从古溯今探秘一元二次方程

朱明慧

一、买椽多少

例1 我国古代著作《四元玉鉴》记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽。每株脚钱三文足，无钱准与一株椽。”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文。如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱。求这批椽的数量。

【解析】这是古人的生活问题，解决问题的关键在于分析等量关系，正确列出一元二次方程。我们可以按照如下步骤：

审：审清题意。文中“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文。

设：设买了x株椽，根据“如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，得到每株椽的价钱为3（x-1）文。

列：列出方程为3（x-1）x=6210。

解：解得x1=46，x2=-45。

验：椽的个数不能为负数，故x2=-45舍去。

答：这批椽的数目为46株。

【点评】从生活出发，提出问题，并用一元二次方程的知识来解决，找准等量关系、建立方程模型是解题的关键。

二、执竿进屋

例2 古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角。笨伯依言試一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。”其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺。他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿。笨伯一试，刚好进去。问：竹竿有多少尺？

【解析】古题文字很有趣，读题理清题意是关键。

审：审清题意，等量关系为“沿着门的对角线斜着拿竿。笨伯一试，刚好进去”。

设：设竿长x尺，则门宽（x-4）尺，门高（x-2）尺。

列：根据勾股定理，列出方程为（x-2）2+（x-4）2=x2。

解：解得x1=2，x2=10。

验：当x=2时，x-2=0，x-4=-2，故舍去。所以x=10。

答：竹竿长10尺。

【点评】知识点和知识点之间是相通的。我们在学习时需要将所学过的知识融会贯通，建立知识框架，在读题审题的过程中运用数学方法，建立数学模型解决问题。

三、长阔几何

例3 《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔各几何。”译文：一块矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，长与宽各是多少步？

【解析】同样按照解决问题的程序分析求解。

审：审清题意。条件“矩形田地的面积等于864平方步”暗示等量关系：矩形的面积等于长乘宽。

设：由条件“宽比长少12步”，设矩形长为x步，则宽为（x-12）步。

列：根据矩形面积公式，得x（x-12）=864，即x2-12x-864=0。

解：解得x1=36，x2=-24。

验：矩形的边长不能为负数，所以x2=-24舍去。

答：该矩形长36步、宽24步。

【点评】本题仍然是从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是从古题中理清题意，选择恰当的未知数表示出长和宽，再根据矩形的面积公式，得出关于x的一元二次方程，解之取正值即可。

古代人能从生活中发现问题、提出问题并解决问题，我们也应该立志奋发，努力自强，触类旁通。这些古题跟我们的生活也息息相关，我们不妨尝试找几道与生活息息相关的题目进行解答。