结伴而行的勾股数

方震军

我们知道，如果三角形的三边a，b，c满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足a2 + b2 = c2的三个正整数，被称为勾股数. 可见勾股数有两个特点：一是正整数，二是满足a2 + b2 = c2. 勾股数常与“好友”结伴而行，构成难度适中的数学问题.

一、与实际问题结伴而行

例1 如图1，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行.

解析：根据题意可知AP = 12，BP = 16，AB = 20，而这三个数是勾股数，即122 + 162 = 202，∴△APB是直角三角形，∠APB = 90°. 由题意知∠APN = 40°，∴∠BPN = 90° - ∠APN = 90° - 40° = 50°，即乙船沿北偏东50°方向航行. 故填北偏东50°.

二、与尺规作图结伴而行

例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半徑作弧，分别交BA，BC于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于[12]MN的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP，交AC于点D. 若AB = 10，BC = 6，则线段CD的长为（ ）.

A. 3        B. [103]      C. [83]      D. [165]

解析：由基本作图可知，BD平分∠ABC. 过点D作DE⊥AB于E，如图2，则DE = DC.

在Rt△ABC中，AB = 10，BC = 6，由勾股数可知AC = 8.

∵S△ABD + S△BCD = S△ABC，∴[12]·DE × 10 + [12]·CD × 6 = [12] × 6 × 8，∴CD = 3. 故选A.

三、与图形折叠结伴而行

例3 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 8，BC = 6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处；再将边AC沿CM翻折，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N，M，则线段A′M的长为（ ）.

A. [95]      B.  [85]      C.  [75]          D. [65]

解析：∵∠ACB = 90°，AC = 8，BC = 6，∴AB = 10.

由翻折知CN⊥AB，∴S△ABC = [12]AC·BC = [12]AB·CN，

即8 × 6 = 10CN，则CN = [245].

在Rt△ACN中，AN2 + CN2 = AC2，即AN2 +  [2452] = 82，解得AN = [325].

由两次翻折知∠BCN = ∠B'CN，∠B'CM = ∠ACM，

∴∠MCN = ∠B'CN + ∠B'CM = [12]∠ACB = 45°，∴△MCN是等腰直角三角形，

∴MN = CN = [245]，A'M =  AM = AN - MN = [325] - [245] = [85]. 故选B.

四、与规律探索结伴而行

例4 （2022·湖北·孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五. ”观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1. 柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m（m ≥ 3，m为正整数），则其弦是__________（结果用含m的式子表示）.

解析：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a + 2，根据勾股定理得（2m）2 + a2 = （a + 2）2，解得a = m2 - 1，则弦为a + 2 = m2 + 1. 故应填m2 + 1.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：5分钟

1. （2021·四川·凉山）如图4，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 8，BC = 6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）. （答案见第39页）

A. [198]      B. 2 C. [254]    D.[74]

2. （2021·湖南·常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m = a2 + b2，那么称m为广义勾股数. 下面有四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数. 依次正确的是（ ）. （答案见第39页）

A. ②④ B. ①②④ C. ①② D. ①④

（作者单位：江苏省南通中学附属实验学校）