一元二次方程根的讨论

翟晓丽

一元二次方程的根的情况与根的判别式b2-4ac有关，但在解含有字母系数的一元二次方程问题时，常常会出现“等根”“实根”“不等根”等关键词，正确理解这些关键词是解决这类问题的关键。

一、有“等根”

例1 若关于x的方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为 。

【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，所以有（-4）2-4m=0，解得m=4。空格中应填4。

【点评】一元二次方程有兩个相等的实数根，则根的判别式b2-4ac=0。

二、有“不等根”

例2 关于x的一元二次方程x2-2x+n=0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是 。

【解析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式b2-4ac＞0，所以（-2）2-4n＞0，解得n＜1。空格中应填n＜1。

【点评】一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式b2-4ac＞0。

三、有“实根”

例3 若关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）。

A.m≥-1 B.m≤1

C.m≥-1且m≠0 D.m≤1且m≠0

【点评】一元二次方程有两个实数根，则根的判别式b2-4ac≥0且不能忽视二次项系数不为0。

四、有“一根”

例4 已知关于x的方程kx2-（2k+4）x+k-6=0有一个实数根，则实数k的值为 。

【解析】一元二次方程如果有实数根则有两个，只有一元一次方程有一个实数根。所以方程是一元一次方程，k=0。空格中应填0。

【点评】只有一元一次方程有一个实根。当根的判别式b2-4ac=0时，一元二次方程是有两个相等的实数根，而不是只有一个实数根。

五、有“负根”

例5 已知关于x的方程x2+4x-k=0有一个正实数根和一个负实数根，则实数k的取值范围为 。

例6 已知关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0总有一个负数根，则实数m的取值范围为 。

【点评】用因式分解法解一元二次方程是一种重要的方法，它可以使复杂的问题变得简单。

六、整数根

例7 已知实数m、x满足：（mx1-2）·（mx2-2）=4。若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有 个。

【解析】当m、x1、x2为正整数时，（mx1-2）、（mx2-2）均为整数，且mx1≥1，mx2≥1，mx1-2≥-1，mx2-2≥-1。而4=1×4=2×2=4×1，因此，分三种情况讨论。

综上所述，共有7个。空格中应填7。

【点评】解决本题的关键及难点是正确运用分类讨论思想。