从一道模拟题谈抛物线与其根轴圆的位置关系

严志伟

1.试题呈现

如图1，抛物线y2=8x与动圆M：（x－8）2+y2=r2（r>0）交于A，B，C，D四个不同点.（1）求r的取值范围；（2）略.这是2021年广东省江门市一模试题题21，本题的答案是43

2.探究一般性结论

对于一般的抛物线C：y2=2px（p>0），动圆M：（x－a）2+y2=r2（r>0），有什么类似的结论？

设P（x，y）（x≥0）为抛物线C：y2=2px（p>0）上任意一点，它与圆心M（a，0）的距离PM=（x－a）2+y2=（x－a）2+2px=x2－2（a－p）x+a2

=x－（a－p）2+2ap－p2（x≥0）.

若a－p≤0，即a≤p，則当x=0时，PM取最小值a.这时若r=a，则抛物线C圆与圆M相切于顶点，且这两曲线有且仅有这一个公共点；

若a－p>0，即a>p，则当x=a－p时，PM取最小值2ap－p2.这时若r=2ap－p2，则抛物线C与圆M相切于两点，两切点的横坐标都是a－p，且这两曲线有且仅有这两个公共点.由此可得关于抛物线与其根轴圆位置关系的一个性质.

命题1 抛物线C：y2=2px（p>0）与动圆M：（x－a）2+y2=a2（a≤p）相切于原点，且无其他公共点；抛物线C：y2=2px（p>0）与动圆M：（x－a）2+y2=2ap－p2（a>p）相切于两点，两切点的横坐标都是a－p，且无其他公共点.