高中数学应用题教学“三读两模”设计的课堂实践

摘 要：结合省级公开课应用题教学设计过程的心得体会，浅谈高中应用题教学“三读两模”设计的具体做法，对解决高中数学应用题教学的瓶颈问题加以感悟，从三个“注重”予以反思，期待让学生的数学学科素养和关键能力有所提升.

关键词：应用题；“三读”；“两模”；实践思考

如何用所学的数学知识解决现实生产、生活中存在的问题，一直是数学的重点考查要求.近年来，数学模型和数学建模经常被提及，在高中已成为广泛应用的趋势.不仅在普通高中新教材（人教A版2019）必修一《建立函数模型解决实际问题》（P162166）中增加了数学建模案例，而且2022年高考数学试卷（全国甲卷理科、全国乙卷理科、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷）中每套都有3道应用题^［1］，加大了对数学应用、数学建模的考查力度，有力推进了新课标、新课程实施，鲜明地引导着高中数学教学注重数学应用，注重对学生数学建模核心素养的培养.

1 数学建模活动中的师生行为分析

目前，在国内外文献中，很难找到一种能提高学生数学应用题解题能力的有效教学策略，为提高学生的数学应用意识和实践能力，新课标提出了数学建模活动，新教材也增加了数学建模活动的案例，拟将该活动在课内、课外有机结合起来.但在实际教学中，应用题却几乎是所有学生学习的痛点.因此，策略实施起来也比较困难.

从学生的角度上看，目前很多学生因为应用题文字叙述多、实际背景陌生等，对其存在恐惧心理.首先，这类学生缺乏耐心和信心，不能专心读题审题；其次，学生生活阅历不够，生产劳动经验缺失，无法理解题意，如无法理解核酸检测、冷链食品等背景；第三，阅读能力偏差，无法抓住题中关键词，不明题意.

从教师的角度上看，首先，教师对应用题重视不够，往往为赶进度，蜻蜓点水，一带而过，没有真正提供较充足的时间让学生读题——审题——建模——解模，常常只做讲解，核对答案；其次，教师对应用题的教学方法陈旧，没有借助多媒体、图形等进行过程性引导，教师往往只做自我讲解，学生常常一知半解；再次，教材编写的应用题，一段时间后，未能贴近实际和关注社会热点，落后于时代，学生觉得应用题学习枯燥无味；最后，新应用题（考题）常常伴随新背景，教师自身也未必理解到位，所以也囫囵吞枣，留下烂尾工程.这是多年来困扰高中数学教学的难题之一，也是使很多考生高考失分多的原因之一.

2 应用题教学“三读两模”设计的思路

2.1 习题教学要注重“三读”能力培养

在应用题课堂教学中，教师一定要引导学生认真读题，要求至少读三遍.第一遍泛读，大概了解题意；第二遍细读，排除没用、干扰的信息，划出关键词，从而明白题意；第三遍精读，实现建模，找到题意与所学知识之间的关联，为解题找到突破口^［2］.以上笔者把它简称为“三读”.

教学实践证明，这种“三读”的能力培养最好在课堂上或测试中，另外甚至要精选题目很长的应用题.通过学生“三读”和教师点评，慢慢地把学生审题耐心和审题能力培养起来.我们反对按题型分类训练，也反对机械刷题，提倡用一定时间训练“三读”能力培养.

2.2 课堂互动要注重“两模”能力培养

在应用题课堂教学中，教师要重视建模能力和解模能力的培养.通过“三读”读懂题意，我们才能把相关数量与大脑中已有的模型（知识）挂钩，从而用所学的高中知识进行解题.另外，在建模后，必然涉及计算，这就是解模的过程.而且正确计算后，还要检验答案是否满足题意和实际生活情况^［3］.我把上面这两项过程简称为“两模”.

在建模过程中，教师一定要让学生自主思考、分析、实践，产生模型意识和反射弧，不能为赶时间，直接提供帮助.要学会放手，让学生动手，教师最多适时点拨^［4］.同时，计算也是学生的软肋，要求学生亲力亲为，不能包办，只有这样，才能提高解模（计算）能力.

