意料之外，情理之中

林生

2023年高考是真正地落实新教材的新高考的第一年，试题以新教材为蓝本，朴实无华但试题很好地落实了“立德树人、服务选才，引导教学”的核心功能，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程.2023年高考卷的很多题目都突出基础的考查，但彰显综合性要求，既体现在知识交汇点处命题的创新原则，又格调清新意境幽，更为重要的是有些题目看起来似曾相识，但有别于“旧题”，很好实现了“反套路、反题海战术、反机械刷题”等功能，更好地考查了学生的数学核心素养.2023年新高考Ⅰ卷数学第22题就是这样的题目：该试题一改以往考椭圆和双曲线（2018年到至今，大题考查抛物线的仅在2019年出现）的习惯，考查的是抛物线，并且是非标准的，这是很多老师和考生“出乎意料”的，但该试题考查的虽然抛物线非标准的形式，以平移后也是标准的抛物线，这样的题目作为考查背景，是比较公平的.在第一问考查抛物线定义，第二问考查弦长公式，涉及最值的运算也是学生最熟悉的，很好地体现了在情景中“反套路”的格调，这也是高考的要求所在，也属情理之中.不过这也给我们以后的高考备考做了提醒：以后高考要以高考评价体系为标准，以新教材为蓝本，要注重知识的传授，要让学生掌握的知识必须掌握，不能像以前备考“厚此薄彼”，忽略某种曲线的相关知识.同时我们在备考过程中要守住“本手”（要从基本的法则、定义、定理出发，明确其道理，知道从哪里来到哪里去；熟练其方法，望文生义，望形得法），要对“本手”理解深刻，这样我们在解题中方可出现“妙手”（四基的熟能生巧、返璞归真、灵活运用等），否则，难免出现解题的“俗手”（机械解题、缺乏对全局整体的分析）.因此我们要在解题中守住“本手”，追求“妙手”，拒绝“俗手”，那就要在备考过程中对高考试题研究就要进行深度分析：守住“本手”——寻求解题的思路和突破口，找出最优解题思路和方法，从而得到这类题的常规解法，接着找出其共性的知识和通性通法，对其通法深度挖掘和提炼反思；还要寻求其知识的“源”与“流”，对此基本类型进行变式拓展推广、举一反三，开启思维，纵横联系、触类旁通，探窥其本质，让考生从题中悟“道”，达到“一览众山小”的境界，从而促使解题达到“妙手”.最终实现2024年高考解析几何的高效备考.下面笔者以2023年新高考Ⅰ卷数学第22题这道题为载体，通过探求其解法、分析这种类型的实质，打开这类问题的“思维重门”，对此种圆锥曲线的类型进行推广拓展，同时还对圆锥曲线中的常规题型及常用到的一些解题方法和技巧来进行举例分析、变式和总结归纳，让考生掌握这一类题型的基本方法和技巧，实现高效备考，探究出2024年高考圆锥曲线的高效备考的一些建议和策略．

一、平中见生，似曾相识燕归来——真题回放

（2023年新高考Ⅰ卷数学第22题）在平面直角坐标系xOy中，已知点P到x轴的距离等于点P到（0，½）的距离，记动点P的轨迹为W．

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．

【点评】本题试题简约而不简单，深刻而不深奥.第（1）问考查求轨迹的方程，虽然方程为非标准的抛物线，但可采取直接求解或用抛物线的定义来解题，这样设置有利于考生思维的展开；第（2）问一改平时联立直线与圆锥曲线的方法，在这里设置了一个“门槛”——间接考查直线与抛物线的联立得到的弦长，这里涉及到了多元变量，同时还综合了代数恒等变形、不等式、利用导数求最值等数学方法，里面还蕴含了绝对值不等式等处理方法，本质属于求最值问题，但却将本问设置成与解析几何融合的问题——矩形ABCD的周长问题.以“生面”的形式展示出来，加上该问综合性运算量大，放缩的技巧性也强，因此很多考生都会“望而生畏”，但只要认真思考该类问题，还是可以转化为我们熟悉的“面孔”——最值问题，利用直线与抛物线相交，转化为弦长问题，再利用扎实的运算功底，所有问题便可迎难而解．

