直击一元二次方程考点

殷偶云

一元二次方程是历年中考必考内容之一。在中考试卷中，直接或间接考查所占分值约为10%。因此，同学们在学习时应注重基础知识的积累、基本技能的获得，深刻领会各知识点的意义，勤于总结解题方法和规律，做到有的放矢。

考点1：一元二次方程的解

例1 （2022·江苏连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx-1=0（m≠0）的一个解是x=1，则m+n的值是 。

【解析】把x=1代入方程，得m+n-1=0。变形，得m+n=1。

【点评】解决此类问题的一般方法是将方程的根代入原方程，再求出有关字母系数或代数式的值。

考点2：一元二次方程的解法

例2 （2023·江苏无锡）解方程：2x2+x-2=0。

【解析】根据方程的特点，我们选择公式法求解方程。

因为a=2，b=1，c=-2，所以b2-4ac=12-4×2×（-2）=17。

【点评】解一元二次方程，要根据方程的特征选择合适的方法。公式法是解一元二次方程的通法，但我们要注意，运用公式法时，应先将方程化成一般形式。

考点3：一元二次方程根的判别式

例3 （2023·甘肃兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2-2（1+2c）=（ ）。

A.-2 B.2 C.-4 D.4

【解析】由一元二次方程有两个相等的实数根，得根的判别式为0。所以b2-4c=0，即b2=4c，则b2-2（1+2c）=4c-2-4c=-2。选A。

【点评】在讨论一元二次方程根的情况时，要注意二次项系数不为0这个隐含条件。

考点4：一元二次方程的根与系数的关系

【解析】因为方程总有实数根x1、x2，

【点评】利用一元二次方程根与系数的关系，将相关代数式变形为含有两根和与两根积的形式，再利用整體思想代入变形后的关系式，即可得出相关字母的值。在运用根与系数的关系时，一定要注意方程是一元二次方程且总有实数根这个隐含条件。

考点5：用一元二次方程解决问题

例5 （2023·山东东营）如图1，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长），围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）。当羊圈的长和宽分别为多少m时，能围成一个面积为640m2的羊圈？

【解析】根据BC=栅栏总长-2AB+2，再利用矩形面积公式求解。

设矩形ABCD的边AB=xm，则边BC=70-2x+2=（72-2x）m。

根据题意，得x（72-2x）=640。解得 x1=16， x2=20。

当x=16时，72-2x=72-32=40；当x=20时，72-2x=72-40=32。

答：当羊圈的长为40m、宽为16m或长为32m、宽为20m时满足题目要求。

【点评】建立一元二次方程模型解决实际问题的关键是正确找出题目中的相等关系，对于求得的结果要注意检查是否符合题意和实际情况，并进行正确的取舍。

例6 （2023·四川遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有［a，b］·［c，d］=ac-bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：［3，2］·［5，1］=3×5-2×1=13。已知关于x的方程［x，2x-1］·［mx+1，m］=0有两个实数根，求m的取值范围。

【点评】解决新定义问题的关键是读懂题意。本题实质是考查一元二次方程根的判别式。