3 应用题教学“三读两模”设计的案例呈现

本案例是笔者在一节省级公开课《怎样解数学应用题——以空间中的测量为例》的教学设计，体现以“三读两模”设计的课堂路线图.以此为例，可以窥探应用题教学中的课堂实践思考.

3.1 内容解析

空间中的测量问题（距离、高度、角度、三角形的计算），主要是引导学生建立三角形模型，综合运用三角函数知识以及正弦定理、余弦定理等来解决实际问题，把实际问题数学化，以此增强学生的数学应用意识，提高分析和解决实际问题的能力，培养学生的数学建模素养^［5］.

3.2 教学设计

Ⅰ课前热身

目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图1，某同学在一条水平公路上觀测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50 m，该同学眼高1.5 m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.

（1） 求出山高BE.

（2） 如图2，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离MD=x m，且记在M处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大？

参考数据：sin 8°≈0.14，sin 37°≈0.6，sin 45°≈0.7，sin 127°≈0.8.

设计意图：通过学生现场读题建模，使同学们回忆起解三角形的基本流程.第一个问题，提问学生1，他从解Rt△BDC入手，设BD=x，在Rt△ADC中，DC=AD=50+x，然后在Rt△BDC中，利用tan 37°=BD/DC求出x，进而求得山高BE；接着追问，大家还有其它解法吗？学生2，他从解△ABC入手，利用正弦定理求得BC，再利用Rt△BDC求得BD，进而求得山高BE.两种解法展示，达到复习初高中解三角形基础知识的目的.第二个问题，求∠AMB最大，一开始，大部分学生没思路，通过教者启发求最值通常怎么办？进而联想到基本不等式，由∠AMB=β-α，加上两个直角三角形，一部分学生能联想到正切，通过tan （β-α）和基本不等式公式的运用进行解决.最后，教者让学生3小结，解数学应用题的一般步骤是什么？

Ⅱ回眸经典

如图3，树顶A离地面a m，树上另一点B离地面b m，在离地面c m的C处看此树，离此树多远时看A，B的视角最大？（详见2004人教A版必修五P₁₀₁B2）

设计意图：首先要让学生明白，刚才的问题实际上是来自于课本，所以，一轮复习要重视回归课本.然后教师介绍这是几何史上著名的米勒问题.米勒，德国数学家，1471年，他向诺德尔教授提出了如下有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？此问题载入世界数学史上100个著名极值问题.通过此数学史的介绍，提高学生解应用题的兴趣.

Ⅲ范例解析

某游樂场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图4所示，矩形PQRS的长PS为130米，宽RS为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，D，C，且T为PQ的中点.现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成：出发点N在线段PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点M，再沿着圆孤轨道MA到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R.记∠MOT为α，轨道总长度为l米.

（1） 试将l表示为α的函数l（α），并写出α的取值范围.

（2） 求l最小时cos α的值.

设计意图：通过泛读——细读——精读，排除干扰，把握关键.

（1） 利用多媒体展示图形，明确有关量：PS=130，PA=70，PQ=120，R=60，CR=60，∠MOT=∠NMF=∠CGO=α.

（2） 问：轨道由哪五段连接成的？

（3） 追问1：哪一段最难求？（NM怎么求？）

（4） 追问2：α的取值范围怎么求？

在课堂上通过教者引导，学生参与思考，自己动手计算，充分展示应用题解决的全过程，做到水到渠成.

Ⅳ归纳小结

设计意图：给予学生一些时间，让他们充分回顾刚才应用题中的解题一般步骤“审题——建模——解模——验证”要诀以及解决过程中要注意的若干问题.

Ⅴ课堂检测

（2021年全国甲卷理8）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图5是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′约为（  ）.（√^—3≈1.732）

A. 346

B. 373

C. 446

D. 473

设计意图：追求现场解决应用题的效果，让学生有一定的紧张感、压迫感和仪式感，使其再次经历应用题的解题全过程，达到训练的目的^［6］.