二、多点开花，条条大道通罗马——解法探幽

三、操千曲而后晓声，观千剑后识器——别有洞天

四、居高临下觅考道，咬定“本手”立根中

通过上面的深度分析与拓展，今年的解析几何大题高考题重视基础，突出对数学运算能力的考查.综合整个过程来看，本题的出现既在意料之外（一改以往命题套路和风格），但又在情理之中（反套路、反猜题），本题的难点不在于运算技巧和方法，而在于如何寻找合适的运算思路与方法，在于克服心理上的怕“繁”.这也为我们以后的备考指明了方向：不单要在加强解析几何运算思路与方法的寻求，运算的算理和算法以及运算思维的自然与合理，同时还要注重解析几何的通性通法，要掌握解析几何典型题的拓展与延伸，要做到筑“本手”（从基本的法则、定义、定理出发，明确其道理，知道从哪里来到哪里去；熟练其方法，望文生义，望形得法）之基，行“妙手”（对知识理解深刻并达到灵活运用）之远，脱“俗手”（没有扎实的基础，不懂知识的来龙去脉和发现、生成、生长）之庸，咬住“本手”不放，把握住备考的根，我们才可以做到居高临下觅悟出“备考之道”，因此我们要实现高考高效备考时要做好以下方面：

1.切实回归概念和基础是“正道”，注重通性通法为“上上策”

通过今年的高考题的题目分析可知：注重考查基本的知识，注重考查通性通法，同时“反套路、反猜题、反题海战术”，因此在以后的备考中一定要重视基础知识，要注重通性通法，要注重回归教材，对课本中的概念、定义、定理、公式必须记熟、理解；重视公式的正用、逆用和活用，重视定理的推导，要理清知识发生的本原（如公式的推导过程等），还要注意挖掘教材中的素材，通过对教材的题目引导考生研究、进行总结归纳，比如对于圆锥曲线定义、合理设值、设而不求、整体代换、消元策略等教材中的基本知识和方法要让学生知其然，还要其所以然.另外复习时考生还要深入研究教材.以教材中的例、习题素材适当变形，甚至推导衍生得出圆锥曲线一些二级结论（但不能强制学生记忆），在这个过程中不追求数学解题中的所谓“技巧”，不搞“偏题”、“怪题”，而是将最基本的代数数学方法和几何方法融合还原，在整个过程中侧重方法的选取和思维的训练提升和巩固，突出思维能力和运算能力，及时引申拓展、培养总结归纳能力，这样考生在高考中才可以达到融会贯通、高屋建瓴的境界．

2.强化解析几何认知基础，突出数学运算能力，注重算理和算法

对于解析几何的大题，有很多种题型，选择入手的解题方法或许也有很多种，但是在复习备考中要培养学生学会用代数语言把几何条件和几何问题转化为代数条件和代数问题，能根据具体问题的情景学会甄别方法寻求和选取的“优劣”，能自觉按照数学运算的步骤（理解运算对象、明确运算目标、分析运算条件、探寻运算思路、设计运算程序、求得运算结果），真正提升灵活运用解题的能力.因此，我们在备考时，要抓住核心问题——运算能力的提升，要时刻注重强化数学運算，一步一个脚印，在进行计算的时候注重算理、算法和技巧，不断地在解题中渗透强化，长期不懈地加强数学运算的训练，只有这样，考生才可以提升数学运算能力，不再“畏惧”解析几何的运算，从而达到高效备考．

3.优化数学运算的心理和习惯，形成良好的应考素质

对于解析几何的题目，大部分考生存在运算怕难、怕繁的心理，因此我们在复习备考过程中首先要克服这种心理，并且针对粗心大意、经常犯一些低级错误等问题进行严谨细致的训练，不断培养良好的运算习惯，一步一步地实现有条理、有程序地解决圆锥曲线问题，最终帮助形成良好的应考素质．

总之，我们在复习备考时要注意寻找解析几何的运算思维，在平时备考中要在运算对象、运算目标上多分析，要学会对解题思路与方法的反思，有意识地积累解题经验，不能仅仅停留在解该道题，还要在解题后多点总结归纳：该题的解法有“优化”吗？这个问题能够一般推广吗？改变一下条件如何？改变结论又如何？……要知其所以然，何由以知其所以然.要学会在解题中巩固对知识的理解，积累解题经验，强化运算能力，发现解题规律，掌握解题策略，形成解题意识，培养坚忍不拔、锲而不舍的意志品质，从而实现高效备考，最终笑傲2024年高考．

【本文系广东省教育科学规划2022年度中小学教师教育科研能力提升计划项目“深度学习视域下高中数学高效课堂的行动研究”研究成果】

责任编辑  徐国坚