此回归平方和会相应减少，减少的数值越大，该变量的影响越大；数值越小，该变量的影响也越小。定义回归平方和减少的数值为响应变量对该变量的偏回归平方和，可表示为

其中，βi为对应的回归系数，Cii为正规方程的系数矩阵的逆矩阵中主对角线上的第i个元素。偏回归平方和Ui大的xi一定对响应变量的影响大。基于试验设计的优化变量选取方法就是利用了偏回归平方和具有衡量各个变量对响应变量影响程度的特性，来量化优化变量对响应变量的影响程度。

4 算例分析

本文对Rosenbrock 函数优化算例［14］进行了改进，增加了对目标函数值的影响较小的e-x23项，用以考察基于试验设计的优化变量选取方法的有效性，改进后的数学描述如下：

算例优化问题的最优解为（1，1，10）或（1，1，-10），最优目标函数为fmin=3.72×10-44。算例优化问题有3 个设计变量，本文分别在这三个设计变量取值范围中，均匀的选取了10 个设计点，进行全因子试验设计，即3因素10水平的全因子试验设计，获得的设计变量对目标函数影响结果如图1所示。

由图1 可以看出，在本算例选取的3 因素10 水平的全因子试验设计下，对目标函数影响最大的是设计变量x2，设计变量x1和x3的变化几乎对目标函数没有影响。依据该回归分析结果，算例将原优化问题的3个设计变量进行筛选，仅保留x2作为设计变量。x1和x3参考全因子试验设计结果中目标函数最小的试验设计结果作为固定值进行优化，原优化问题转化为

图1 设计变量对目标函数影响结果

Minf'=100(x2-1.112)2+(1-1.11)2+e-102

s.t.-10 ≤x2≤10

通过优化，得到优化结果为x2=1.2321，，尽管没有得到最优设计结果，但设计变量的由3 维降为1 维，大大减少了优化设计过程中的计算量，说明基于试验设计的优化变量选取方法，能够在一定条件下采用定量的方法选择或确定优化设计变量。此外，对于理论研究工作，算例优化结果从0.0121 提升至3.72×10-44可能会具有一定的研究价值，而对于工程设计，除了优化结果，还需要考虑产品加工制造工艺带来的系统误差等影响因素，因此，工程设计权衡计算量、优化精度等因素可能更具有实际意义。

5 飞行器多学科设计优化

文中以某型飞行器为背景，采用最小起飞质量以及最大射程作为多目标函数，并将影响设计方案可行性以及目标函数的几个专业，包括质量参数分析、飞行器外形设计、飞行气动设计、飞行载荷设计、发动机结构及内弹道设计、飞行器结构设计、姿控设计以及飞行轨迹设计作为集成的学科［15］，各学科使用方案论证阶段的工程计算方法或能够满足该阶段要求的设计方法建立模型。通过封装每个学科模型，使各学科成为具备独立设计及分析能力的模块，这些模块可以与其他学科进行数据交互。本文根据各学科设计模型接口分析的结果，建立的飞行器总体多学科设计关系如图2所示。

从图2 中可以看出多学科设计模型之间接口关系复杂，形成多个反馈回路，为飞行器总体多学科设计系统分析和优化带来较大的困难。为此，本文采用多学科设计优化耦合关系处理方法［16］进行解耦，去除了反馈回路的影响，如图3所示，系统在进行多学科分析时，仅需从设计结构矩阵左上角的学科开始，依次进行分析即可［17～18］。

图2 飞行器总体多学科设计关系

本文建立的飞行器总体多学科设计优化模型中，每个学科设计模型都包含了大量的设计变量，为此，首先从总体的角度按照设计变量选取原则［19］，初步选取了57个设计变量，其中包括45个连续型变量和12 个离散型变量，出于保密要求，设计变量名称不在本文列出。然后，采用非支配排序遗传算法对设计空间进行搜索，设置50 种群数量，迭代次数为50次，即总共进行2500次运算，交叉概率为0.9，模型运行共耗时91h 9min 51s，平均每次迭代用时约2min11s，得到的优化结果如图4所示，其中，纵坐标为飞行器航程，横坐标为飞行器起飞质量，出于保密要求，图中隐去各坐标轴的度量（下同），图中蓝色的点即为Pareto 解集，红色的点为满足各种约束条件的可行解集。

