类比学习，让方程自然生长

崔恒刘

我们首先一起来回顾方程的学习历程。我们先从实际问题出发，抽象出数学问题，得到一系列含有未知数的等式，在分类比较中逐步生成一元一次方程的概念并研究其解法，最后再回归实际问题。接着，我们学习了二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程，两者的研究过程如出一辙。以此类推，聪明的你一定能预想到一元二次方程要学什么，怎么学。这里，我们换个视角，从生长的观点来感知将要学习的一元二次方程。

一、概念的生长

只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次）的方程叫作一元一次方程。我们不难发现，一元一次方程的概念是用“元”和“次”来表达的，其中“一元”代表未知数的个数，“次”代表未知数的最高次数。“元”的生长形成了二元一次方程组、三元一次方程组等，而“次”的生长则形成现在学习的一元二次方程，继续生长，还会生成一元高次方程。一元二次方程概念中，“未知数的最高次数”的表述，说明方程中所含的代数式是整式。因此，一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程都属于整式方程。

同样，类比一元一次方程的一般式，一元二次方程的一般式是：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）。

二、解法的生长

我们再回忆“解二元一次方程组”的学习过程，通过消元化归的数学思想，把二元一次方程组转化为一元一次方程。那么，我们遵循化归的数学思想，可以把一元二次方程降次转化为熟悉的一元一次方程。

一元二次方程的4种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，也是逐渐生长的。其中，公式法是通法，适用于所有的一元二次方程。得到公式法的过程是配方法，配方后用到的方法又是直接开平方法。因式分解法的本质是利用“ab=0，则a=0或b=0”的性质，先将方程化成一般形式，再对左边因式分解，最后写出方程的根。解一元二次方程，我们首选因式分解法或直接开平方法，若行不通再使用公式法。当方程满足一些特殊条件时，用配方法也可以轻松获解。虽然有4种解法，但最后都是为了达到“降次转化为一元一次方程”的目的。

三、应用的生长

学以致用是体现数学价值的一种方式。每学完一类方程知识，我们都要回到用方程解决实际问题。

例 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定。某种品牌头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个。经市场调查发现，如果售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个。为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个。

根據题意，得（y-30）［600-10（y-40）］=10000。

解这个方程，得y1=80，y2=50。

为尽可能让顾客得到实惠，应舍去y1，所以y=50。

答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个。

用方程解决实际问题是按照“设未知数→找相等关系→列方程→检验方程的解是否符合方程和实际问题→答”的步骤进行的。对于不同方程，唯一不同的是问题中含有相等关系的个数以及列出方程的次数。

从一元到二元，从一次到二次，知识在生长，难度在加大，我们在学习时要抓住本质类比和化归的数学思想，努力做到化繁为简、有的放矢。