代数式恒等变形的利器——配方法

窦年春

把一个一元二次方程变形为（x+h）2=k（h、k为常数）的形式，当k≥0时，运用直接开平方法求出方程的解。这种解一元二次方程的方法叫作配方法。配方法不仅仅是解一元二次方程的一个重要的基本方法，也是数学中一种重要的恒等变形的方法，在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论依据是完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，用x代替公式中的a，则有x2+2bx+b2=（x+b）2。应用时要注意“关于x的二次三项式”的特征：二次项系数是1，常数项等于一次项系数的一半的平方。在把二次三项式中二次项系数化为1和常数项化为平方形式时，要注意恒等变形。

一、在比较大小中的应用

例1 比较代数式x2+2y2与2xy+4y-8的大小。

【分析】将x2+2y2与2xy+4y-8作差，根据差的正负做出判断。

解：x2+2y2-（2xy+4y-8）=x2+2y2-2xy-4y+8=x2-2xy+y2+y2-4y+4+4=（x-y）2+（y-2）2+4。

因为（x-y）2≥0，（y-2）2≥0，所以（x-y）2+（y-2）2+4≥4。所以x2+2y2＞2xy+4y-8。

【点评】要比较a与b的大小，就是算a-b与0的大小。因为任何数的平方都是非负数，所以我们利用“配方法”将式子整理为“平方+常数”的形式，再做出判断。需要注意的是，在变形的过程中不要改变式子的值。

二、在因式分解中的应用

例2 因式分解：（1）a2-12a+35；

（2）x4+4。

【分析】（1）將35拆成36-1，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式因式分解；

（2）中间添加4x2，配成完全平方式，再减去4x2，利用平方差公式因式分解。

解：（1）a2-12a+35=a2-12a+36-1=（a-6）2-1=（a-6+1）（a-6-1）=（a-5）（a-7）。

（2）x4+4=x4+4+4x2-4x2=（x2+2）2-4x2=（x2+2+2x）（x2+2-2x）。

【点评】根据完全平方公式的特征，在欲因式分解的代数式中通过“凑平方”等手段，得到一个局部完全平方式是解题的关键。

三、在化简二次根式中的应用

【点评】二次根式化简的关键是把被开方数配成完全平方的形式，配方的突破口是中间项2ab。

四、在证明等式中的应用

例4 已知：a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，求证a=b=c。

【分析】配方，尝试从完全平方公式中的中间项的系数2入手，在等式的两边同乘2，拆分组合成三个完全平方式的和，再利用非负数的性质证明。

解：因为a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，即a2-2ab +b2+b2-2bc +c2+a2-2ac+c2=0。所以（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0。所以a-b=0，b-c=0，a-c=0。所以a=b=c。

【点评】已知三个未知量，一个等式，要找出未知量之间的等量关系，这个问题一定有其特殊性。解题的依据是非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每一个非负数皆为0。

五、在求最值中的应用

例5 （2023·江苏连云港）若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 。

【思路一】观察式子特点，凑完全平方式。

W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3

=x2+4x2-4xy+y2+4x-2y+4x+3

=（4x2-4xy+y2） +（4x-2y）+x2+4x+3

=（2x-y）2+2（2x-y）+1-1+x2+4x+4-4+3

=（2x-y+1）2+（x+2）2-2。

因为x、y均为实数，所以（2x-y+1）2≥0，（x+2）2≥0。所以W≥-2，即W的最小值为-2。

【思路二】看成等式，移项，整理成关于x的一元二次方程5x2+（8-4y）x+（y2-2y+3-W）=0。

因为x为实数，所以方程一定有实数根，所以（8-4y）2-20（y2-2y+3-W）≥0。整理，得5W≥y2+6y-1。

配方，得5W≥（y+3）2-10≥-10。所以W≥-2。所以W的最小值为-2。

【点评】本题利用配方法把式子整理为“平方+常数”的形式是解题的关键。