4 应用题教学“三读两模”设计的实践感悟

4.1 注重消除学生心理障碍和语言障碍

在应用题教学中，教师一定要有耐心，选题求质不求量，通过师生不断沟通，化解题意不懂和错误理解的障碍，引导学生积极参与理解，积极联想构建数学模型，正确运算，不断获得成功喜悦感，从而逐步消除学生心理障碍.

【例1】 （2022年全国新高考Ⅰ卷T20）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

（1） 能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

第一个问题考查独立性检验，学生非常熟悉，解决起来没有困难.第二个问题涉及条件概率，学生刚看题目背景很新颖，又是不经常考大题的条件概率，心里有点怵.通过“三读”，学生能很快按图（已建模）索骥，按照条件概率计算公式找到解决问题的办法.

4.2 注重生活化应用题的训练

高中数学的教材，编写一版往往会用好多年，久而久之，应用题背景往往落后于时代.这与现在应用题（尤其考题）贴近生活实际，关注社会时政热点有悖，而且学生对老掉牙的应用题也不感兴趣.复习教学中，教者要精选一些背景新颖的应用题，把学生兴趣、知识面、能力等培养起来.

【例2】 （2021年北京高考T18）为加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中两人感染病毒.

（1） ① 若采用“10合1检测法”，且两名感染患者在同一组，求总检测次数.

② 已知10人分成一组，两名感染患者在同一组的概率为1/11，求检测次数X的分布列和数学期望E（X）.

（2） 若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E（Y），试比较E（X）和E（Y）的大小（直接写出结果）.

学生通过“三读”以及自身参加核酸检测的体会，可能在一定时间内，能把题意读懂.“10合1检测法”，现有100人，检验一遍就得10次；若两名感染患者在同一组就得检验20次；若两名感染患者不在同一组就得检验30次.只要理解有一点偏差，下面做出的答案都是错误的.所以，提供生活化应用题，一方面能提高学生学习应用题的兴趣，另一方面，也与当前高考的方向一致，提高学生在真实情境中解决问题的能力.

4.3 注重发挥图形的辅助作用

在高中数学教学中，相当一部分老师和学生对应用题很感冒，在心理上表现出非常不喜欢，而且觉得解题很费时间，得分率也不高，心理阴影面积很大，这也是我们长期解决不好应用题的主要因素之一.因此，在应用题课堂教学中，教师从读题审题到建立模型过程中，往往需要辅助手段，而图形就能起到一定的辅助作用，它能帮助学生正确理解题意，找到解决问题的方法.

【例3】 （2017全国卷Ⅰ理科T16）如图6，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.且D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm³）的最大值为___________.

通过图形，把有关量标在图上，联想已知与所求问题的关系，能更快找到解题思路.在课堂教学中，宜在多媒体上提供较大的图形、彩笔等，让学生展开想象的翅膀，也许解决问题的路径马上出来了.

5 实践总结

要做好高中数学应用题有效教学，教师既要反对反复操练、机械训练某类应用题，也要反对解题方法模式化、套路化^［7］.提倡教师给学生一定时间训练解题，强调在“三读两模”的实践，让学生们读懂并正确理解题意，抓住其考查的数学本质、思想、方法，利用其所学的知识建模解模，从而解决学生害怕应用题这一痛点问题.

参考文献：

［1］ 教育部教育考试院.深化高考内容改革 加强教考衔接［J］.中国考试，2022（7）：16.

［2］ 方亚斌.一题一课 源于世界数学名题的高考题赏析［M］.杭州：浙江大学出版社，2017.

［3］ 林相.建立和求解导数模型 提升数学建模素养［J］.福建中学数学，2022（3）：3942.

［4］ 郑建庆.“核心素养”视域下提升教学设计能力的实践研究——以《椭圆的定义与标准方程》教学设计为例［J］.数学之友，2022，36（4）：3637.

［5］ 吴紫娟.平板电脑在函数教学中应用的课例与反思［J］.数学之友，2022，36（4）：8183.

［6］ 徐翠萍，孔德宏.2021年全国高考数学甲卷理科第21题的解法及变式探究［J］.数学之友，2022，36（4）：8789.

［7］ 張倩，沈威.一道中考销售类试题蕴含模型思想的探究［J］.数学之友，2022，36（5）：57.