图4 优化结果

由以上优化结果可以看出，Pareto 解集大致形成了一个Pareto 面，由于Pareto 解集中的点是由优化迭代范围内的非劣解集组成，因此，所有可行解包括优化的初始点都在这个Pareto 面的右下方。通过对优化结果分析发现，飞行器总体多学科设计优化Pareto 解集中两个端点设计变量的变化非常小，特别是一些外形参数变化都是在1mm～5mm 左右，这对于工程设计来说，可能只相当于在实际生产制造过程中产生的误差，最终得到的起飞质量和射程目标函数也非常的接近。经进一步分析可知，虽然耗费了大量的计算时间，进行了2500 次迭代计算，也得到了Pareto 解集，但这仅是在2500 次迭代结果中得到的Pareto 解集，迭代次数与设计空间上的可行解集相比还是非常有限的，尽管选择的非支配排序遗传算法在设计空间上具有全局搜索的能力，即理论上只要有充足的时间一定可以得到最优的Pareto 解集，但这对于优化问题来说计算量是非常巨大的。这是因为，假设本文使用设计变量全都为离散变量，每个设计变量的可取值中仅有两个离散值，57个设计变量约有14兆种组合，再假设本文建立的多学科模型每次进行分析计算的时间仅需0.1s，那么在优化过程中遍历所有设计变量组合需要连续计算约4.6 亿年的时间，更不用说对于本文大部分设计变量为连续型设计变量，因此，2500次迭代对于本文建立的飞行器总体多学科设计优化设计空间来说，只能代表非常有限的局部设计情况。

6 应用研究

由以上分析可以看出，针对类似本文复杂系统的工程优化设计问题，可通过减少多学科设计优化设计变量的维数，提高优化的效率，获取优化设计空间较全面的认识。为此，本文采用基于试验设计的方法，对优化设计变量进行选取。综合考虑样本数量，本文以参数设计的方法为例进行DOE 实验。设计变量对射程目标函数和起飞质量目标函数的影响分别如图5和图6所示。

图5 射程目标函数的DOE试验结果

图6 起飞质量目标函数的DOE试验结果

本文保留了DOE 试验结果中对目标函数值影响大于5%的设计变量。经过筛选，本文将初步选取的57个设计变量缩减至9个，大大减少了某型飞行器总体多学科设计优化问题的维数。然后，使用代理模型对复杂的多学科设计模型进行近似，并基于此使用非支配排序遗传算法对设计空间进行搜索［20～22］，共耗时约2h，进行了40000 次迭代，得到的起飞质量和射程多目标Pareto解集如图7所示。从图中可以明显的看出起飞质量与射程的变化趋势，即随着装药量的增加，获得的射程也越大。其中，起飞质量在变化的过程中存在一个跳变，这可能是由于在构造代理模型样本点的不够充分引起的。

图7 优化结果

本文使用基于试验设计的优化变量选取方法对飞行器总体多学科设计优化模型的设计变量进行选取，得到射程和起飞质量多目标Pareto 解集与现有的对射程与起飞质量关系的认识水平基本一致。本文以某背景型号设计结果作为参考，在相同起飞质量条件下将射程能力提高了约6%，一方面说明多学科设计优化应用于飞行器总体设计，能够进一步挖掘设计潜力，另一方面也说明基于试验设计的优化变量选取方法能够满足工程设计的需要［23～24］。

7 结语

本文提出了一种基于试验设计的优化变量选取方法，并将其应用于飞行器总体多学科设计优化中，采用一种定量的手段对优化变量进行选取，为解决因优化变量过多而导致计算量较大的问题提供了途径。然而，基于试验设计的优化变量选取方法也存在待完善之处，如采用不同的试验设计方法可能会得到不同的结果，但如果结合多种试验设计方法的回归分析应该会得到设计空间较准确的认识。